# Sistemi di Coordinate in Fisica: Cartesiane, Polari, Cilindriche e Sferiche > Una lezione animata sui quattro sistemi di coordinate che ogni studente di fisica e ingegneria usa ogni giorno. Si parte dalle coordinate cartesiane, con i versori di base e il vettore posizione nel piano e nello spazio; si passa alle polari, ricavando x = r cos theta e y = r sin theta e mostrando come i versori radiale e trasverso ruotino con il punto. Le cilindriche estendono le polari lungo z e si applicano ai problemi a simmetria assiale, come il filo carico; le sferiche si ottengono riconoscendo che r sin theta è il rho cilindrico, e descrivono i problemi a simmetria centrale. Ogni formula nasce dalla geometria tridimensionale che la giustifica. - Canonical watch page: [Sistemi di Coordinate in Fisica: Cartesiane, Polari, Cilindriche e Sferiche](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche) - Publisher: [Academa, Inc.](https://academa.ai) - Subject: Physics - Published: 2026-10-12T10:56:17.622Z - Updated: 2026-10-12T10:56:17.622Z - Duration: PT354S (5 minutes 54 seconds) - Chapters: 4 - Views: 0 - Language: en-US - Access: Free - Video stream: [HLS content](https://academa.ai/media/l/01M4QV3V09E7HYA2S9HS115S7S/0/dark/master.m3u8) - Embed: [Player](https://academa.ai/embed/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche) - Audiovisual record: [Semantic JSON](https://academa.ai/media/l/01M4QV3V09E7HYA2S9HS115S7S/0/semantic.json) - Thumbnail: [Image](https://academa.ai/media/l/01M4QV3V09E7HYA2S9HS115S7S/0/dark/poster.jpg) ## Description Coordinate cartesiane, polari, cilindriche e sferiche: formule di trasformazione, versori e simmetrie, con animazioni 3D per fisica e ingegneria. ## Chapters - [00:00–01:41.409 · Coordinate cartesiane](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=0) - [01:41.409–02:54.585 · Coordinate polari](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=101.40920833333332) - [02:54.585–04:8.074 · Coordinate cilindriche](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=174.58495833333333) - [04:8.074–05:54 · Coordinate sferiche](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=248.07416666666666) ## Transcript ### [00:00 · Coordinate cartesiane](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=0) Per descrivere qualunque fenomeno fisico dobbiamo prima rispondere a una domanda semplice: dove si trova il punto che stiamo studiando? Esistono diversi modi di rispondere. In questa lezione ne vedremo quattro: le coordinate cartesiane, le polari nel piano, le cilindriche e le sferiche nello spazio. Ciascuno si adatta a una diversa simmetria del problema, e impareremo a passare dall'uno all'altro con formule esatte. Cominciamo dal piano. Scegliamo un'origine e due assi perpendicolari, e su ciascun asse un versore, cioè un vettore di lunghezza uno: i cappello lungo x, j cappello lungo y. Un punto P si raggiunge spostandosi di x lungo il primo asse e di y lungo il secondo. Qui x vale tre e y vale due. Il vettore posizione è quindi la combinazione dei versori: r è uguale a x per i cappello, più y per j cappello. Nello spazio teniamo i due versori del piano e aggiungiamo un terzo asse, z, perpendicolare ai primi due, con il suo versore k cappello. I tre versori sono ortogonali tra loro e formano una terna destrorsa: i vettore j è uguale a k. Per raggiungere P ci spostiamo di x, poi di y, poi di z, e la posizione diventa x per i più y per j più z per k. Questi versori hanno una proprietà preziosa: sono gli stessi in ogni punto dello spazio. Vedremo che negli altri sistemi non sarà così. ### [01:41.409 · Coordinate polari](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=101.40920833333332) Nel piano un punto si può descrivere anche in un altro modo: con la sua distanza dall'origine e con una direzione. La distanza è r, che non è mai negativa. La direzione è data dall'angolo theta, misurato a partire dall'asse x in verso antiorario. Proiettiamo P sugli assi. Il cateto orizzontale vale r coseno di theta, quello verticale r seno di theta. Al contrario, il teorema di Pitagora restituisce r come radice di x quadro più y quadro, mentre il rapporto y su x è la tangente di theta. Attenzione però: per scegliere l'angolo giusto bisogna guardare il quadrante. Ora i versori. Il versore radiale punta lontano dall'origine, lungo r. Il versore trasverso è perpendicolare a lui, nel verso in cui theta cresce. Ecco la differenza decisiva rispetto alle cartesiane. Se il punto si sposta lungo la circonferenza, i due versori ruotano con lui: dipendono da theta. Derivando questi versori rispetto al tempo nascono i termini centripeti dei moti circolari. È il prezzo, e insieme il vantaggio, di una base che si muove con il punto. ### [02:54.585 · Coordinate cilindriche](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=174.58495833333333) Passiamo allo spazio. Le coordinate cilindriche sono le polari del piano x y, a cui aggiungiamo