Calcolo Differenziale e Topologia in R^n

Benvenuti. In questa lezione costruiamo il calcolo differenziale per funzioni di più variabili, e prima ancora la topologia dello spazio in cui vivono. Ecco dove vogliamo arrivare. Questa è la matrice Hessiana, costruita con le derivate seconde. Alla fine sapremo leggere nei suoi autovalori se un punto critico è un minimo, un massimo o un punto di sella. Per arrivarci servono distanze, intorni, limiti e derivate. Un punto di erre enne è una enne-upla ordinata di numeri reali: le sue coordinate. Nel piano, con enne uguale a due, lo disegniamo come una freccia che parte dall'origine. Il prodotto scalare moltiplica le coordinate corrispondenti e somma i risultati. Da esso nasce la norma euclidea, la radice del prodotto scalare di x con sé stesso: per Pitagora, è proprio la lunghezza della freccia. La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz afferma che il prodotto scalare, in valore assoluto, non supera mai il prodotto delle norme. L'uguaglianza vale solo per vettori paralleli. Da qui segue la disuguaglianza triangolare. Sviluppiamo il quadrato della norma della somma: compare il doppio prodotto scalare, che Cauchy-Schwarz maggiora con il doppio prodotto delle norme. Dunque la norma della somma non supera la somma delle norme. Geometricamente: mettiamo y in coda a x, e il terzo lato del triangolo non è mai più lungo degli altri due insieme. Per parlare di vicinanza servono gli intorni. La palla aperta di centro x zero e raggio erre contiene i punti che distano da x zero meno di erre. Nella palla chiusa ammettiamo anche la distanza uguale a erre. Ora fissiamo un insieme S, il disco azzurro. Un punto è interno a S se attorno a lui esiste una palla tutta contenuta in S, come quella verde. È esterno se esiste una palla tutta fuori da S, cioè contenuta nel complementare, come quella rossa. Infine è di frontiera se ogni palla centrata in lui, per quanto piccola, contiene sia punti di S sia punti del complementare. Il bordo del disco è fatto proprio di questi punti. Un insieme è aperto se tutti i suoi punti sono interni, come il disco senza bordo. È chiuso se il suo complementare è aperto, o equivalentemente se contiene tutta la sua frontiera. Aperto e chiuso non sono contrari. Aggiungiamo al disco questo punto rosso, lontano da tutto: l'insieme ottenuto non è né aperto né chiuso. La chiusura di S è S unito alla sua frontiera: il più piccolo chiuso che lo contiene. Qui significa aggiungere la circonferenza. Un punto è di accumulazione se ogni sua palla contiene punti di S diversi da lui: questo punto del bordo lo è, pur non appartenendo al disco aperto. Il punto rosso invece è isolato: una piccola palla lo separa dal resto.

Una successione in erre enne è una sequenza di punti, indicizzata dai numeri naturali. Diciamo che converge al punto x se la distanza fra x k e x tende a zero. In altre parole: fissato un raggio epsilon, da un certo indice in poi tutti i punti cadono nella palla di raggio epsilon attorno al limite. Se stringiamo epsilon l'indice cresce, ma esiste sempre. Poiché la norma controlla ogni coordinata, la convergenza in erre enne equivale alla convergenza di ciascuna delle enne successioni delle coordinate. Una successione è di Cauchy se i suoi termini diventano arbitrariamente vicini fra loro, senza nominare alcun limite. Ogni successione convergente è di Cauchy; il viceversa si chiama completezza. Erre enne è completo: ogni successione di Cauchy converge. Si dimostra coordinata per coordinata, perché ogni componente è di Cauchy in erre, e la retta reale è completa. Un insieme è limitato se sta dentro una palla abbastanza grande. Prendiamo ora una successione limitata qualsiasi: i suoi punti possono saltare avanti e indietro senza convergere. Il teorema di Bolzano-Weierstrass garantisce però che possiamo estrarre una sottosuccessione convergente. Qui basta tenere i termini di indice pari, quelli gialli, che si accumulano attorno a un punto. L'idea della prova: si dimezza ripetutamente il quadrato che contiene la successione, scegliendo ogni volta una parte con infiniti termini. I quadrati annidati si stringono su un unico punto, che esiste perché erre enne è completo. Questo suggerisce una definizione. Un insieme K è compatto se da ogni successione in K si estrae una sottosuccessione che converge, e converge a un punto di K stesso. In erre enne la compattezza ha una caratterizzazione concreta, il teorema di Heine-Borel: compatto significa chiuso e limitato. Limitato serve per Bolzano-Weierstrass; chiuso serve perché il limite non sfugga dall'insieme. Vediamo tre casi. Il disco chiuso è chiuso e limitato, quindi compatto: ogni successione al suo interno ha una sottosuccessione che converge dentro il disco. Nel disco aperto, questa successione si avvicina al bordo: converge, ma a un punto che non appartiene all'insieme. Manca la chiusura. Nella striscia illimitata, invece, i punti scappano verso destra e nessuna sottosuccessione può convergere. Manca la limitatezza.

