أنواع الأعداد وفق منهج الصف التاسع في سلطنة عمان

الأعداد التي نستعملها في الرياضيات ليست نوعا واحدا، بل عائلات مرتبة. سنبني هذه العائلات اليوم واحدة بعد أخرى، ونرى ما يضيفه كل نوع جديد. أمامك خريطة الدرس: الأعداد الطبيعية، ثم الصحيحة، ثم النسبية، وأخيرا الحقيقية التي تجمعها كلها. وفي الطريق سنقابل النوع الخامس. نبدأ من الأصل: خط الأعداد. علاماته متساوية المسافات، وسنضع عليه كل مجموعة نتعرف عليها. الأعداد الطبيعية هي أعداد العد: واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة، وتستمر بلا نهاية. ونرمز لها بالرمز إن. لاحظ أنها لا تحتوي كسورا ولا أعدادا سالبة، ولا تحتوي الصفر في هذا التعريف. تنبيه صغير: بعض المراجع تضيف الصفر إليها، والمهم أن تعرف الفرق. لكن الجهة اليسرى من الخط فارغة، والحياة تحتاجها: درجة حرارة تحت الصفر، أو دين على شخص، أو منسوب تحت سطح البحر. نضيف الصفر أولا، ثم نضيف الأعداد السالبة على يسار الصفر. فنحصل على مجموعة أوسع اسمها الأعداد الصحيحة، ورمزها زد. وكل عدد طبيعي هو أيضا عدد صحيح. فالمجموعة الجديدة لا تلغي القديمة، بل تحتويها. الأعداد الصحيحة إذن هي السوالب والصفر والموجبات، بلا كسور ولا أعداد عشرية. والسؤال التالي: ماذا لو احتجنا إلى الكسور؟

في نهاية الجزء السابق سألنا عن الكسور. فلنجرب: ثلاثة مقسومة على أربعة، هل الناتج عدد صحيح؟ على خط الأعداد لا يوجد أي عدد صحيح بين الصفر والواحد. الناتج موجود فعلا، لكنه يقع بين علامتين، لا عليهما. لذلك نحتاج مجموعة أوسع هي الأعداد النسبية، ورمزها كيو. العدد النسبي هو كل عدد يمكن كتابته كسرا، بسطه ومقامه عددان صحيحان، والمقام لا يساوي صفرا. ثلاثة على أربعة تساوي صفرا وخمسة وسبعين من مئة. وهذه نقطة محددة تماما بين الصفر والواحد. وبعض الكسور تعطي عددا عشريا لا ينتهي، لكنه يتكرر بانتظام: واحد على ثلاثة يساوي صفرا وثلاثة ثلاثة ثلاثة بلا نهاية. وما دام يمكن كتابته كسرا فهو نسبي. وحتى الأعداد الصحيحة نسبية: خمسة يمكن كتابتها خمسة على واحد، والعدد اثنان اثنان على واحد. إذن كل عدد صحيح يقع داخل الأعداد النسبية، وكل عدد طبيعي يقع داخل الصحيحة. الدوائر تكبر، ولا يخرج أحد منها. والأعداد النسبية تشمل السوالب أيضا: سالب ثلاثة على أربعة يقع هنا، على يسار الصفر. والقاعدة العملية: العدد النسبي تمثيله العشري إما منته، أو غير منته لكنه دوري. أي أن أرقامه تتكرر بنمط ثابت. بقي سؤال واحد: هل كل نقطة على خط الأعداد يمكن كتابتها على صورة كسر؟ لنجرب نقطة مثل هذه، ونرى.

خذ مربعا طول ضلعه واحد، وارسم قطره من زاوية إلى الزاوية المقابلة. وبنظرية فيثاغورس: مربع طول القطر يساوي واحدا زائد واحدا، أي اثنين. فطول القطر هو الجذر التربيعي للعدد اثنين. الآن جرب أن تكتب هذا الطول على صورة كسر بين عددين صحيحين. لن تنجح، وقد أثبت الرياضيون أن ذلك مستحيل. وتمثيله العشري يستمر بلا انتهاء وبلا نمط يتكرر. لذلك نسميه عددا غير نسبي. وأشهر أمثلة الأعداد غير النسبية هو النسبة الثابتة باي: ثلاثة وواحد أربعة واحد خمسة تسعة، وتستمر بلا تكرار. والجذر التربيعي للعدد ثلاثة مثال آخر. والفرق واضح: العدد النسبي عشريه ينتهي أو يتكرر بانتظام، والعدد غير النسبي لا ينتهي ولا يتكرر أبدا. الآن نجمع كل شيء في صورة واحدة. الأعداد الحقيقية هي كل الأعداد التي تمثل نقاطا على خط الأعداد. وداخل الحقيقية تجد الأعداد النسبية، وداخل النسبية الأعداد الصحيحة، وداخل الصحيحة الأعداد الطبيعية. وما بقي داخل الحقيقية وخارج النسبية هو الأعداد غير النسبية، مثل الجذر التربيعي لاثنين وباي. وسلسلة الاحتواء كلها هكذا: الطبيعية داخل الصحيحة، داخل النسبية، داخل الحقيقية. أما الأعداد غير النسبية فهي داخل الحقيقية وحدها. لنتحقق بسرعة. صنف كل عدد في أصغر مجموعة تحتويه. سالب سبعة ليس طبيعيا، لكنه صحيح. واثنان على خمسة كسر، فهو نسبي وليس صحيحا. والجذر التربيعي لخمسة وعشرين يساوي خمسة، فهو عدد طبيعي. لا تحكم على العدد من شكله، بل من قيمته. وباي غير نسبي. هكذا تكتمل الخريطة التي وعدنا بها: من أعداد العد، إلى الصحيحة، إلى النسبية، ثم غير النسبية، وكلها تسكن داخل الأعداد الحقيقية.