semplicemente la quota z. Proiettiamo il punto P sul piano x y. La distanza della proiezione dall'asse z è rho, l'angolo con l'asse x è l'azimut phi, e la quota del punto è z. Dalla proiezione leggiamo subito le formule: x è rho per coseno di phi, y è rho per seno di phi, e z resta z. Le formule inverse sono quelle delle polari. Che cosa descrive rho costante? Teniamo rho fisso e facciamo ruotare phi: il punto gira attorno all'asse. Poi facciamo variare z: il punto scorre in verticale. Insieme, i due movimenti disegnano un cilindro. In ogni punto i versori sono il radiale e rho, che punta lontano dall'asse, il trasverso e phi, tangente alla circonferenza, e il versore k dell'asse z. Questo sistema è naturale quando c'è simmetria assiale: un filo carico, un solenoide, un fluido in un tubo. Per un filo infinito, il campo elettrico dipende soltanto da rho e punta sempre lungo e rho, lontano dal filo. ### [04:8.074 · Coordinate sferiche](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=248.07416666666666) Infine le coordinate sferiche, pensate per problemi con un centro privilegiato. Il punto si individua con la distanza r dall'origine e con due angoli. Il primo è l'angolo polare theta, detto anche colatitudine, misurato dal semiasse z positivo. Il secondo è l'azimut phi, lo stesso angolo delle cilindriche, misurato nel piano x y a partire dall'asse x. Ora il passaggio chiave. La proiezione di r sul piano x y è lunga r seno di theta: è esattamente il rho delle cilindriche. E la quota è r coseno di theta. Basta allora sostituire nelle formule cilindriche. x diventa r seno theta coseno phi, e y diventa r seno theta seno phi. Gli intervalli completano la definizione: r non è mai negativo, theta va da zero a pi greco, phi copre un giro intero. Teniamo fisso r e facciamo variare theta: il punto scende lungo un meridiano. Variamo phi: si muove lungo un parallelo. Tutti i punti raggiungibili formano una sfera. Questo è il sistema naturale per la simmetria centrale: il campo di una carica puntiforme, la gravità di un pianeta. Il campo dipende solo da r e punta lungo il versore radiale, in ogni direzione. Riassumiamo. Le cartesiane hanno versori fissi e sono ideali per geometrie rettangolari. Le polari descrivono rotazioni nel piano, le cilindriche la simmetria assiale, le sferiche quella centrale. La regola pratica è semplice: si sceglie il sistema che rispecchia la simmetria del problema, e le formule di trasformazione permettono sempre di tornare alle cartesiane. ## About Academa, Inc. Academa makes technical knowledge easier to understand through visual lectures and lets learners request new lecture videos on the topics they need. ## Complete audiovisual record Immutable source: [semantic.json](https://academa.ai/media/l/01M4QV3V09E7HYA2S9HS115S7S/0/semantic.json) Record version: 1. Render attempt: 0. ### How to read this timeline Each scene owns its object identifiers. A beat's board is the complete board when listed, empty when marked empty, and unchanged from the nearest earlier listed board in the same scene when marked unchanged. Action times are absolute positions in the published video. ### Scene 1: [Coordinate cartesiane](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=0) Span: 00:00–01:41.409 (0s–101.40920833333332s). #### Objects - card: a Title that says "Metodi Matematici per la Fisica — Sistemi di Coordinate in Fisica: Cartesiane, Polari, Cilindriche e Sferiche" - head\_map: a Heading that says "Quattro modi per dire dove" - head\_plane: a Heading that says "Il piano cartesiano" - head\_space: a Heading that says "Lo spazio cartesiano" - line: a Line \[blue\] drawn in plane (end=(3.0, 0.0), dashed=True) - line\_2: a Line \[blue\] drawn in plane (start=(3.0, 0.0), end=(3.0, 2.0), dashed=True) - line\_3: a Line \[blue\] drawn in space (start=(0.0, 0.0, 0.0), end=(2.0, 0.0, 0.0), dashed=True) - line\_4: a Line \[blue\] drawn in space (start=(2.0, 0.0, 0.0), end=(2.0, 2.0, 0.0), dashed=True) - line\_5: a Line \[blue\] drawn in space (start=(2.0, 2.0, 0.0), end=(2.0, 2.0, 2.5), dashed=True) - ortho2: a Math \[text\] that says "$hat(i) perp hat(j), quad abs(hat(i)) = abs(hat(j)) = 1$" - ortho3: a Math \[text\] that says "$hat(i) times hat(j) = hat(k)$" - p2: a Point \[yellow\] labelled "P" drawn in plane (location=(3.0, 2.0)) - p3: a Point \[yellow\] labelled "P" drawn in space (location=(2.0, 2.0, 2.5)) - plane: an Axes (x\_range=(-0.5, 4.0), y\_range=(-0.5, 3.0), x\_ticks\_every=1.0) - pos2: a Math \[text\] that says "$arrow(r) = x hat(i) + y hat(j)$" - pos3: a Math \[text\] that says "$arrow(r) = x hat(i) + y hat(j) + z hat(k)$" - r2: a Vector \[blue\] labelled "arrow(r)" drawn in plane (end=(3.0, 2.0)) - r3: a Vector \[blue\] labelled "arrow(r)" drawn in space (start=(0.0, 0.0, 0.0), end=(2.0, 2.0, 2.5)) - space: an Axes3D (x\_range=(0.0, 3.0), y\_range=(0.0, 3.0), z\_range=(0.0, 3.0)) - systems: a Table \[text\] that says "Sistema Coordinate