Passiamo alle funzioni da erre enne a erre emme. La definizione di limite è quella del caso reale, con la norma al posto del valore assoluto. Per ogni palla di raggio epsilon attorno al limite elle esiste una palla di raggio delta attorno a x zero la cui immagine, escluso al più x zero, cade dentro la prima. Se stringiamo epsilon dobbiamo stringere anche delta, ma una scelta adatta esiste sempre. La funzione è continua in x zero se il limite coincide con il valore in x zero. Attenzione: in più variabili ci si avvicina a x zero lungo infinite rette e curve, e il limite deve essere lo stesso per tutte. Esiste un modo di dire la continuità senza epsilon e delta. Una funzione è continua se e solo se la retroimmagine di ogni aperto è aperta, o equivalentemente se la retroimmagine di ogni chiuso è chiusa. Questo è uno strumento pratico. Prendiamo f uguale a x quadro più y quadro, che è continua. La corona dove f sta strettamente fra uno e quattro è la retroimmagine di un intervallo aperto: dunque è aperta, senza alcun conto. Allo stesso modo il disco dove f è minore o uguale a uno è la retroimmagine dell'intervallo chiuso da zero a uno, ed è quindi chiuso. Tre teoremi reggono tutta la teoria. Il primo è il teorema dei valori intermedi: su un insieme connesso per archi, due punti qualsiasi a e b sono uniti da un cammino continuo gamma, tutto dentro l'insieme. Lungo il cammino, f composta con gamma è una funzione continua di una sola variabile, e il teorema classico in erre fornisce un istante in cui assume il valore c. Il secondo è il teorema di Weierstrass: una funzione continua su un compatto ha massimo e minimo assoluti. Da una successione di valori che tende all'estremo superiore, la compattezza estrae una sottosuccessione convergente, e la continuità fa il resto. Il terzo è il teorema di Heine-Cantor. La continuità uniforme chiede che lo stesso delta funzioni in tutti i punti insieme; su un compatto questo è automatico.

Veniamo alle derivate. Prendiamo il paraboloide zeta uguale a x quadro più y quadro, e un punto P sul suo grafico. La derivata parziale rispetto a x i congela tutte le altre variabili: è la derivata ordinaria lungo un asse. Geometricamente è la pendenza della curva ottenuta tagliando il grafico con un piano verticale. Più in generale, scelto un vettore unitario v, la derivata direzionale misura come varia f muovendosi lungo v. Le derivate parziali sono il caso dei vettori della base canonica. Il vettore delle derivate parziali si chiama gradiente, nabla f. I punti in cui il gradiente si annulla si dicono stazionari, o critici: sono i candidati a massimi e minimi. Diciamo che f è differenziabile in x zero se il suo incremento è uguale a una parte lineare in h, più un errore che va a zero più velocemente della norma di h. La parte lineare definisce il piano tangente: il piano che meglio approssima il grafico vicino a P, e contiene le due tangenti di prima. Quando enne supera due si parla di iperpiano tangente. Se f è differenziabile, prendiamo h uguale a t per v e dividiamo per t. Il limite dà la formula fondamentale: la derivata direzionale è il prodotto scalare fra gradiente e v. Per Cauchy-Schwarz questo prodotto è massimo quando v è parallelo al gradiente. Il gradiente indica quindi la direzione di massima crescita, e la sua norma è la pendenza massima. Infine, la differenziabilità implica la continuità: l'incremento di f tende a zero insieme a h. Attenzione: in più variabili, l'esistenza di tutte le derivate parziali non garantisce nemmeno la continuità. Guardiamo questa funzione: sugli assi vale zero, quindi le due derivate parziali nell'origine esistono e sono nulle. Ma lungo la retta y uguale a emme x vale costantemente emme fratto uno più emme quadro: un mezzo sulla bisettrice, meno un mezzo sull'altra. Il limite nell'origine non esiste, e f non è continua. Il teorema del differenziale totale fornisce una condizione sufficiente: se le derivate parziali esistono vicino a x zero e sono continue in x zero, allora f è differenziabile. Ogni funzione di classe C uno è dunque differenziabile e continua. Per un campo vettoriale da erre enne a erre emme, ogni componente ha il suo gradiente. Disposti come righe, formano la matrice Jacobiana, con emme righe ed enne colonne. Per esempio, per questa f del piano in sé, la Jacobiana nel punto uno, uno è la matrice due, meno uno, uno, uno. Il suo significato è questo: vicino al punto, f si comporta come l'applicazione lineare data dalla Jacobiana. Guardate come questa matrice deforma il quadrato verde: è ciò che f fa, in prima approssimazione, a un piccolo intorno.