Cartesiane $(x, y, z)$ Polari $(r, theta)$ Cilindriche $(rho, phi, z)$ Sferiche $(r, theta, phi)$" (rows=(('Sistema', 'Coordinate'), ('Cartesiane', '$(x, y, z)$'), ('Po…, header=True) - ui: a Vector \[red\] labelled "hat(i)" drawn in space (start=(0.0, 0.0, 0.0), end=(1.0, 0.0, 0.0)) - uj: a Vector \[green\] labelled "hat(j)" drawn in space (start=(0.0, 0.0, 0.0), end=(0.0, 1.0, 0.0)) - uk: a Vector \[magenta\] labelled "hat(k)" drawn in space (start=(0.0, 0.0, 0.0), end=(0.0, 0.0, 1.0)) - vi: a Vector \[red\] labelled "hat(i)" drawn in plane - vj: a Vector \[green\] labelled "hat(j)" drawn in plane (end=(0.0, 1.0)) #### Beats ##### [00:00](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=0) Narration: Per descrivere qualunque fenomeno fisico dobbiamo prima rispondere a una domanda semplice: dove si trova il punto che stiamo studiando? Board: Empty. Actions: - [00:00](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=0): card is shown on the screen, written out. - [00:1.281](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=1.281353637901861): card: enter:write-left-to-right. - [00:7.853](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=7.8525): card is hidden from the screen — left the board. ##### [00:9.053](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=9.0525) Narration: Esistono diversi modi di rispondere. In questa lezione ne vedremo quattro: le coordinate cartesiane, le polari nel piano, le cilindriche e le sferiche nello spazio. Board: Unchanged from the preceding beat in this scene. Actions: - [00:9.053](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=9.0525): head\_map is shown on the screen, written out. - [00:10.52](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=10.520000000000003): systems is shown on the screen, written out. - [00:14.92](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=14.920000000000002): systems is shown on the screen, written out. - [00:15.92](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=15.920000000000002): systems is shown on the screen, written out. - [00:17.44](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=17.440000000000005): systems is shown on the screen, written out. - [00:18.4](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=18.400000000000006): systems is shown on the screen, written out. ##### [00:20.538](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=20.5375) Narration: Ciascuno si adatta a una diversa simmetria del problema, e impareremo a passare dall'uno all'altro con formule esatte. Board: head\_map — a Heading that says "Quattro modi per dire dove" Actions: - [00:26.6](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=26.600000000000005): systems (the "column=2" part) is indicated — a transient flash. - [00:27.833](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=27.832500000000003): head\_map is hidden from the screen — left the board. - [00:27.833](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=27.832500000000003): systems is hidden from the screen — left the board. ##### [00:29.032](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=29.0325) Narration: Cominciamo dal piano. Scegliamo un'origine e due assi perpendicolari, e su ciascun asse un versore, cioè un vettore di lunghezza uno: i cappello lungo x, j cappello lungo y. Board: Empty. Actions: - [00:29.032](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=29.0325): head\_plane is shown on the screen, written out. - [00:29.032](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=29.0325): plane is shown on the screen, written out. - [00:36.92](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=36.92): plane moves to a new place on the board. - [00:36.92](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=36.92): ortho2 is shown on the screen, written out. - [00:38.08](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=38.08): vi is shown on the screen, written out. - [00:39.56](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=39.56): vj is shown on the screen, written out. ##### [00:41.925](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=41.925) Narration: Un punto P si raggiunge spostandosi di x lungo il primo asse e di y lungo il secondo. Qui x vale tre e y vale due. Board: ortho2 — a Math \[text\] that says "$hat(i) perp hat(j), quad abs(hat(i)) = abs(hat(j)) = 1$"; plane — an Axes (x\_range=(-0.5, 4.0), y\_range=(-0.5, 3.0), x\_ticks\_every=1.0); head\_plane — a Heading that says "Il piano cartesiano"; vi — a Vector \[red\] labelled "hat(i)" drawn in plane; vj — a Vector \[green\] labelled "hat(j)" drawn in plane (end=(0.0, 1.0)) Actions: - [00:42.64](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=42.63999999999999): p2 is shown on the screen, written out. - [00:50](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=49.99999999999999): line is shown on the screen, drawn. - [00:51.28](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=51.279999999999994): line\_2 is shown on the screen, drawn. ##### [00:52.343](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=52.3425) Narration: Il vettore posizione è quindi la combinazione dei versori: r è uguale a x per i cappello, più y per j cappello. Board: ortho2 — a Math \[text\] that says "$hat(i) perp hat(j), quad abs(hat(i)) = abs(hat(j)) = 1$"; plane — an Axes (x\_range=(-0.5, 4.0), y\_range=(-0.5, 3.0), x\_ticks\_every=1.0); head\_plane — a Heading that says "Il piano cartesiano"; vi — a Vector \[red\] labelled "hat(i)" drawn in plane; vj — a Vector \[green\] labelled "hat(j)" drawn in plane (end=(0.0, 1.0)); p2 — a Point \[yellow\] labelled "P" drawn in plane (location=(3.0, 2.0)); line — a Line \[blue\] drawn in plane (end=(3.0, 0.0), dashed=True); line\_2 — a Line \[blue\] drawn in plane (start=(3.0, 0.0), end=(3.0, 2.0), dashed=True) Actions: - [00:52.96](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=52.96): r2 is shown on the screen, written out. - [00:53.784](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=53.78377140406369): line is hidden from the screen. - [00:53.784](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=53.78377140406369): line\_2 is hidden from the screen. - [00:54.6](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=54.6): pos2 is shown on the screen, written out. - [00:57.8](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=57.8): pos2 (the "x hat(i)" part) is emphasized. - [00:59.24](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=59.239999999999995): pos2 (the "x hat(i)" part) is no longer emphasized. - [00:59.24](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=59.239999999999995): pos2 (the "y hat(j)" part) is emphasized. - [01:0.24](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=60.239999999999995): pos2 (the "y hat(j)" part) is no longer emphasized. - [01:1.045](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=61.045): head\_plane is hidden from the screen — left the board. - [01:1.045](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=61.045): ortho2 is hidden from the screen — left the board. - [01:1.045](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=61.045): plane is hidden from the screen — left the board. - [01:1.045](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=61.045): vi is hidden from the screen — plane left the board. - [01:1.045](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=61.045): vj is hidden from the screen — plane left the board. - [01:1.045](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=61.045): p2 is hidden from the screen — plane left the board. - [01:1.045](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=61.045): r2 is hidden from the screen — plane left the board. - [01:1.045](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=61.045): pos2 is hidden from the screen — left the board. ##### [01:2.245](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=62.245000000000005) Narration: Nello spazio teniamo i due versori del piano e aggiungiamo un terzo asse, z, perpendicolare ai primi due, con il suo versore k cappello. Board: Empty. Actions: - [01:2.245](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=62.245000000000005): head\_space is shown on the screen, written out. - [01:2.245](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=62.245000000000005): space is shown on the screen, written out. - [01:4.52](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=64.52): ui is shown on the screen, written out. - [01:4.675](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=64.67532879818594): uj is shown on the screen, written out. - [01:5.64](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=65.64): space turns in its own slot. - [01:10.84](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=70.84): uk is shown on the screen, written out. ##### [01:12.188](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=72.1875) Narration: I tre versori sono ortogonali tra loro e formano una terna destrorsa: i vettore j è uguale a k. Board: space — an Axes3D (x\_range=(0.0, 3.0), y\_range=(0.0, 3.0), z\_range=(0.0, 3.0)); head\_space — a Heading that says "Lo spazio cartesiano"; ui — a Vector \[red\] labelled "hat(i)" drawn in space (start=(0.0, 0.0, 0.0), end=(1.0, 0.0, 0.0)); uj — a Vector \[green\] labelled "hat(j)" drawn in space (start=(0.0, 0.0, 0.0), end=(0.0, 1.0, 0.0)); uk — a Vector \[magenta\] labelled "hat(k)" drawn in space (start=(0.0, 0.0, 0.0), end=(0.0, 0.0, 1.0)) Actions: - [01:15.84](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=75.84): space moves to a new place on the board. - [01:15.84](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=75.84): ortho3 is shown on the screen, written out. ##### [01:20.03](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=80.03) Narration: Per raggiungere P ci spostiamo di x, poi di y, poi di z, e