Derivando di nuovo le derivate parziali otteniamo le derivate seconde. Raccolte in una matrice enne per enne, formano la Hessiana. Proviamo con x al cubo per y, più y quadro. Le derivate prime sono tre x quadro y, e x al cubo più due y. Ora deriviamo f x rispetto a y, e f y rispetto a x: in entrambi i casi otteniamo tre x quadro. Non è una coincidenza. È il teorema di Schwarz: se le derivate miste sono continue, l'ordine di derivazione non conta. La Hessiana di una funzione di classe C due è quindi simmetrica, e avrà autovalori reali. Come si deriva una composizione? Seguiamo una curva gi di t nel piano, mentre f ha queste curve di livello. La derivata di f lungo la curva è il gradiente di f nel punto, scalare la velocità della curva. Il caso generale è altrettanto pulito: la Jacobiana della composizione è il prodotto delle Jacobiane, calcolate nei punti giusti. Scritto per componenti, è una somma su tutte le variabili intermedie. Con la Hessiana possiamo scrivere lo sviluppo di Taylor al secondo ordine. Il valore, più il termine lineare del gradiente, più metà della forma quadratica della Hessiana, più un resto di Peano, piccolo rispetto al quadrato della norma di h. Se f è di classe C due vale anche la forma di Lagrange: niente resto, ma la Hessiana è calcolata in un punto xi intermedio sul segmento fra x zero e x zero più h. Ora il punto chiave. In un punto stazionario il gradiente è nullo, e la differenza fra f di x zero più h e f di x zero è governata dalla forma quadratica q. Poiché la Hessiana è simmetrica, il teorema spettrale la diagonalizza in una base ortonormale di autovettori. In quelle coordinate la forma quadratica diventa una somma di autovalori per quadrati. Se tutti gli autovalori sono positivi, la forma è definita positiva e il punto è di minimo locale: il grafico è una coppa. Se sono tutti negativi, la forma è definita negativa: massimo locale, il grafico è una cupola. Se ci sono autovalori di segno opposto, la forma è indefinita e il punto è una sella: si sale lungo una direzione e si scende lungo l'altra. Se invece qualche autovalore è nullo, il secondo ordine non basta a decidere. Calcolare gli autovalori può essere faticoso. Il criterio di Sylvester usa invece i minori principali di testa: i determinanti dei blocchi quadrati in alto a sinistra della Hessiana. Se sono tutti positivi, la Hessiana è definita positiva: minimo locale. Se hanno segni alternati, a partire da un primo minore negativo, è definita negativa: massimo locale. In due variabili, un determinante negativo indica una sella. Chiudiamo con un esempio completo: f uguale a x al cubo meno tre x, più y quadro. Il grafico ha una valle e un passo di montagna. Il gradiente si annulla quando x quadro vale uno e y vale zero: due punti stazionari, uno zero e meno uno zero. La Hessiana è diagonale, con sei x e due. In uno zero i minori valgono sei e dodici, entrambi positivi: è un minimo locale, il fondo della valle. In meno uno zero il determinante vale meno dodici: è una sella. Lungo x la funzione ha un massimo, lungo y un minimo. Abbiamo percorso la strada intera: dalla norma e dagli intorni ai limiti, dalle derivate al piano tangente, fino a leggere nella Hessiana la forma di una funzione vicino ai suoi punti critici.