la posizione diventa x per i più y per j più z per k. Board: ortho3 — a Math \[text\] that says "$hat(i) times hat(j) = hat(k)$"; space — an Axes3D (x\_range=(0.0, 3.0), y\_range=(0.0, 3.0), z\_range=(0.0, 3.0)); head\_space — a Heading that says "Lo spazio cartesiano"; ui — a Vector \[red\] labelled "hat(i)" drawn in space (start=(0.0, 0.0, 0.0), end=(1.0, 0.0, 0.0)); uj — a Vector \[green\] labelled "hat(j)" drawn in space (start=(0.0, 0.0, 0.0), end=(0.0, 1.0, 0.0)); uk — a Vector \[magenta\] labelled "hat(k)" drawn in space (start=(0.0, 0.0, 0.0), end=(0.0, 0.0, 1.0)) Actions: - [01:20.76](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=80.76): p3 is shown on the screen, written out. - [01:21.8](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=81.8): line\_3 is shown on the screen, drawn. - [01:23.2](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=83.2): line\_4 is shown on the screen, drawn. - [01:24.2](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=84.2): line\_5 is shown on the screen, drawn. - [01:25.48](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=85.48): pos3 is shown on the screen, written out. - [01:26.04](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=86.04): r3 is shown on the screen, written out. - [01:27.004](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=87.00398411243508): line\_3 is hidden from the screen. - [01:27.004](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=87.00398411243508): line\_4 is hidden from the screen. - [01:27.004](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=87.00398411243508): line\_5 is hidden from the screen. ##### [01:31.058](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=91.0575) Narration: Questi versori hanno una proprietà preziosa: sono gli stessi in ogni punto dello spazio. Vedremo che negli altri sistemi non sarà così. Board: ortho3 — a Math \[text\] that says "$hat(i) times hat(j) = hat(k)$"; pos3 — a Math \[text\] that says "$arrow(r) = x hat(i) + y hat(j) + z hat(k)$"; space — an Axes3D (x\_range=(0.0, 3.0), y\_range=(0.0, 3.0), z\_range=(0.0, 3.0)); head\_space — a Heading that says "Lo spazio cartesiano"; ui — a Vector \[red\] labelled "hat(i)" drawn in space (start=(0.0, 0.0, 0.0), end=(1.0, 0.0, 0.0)); uj — a Vector \[green\] labelled "hat(j)" drawn in space (start=(0.0, 0.0, 0.0), end=(0.0, 1.0, 0.0)); uk — a Vector \[magenta\] labelled "hat(k)" drawn in space (start=(0.0, 0.0, 0.0), end=(0.0, 0.0, 1.0)); p3 — a Point \[yellow\] labelled "P" drawn in space (location=(2.0, 2.0, 2.5)); r3 — a Vector \[blue\] labelled "arrow(r)" drawn in space (start=(0.0, 0.0, 0.0), end=(2.0, 2.0, 2.5)) Actions: - [01:34.88](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=94.88000000000002): ui is indicated — a transient flash. - [01:35.131](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=95.13148658448154): uj is indicated — a transient flash. - [01:35.383](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=95.38297316896305): uk is indicated — a transient flash. - [01:40.368](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=100.36754166666667): head\_space is hidden from the screen — left the board. - [01:40.368](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=100.36754166666667): ortho3 is hidden from the screen — left the board. - [01:40.368](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=100.36754166666667): pos3 is hidden from the screen — left the board. - [01:40.368](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=100.36754166666667): space is hidden from the screen — left the board. - [01:40.368](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=100.36754166666667): ui is hidden from the screen — space left the board. - [01:40.368](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=100.36754166666667): uj is hidden from the screen — space left the board. - [01:40.368](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=100.36754166666667): uk is hidden from the screen — space left the board. - [01:40.368](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=100.36754166666667): p3 is hidden from the screen — space left the board. - [01:40.368](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=100.36754166666667): r3 is hidden from the screen — space left the board. ### Scene 2: [Coordinate polari](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=101.40920833333332) Span: 01:41.409–02:54.585 (101.40920833333332s–174.58495833333333s). #### Objects - angle: an Angle \[yellow\] labelled "theta" drawn in plane (sides=((1.0, 0.0), ((2.0 \* cos(theta)), (2.0 \* sin(theta)))), radius=0.5) - conv: a Derivation \[text\] that says "$x &= r cos theta \\ y &= r sin theta \\ r &= sqrt(x^2 + y^2) \\ tan theta &= frac(y, x)$" - drop\_y: a Line \[green\] labelled "y" drawn in plane (start=((2.0 \* cos(theta)), 0.0), end=((2.0 \* cos(theta)), (2.0 \* sin(theta))), dashed=True) - e1: a Math \[text\] that says "$hat(e)\_r = cos theta thin hat(i) + sin theta thin hat(j)$" - e2: a Math \[text\] that says "$hat(e)\_theta = - sin theta thin hat(i) + cos theta thin hat(j)$" - e\_r: a Vector \[red\] labelled "hat(e)\_r" drawn in plane (start=((2.0 \* cos(theta)), (2.0 \* sin(theta))), end=(((2.0 \* cos(theta)) + (0.7 \* cos(theta))), ((2.0 \* sin(theta))…) - e\_t: a Vector \[green\] labelled "hat(e)\_theta" drawn in plane (start=((2.0 \* cos(theta)), (2.0 \* sin(theta))), end=(((2.0 \* cos(theta)) - (0.7 \* sin(theta))), ((2.0 \* sin(theta))…) - foot\_x: a Line \[red\] labelled "x" drawn in plane (end=((2.0 \* cos(theta)), 0.0)) - heading: a Heading that says "Coordinate polari nel piano" - path: a ParametricCurve \[gray\] drawn in plane (function=\, t\_range=(0.0, 1.5707963267948966)) - plane: an Axes (x\_range=(-0.5, 3.0), y\_range=(-0.5, 3.0), aspect=(1.0, 1.0)) - point: a Point \[yellow\] labelled "P" drawn in plane (location=((2.0 \* cos(theta)), (2.0 \* sin(theta)))) - radius: a Line \[blue\] labelled "r" drawn in plane (end=((2.0 \* cos(theta)), (2.0 \* sin(theta)))) - ray\_x: a Line \[gray\] drawn in plane (end=(2.8, 0.0)) - theta: a VariableNumber (initial\_value=0.6) #### Beats ##### [01:41.409](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=101.40920833333332) Narration: Nel piano un punto si può descrivere anche in un altro modo: con la sua distanza dall'origine e con una direzione. Board: Empty. Actions: - [01:41.409](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=101.40920833333332): heading is shown on the screen, written out. - [01:41.409](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=101.40920833333332): plane is shown on the screen, written out. - [01:41.409](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=101.40920833333332): ray\_x is shown on the screen, written out. - [01:42.049](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=102.04920833333333): point is shown on the screen, written out. - [01:45.529](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=105.52920833333333): radius is shown on the screen, written out. ##### [01:48.967](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=108.96670833333333) Narration: La distanza è r, che non è mai negativa. La direzione è data dall'angolo theta, misurato a partire dall'asse x in verso antiorario. Board: plane — an Axes (x\_range=(-0.5, 3.0), y\_range=(-0.5, 3.0), aspect=(1.0, 1.0)); heading — a Heading that says "Coordinate polari nel piano"; ray\_x — a Line \[gray\] drawn in plane (end=(2.8, 0.0)); point — a Point \[yellow\] labelled "P" drawn in plane (location=((2.0 \* cos(theta)), (2.0 \* sin(theta)))); radius — a Line \[blue\] labelled "r" drawn in plane (end=((2.0 \* cos(theta)), (2.0 \* sin(theta)))) Actions: - [01:49.329](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=109.32920833333333): point is indicated — a transient flash. - [01:54.329](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=114.32920833333333): angle is shown on the screen, written out. ##### [01:58.939](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=118.93920833333333) Narration: Proiettiamo P sugli assi. Il cateto orizzontale vale r coseno di theta, quello verticale r seno di theta. Board: plane — an Axes (x\_range=(-0.5, 3.0), y\_range=(-0.5, 3.0), aspect=(1.0, 1.0)); heading — a Heading that says "Coordinate polari nel piano"; ray\_x — a Line \[gray\] drawn in plane (end=(2.8, 0.0)); point — a Point \[yellow\] labelled "P" drawn in plane (location=((2.0 \* cos(theta)), (2.0 \* sin(theta)))); radius — a Line \[blue\] labelled "r" drawn in plane (end=((2.0 \* cos(theta)), (2.0 \* sin(theta)))); angle — an Angle \[yellow\] labelled "theta" drawn in plane (sides=((1.0, 0.0), ((2.0 \* cos(theta)), (2.0 \* sin(theta)))), radius=0.5) Actions: - [02:1.689](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=121.68920833333333): foot\_x is shown on the screen, written out. - [02:3.129](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=123.12920833333332): conv is shown on the screen, written out. - [02:4.529](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=124.52920833333333): drop\_y is shown on the screen, written out. - [02:5.649](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=125.64920833333332): conv is shown on the screen, written out. ##### [02:7.314](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=127.31420833333333) Narration: Al contrario, il teorema di Pitagora restituisce r come radice di x quadro più y quadro, mentre il rapporto y su x è la tangente di theta. Attenzione però: per scegliere l'angolo giusto bisogna guardare il quadrante. Board: plane — an Axes (x\_range=(-0.5, 3.0), y\_range=(-0.5, 3.0), aspect=(1.0, 1.0)); heading — a Heading that says "Coordinate polari nel piano"; ray\_x — a Line \[gray\] drawn in plane (end=(2.8, 0.0)); point — a Point \[yellow\] labelled "P" drawn in plane (location=((2.0 \* cos(theta)), (2.0 \* sin(theta)))); radius — a Line \[blue\] labelled "r" drawn in plane (end=((2.0 \* cos(theta)), (2.0 \* sin(theta)))); angle — an Angle \[yellow\] labelled "theta" drawn in plane (sides=((1.0, 0.0), ((2.0 \* cos(theta)), (2.0 \* sin(theta)))), radius=0.5); foot\_x — a Line \[red\] labelled "x" drawn in plane (end=((2.0 \* cos(theta)), 0.0)); drop\_y — a Line \[green\] labelled "y" drawn in plane (start=((2.0 \* cos(theta)), 0.0), end=((2.0 \* cos(theta)), (2.0 \* sin(theta))), dashed=True) Actions: - [02:9.009](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=129.00920833333333): conv is shown on the screen, written out. - [02:16.049](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=136.04920833333333): conv is shown on the screen, written out. ##### [02:22.564](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=142.56420833333334) Narration: Ora i versori. Il versore radiale punta lontano dall'origine, lungo r. Il versore trasverso è perpendicolare a lui, nel verso in cui theta cresce. Board: Unchanged from the preceding beat in this scene. Actions: - [02:22.564](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=142.56420833333334): foot\_x is hidden from the screen. - [02:22.564](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=142.56420833333334): drop\_y is hidden from the screen. - [02:24.849](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=144.8492083333333): e\_r is shown on the screen, written out. - [02:27.169](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=147.16920833333333): e1 is shown on the screen, written out. - [02:28.889](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=148.88920833333333): e\_t is shown on the screen, written out. - [02:29.769](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=149.76920833333332): e2 is shown on the screen, written out. ##### [02:33.467](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=153.46670833333332) Narration: Ecco la differenza decisiva rispetto alle cartesiane. Se il punto si sposta lungo la circonferenza, i due versori ruotano con lui: dipendono da theta. Board: e1 — a Math \[text\] that says "$hat(e)\_r = cos theta thin hat(i) + sin theta thin hat(j)$"; e2 — a Math \[text\] that says "$hat(e)\_theta = - sin theta thin hat(i) + cos theta thin hat(j)$"; plane — an Axes (x\_range=(-0.5, 3.0), y\_range=(-0.5, 3.0), aspect=(1.0, 1.0)); heading — a Heading that says "Coordinate polari nel piano"; ray\_x — a Line \[gray\] drawn in plane (end=(2.8, 0.0)); point — a Point \[yellow\] labelled "P" drawn in plane (location=((2.0 \* cos(theta)), (2.0 \* sin(theta)))); radius — a Line \[blue\] labelled "r" drawn in plane (end=((2.0 \* cos(theta)), (2.0 \* sin(theta)))); angle — an Angle \[yellow\] labelled "theta" drawn in plane (sides=((1.0, 0.0), ((2.0 \* cos(theta)), (2.0 \* sin(theta)))), radius=0.5); e\_r — a Vector \[red\] labelled "hat(e)\_r" drawn in plane (start=((2.0 \* cos(theta)), (2.0 \* sin(theta))), end=(((2.0 \* cos(theta)) + (0.7 \* cos(theta))), ((2.0 \* sin(theta))…); e\_t — a Vector \[green\] labelled "hat(e)\_theta" drawn in plane (start=((2.0 \* cos(theta)), (2.0 \* sin(theta))), end=(((2.0 \* cos(theta)) - (0.7 \* sin(theta))), ((2.0 \* sin(theta))…) Actions: - [02:37.609](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=157.60920833333333): point is redrawn as the numbers it depends on change. - [02:37.609](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=157.60920833333333): radius is redrawn as the numbers it depends on change. - [02:37.609](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=157.60920833333333): angle is redrawn as the numbers it depends on change. - [02:37.609](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=157.60920833333333): e\_r is redrawn as the numbers it depends on change. - [02:37.609](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=157.60920833333333): e\_t is redrawn as the numbers it depends on change. - [02:37.609](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=157.60920833333333): path is shown on the screen, written out. - [02:37.609](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=157.60920833333333): theta ticks to 1.2. - [02:40.249](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=160.24920833333334): point is redrawn as the numbers it depends on change. - [02:40.249](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=160.24920833333334): radius is redrawn as the numbers it depends on change. - [02:40.249](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=160.24920833333334): angle is redrawn as the numbers it depends on change. - [02:40.249](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=160.24920833333334): e\_r is redrawn as the numbers it depends on change. - [02:40.249](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=160.24920833333334): e\_t is redrawn as the numbers it depends on change. - [02:40.249](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=160.24920833333334): theta ticks to 0.35. ##### [02:43.229](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=163.22920833333333) Narration: Derivando questi versori rispetto al tempo nascono i termini centripeti dei moti circolari. È il prezzo, e insieme il vantaggio, di una base che si muove con il punto. Board: e1 — a Math \[text\] that says "$hat(e)\_r = cos theta thin hat(i) + sin theta thin hat(j)$"; e2 — a Math \[text\] that says "$hat(e)\_theta = - sin theta thin hat(i) + cos theta thin hat(j)$"; plane — an Axes (x\_range=(-0.5, 3.0), y\_range=(-0.5, 3.0), aspect=(1.0, 1.0)); heading — a Heading that says "Coordinate polari nel piano"; ray\_x — a Line \[gray\] drawn in plane (end=(2.8, 0.0)); point — a Point \[yellow\] labelled "P" drawn in plane (location=((2.0 \* cos(theta)), (2.0 \* sin(theta)))); radius — a Line \[blue\] labelled "r" drawn in plane (end=((2.0 \* cos(theta)), (2.0 \* sin(theta)))); angle — an Angle \[yellow\] labelled "theta" drawn in plane (sides=((1.0, 0.0), ((2.0 \* cos(theta)), (2.0 \* sin(theta)))), radius=0.5); e\_r — a Vector \[red\] labelled "hat(e)\_r" drawn in plane (start=((2.0 \* cos(theta)), (2.0 \* sin(theta))), end=(((2.0 \* cos(theta)) + (0.7 \* cos(theta))), ((2.0 \* sin(theta))…); e\_t — a Vector \[green\] labelled "hat(e)\_theta" drawn in plane (start=((2.0 \* cos(theta)), (2.0 \* sin(theta))), end=(((2.0 \* cos(theta)) - (0.7 \* sin(theta))), ((2.0 \* sin(theta))…); path — a ParametricCurve \[gray\] drawn in plane (function=\, t\_range=(0.0, 1.5707963267948966)) Actions: - [02:43.489](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=163.48920833333335): point is redrawn as the numbers it depends on change. - [02:43.489](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=163.48920833333335): radius is redrawn as the numbers it depends on change. - [02:43.489](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=163.48920833333335): angle is redrawn as the numbers it depends on change. - [02:43.489](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=163.48920833333335): e\_r is redrawn as the numbers it depends on change. - [02:43.489](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=163.48920833333335): e\_t is redrawn as the numbers it depends on change. - [02:43.489](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=163.48920833333335): theta ticks to 0.8. - [02:51.489](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=171.48920833333335): e2 is indicated — a transient flash. - [02:53.543](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=173.54329166666668): conv is hidden from the screen — left the board. - [02:53.543](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=173.54329166666668): e1 is hidden from the screen — left the board. - [02:53.543](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=173.54329166666668): e2 is hidden from the screen — left the board. - [02:53.543](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=173.54329166666668): heading is hidden from the screen — left the board. - [02:53.543](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=173.54329166666668): plane is hidden from the screen — left the board. - [02:53.543](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=173.54329166666668): ray\_x is hidden from the screen — plane left the board. - [02:53.543](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=173.54329166666668): point is hidden from the screen — plane left the board. - [02:53.543](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=173.54329166666668): radius is hidden from the screen — plane left the board. - [02:53.543](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=173.54329166666668): angle is hidden from the screen — plane left the board. - [02:53.543](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=173.54329166666668): e\_r is hidden from the screen — plane left the board. - [02:53.543](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=173.54329166666668): e\_t is hidden from the screen — plane left the board. - [02:53.543](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=173.54329166666668): path is hidden from the screen — plane left the board. ### Scene 3: [Coordinate cilindriche](https://academa.ai/@gobi/lectures/sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche?t=174.58495833333333) Span: 02:54.585–04:8.074 (174.58495833333333s–248.07416666666666s). #### Objects - angle: an Angle \[yellow\] labelled "phi" drawn in space (vertex=(0.0, 0.0, 0.0), sides=((1.0, 0.0, 0.0), ((1.3 \* cos(phi)), (1.3 \* sin(phi)), 0.0)), radius=0.5) - basis: a Math \[text\] that says "$hat(e)\_rho, quad hat(e)\_phi, quad hat(k)$" - cyl: a Derivation \[text\] that says "$x &= rho cos phi \\ y &= rho sin phi \\ z &= z \\ rho &= sqrt(x^2 + y^2)$" - e\_phi: a Vector \[green\] labelled "hat(e)\_phi" drawn in space (start=((1.3 \* cos(phi)), (1.3 \* sin(phi)), \