{"version":1,"lectureId":"01M4N99AMEY4ZTYVJYXKSJ7578","attempt":0,"publication":{"slug":"fondamenti-di-statica-dei-fluidi-e-tensore-degli-sforzi","title":"Fondamenti di Statica dei Fluidi e Tensore degli Sforzi","subject":"physics","summary":"Una lezione universitaria sui fondamenti della statica dei fluidi. Si parte dalla definizione di fluido e dall'ipotesi del mezzo continuo, con il volume rappresentativo e i campi di densità, pressione e velocità. Si mostra perché un fluido in quiete non sostiene sforzi di taglio, si riduce il tensore degli sforzi alla forma idrostatica sigma_ij = -P delta_ij e si dimostra con il prisma infinitesimo che la pressione è isotropa. Infine si ricava l'equazione fondamentale grad P = rho f e, per forze conservative, si prova che isobare, equipotenziali e isopicne coincidono e sono ortogonali alle forze.","metaDescription":"Fondamenti di statica dei fluidi: mezzo continuo, tensore degli sforzi a riposo, pressione isotropa, legge ∇P = ρf e superfici isobare.","transcript":"Un fluido, liquido o gas, è una sostanza che si deforma con continuità sotto uno sforzo di taglio, per quanto piccolo. Non possiede una forma propria: un liquido conserva il suo volume, mentre un gas occupa tutto il recipiente. Al microscopio, però, la materia è discreta: molecole separate da spazio vuoto. Nessuno vuole risolvere le equazioni del moto per dieci alla ventitré particelle. Prendiamo allora un piccolo volume, delta V, e misuriamo la massa che contiene. Se lo restringiamo troppo contiene pochissime molecole, e il rapporto tra massa e volume oscilla in modo casuale. Ci fermiamo quindi a una scala delta V star: piccolissima rispetto al sistema, ma abbastanza grande da contenere moltissime molecole. La densità è il limite del rapporto tra massa e volume verso questa scala. Con lo stesso limite, ogni punto riceve i suoi campi: la densità in chilogrammi al metro cubo, la pressione in pascal, e la velocità in metri al secondo. Da qui in avanti il fluido è un mezzo continuo: campi regolari, che possiamo derivare come qualsiasi funzione. Spingiamo parallelamente alla faccia superiore di un blocco solido. Il blocco si inclina di un certo angolo e poi si ferma: una forza tangenziale interna equilibra la spinta. Con un fluido la stessa spinta non trova alcuna nuova posizione di equilibrio: finché agisce, il fluido continua a scorrere. Quindi, in un fluido in quiete, gli sforzi tangenziali sono nulli: tau uguale a zero. Le forze tra parti adiacenti, o contro le pareti, sono soltanto perpendicolari alle superfici. Le forze interne di un mezzo continuo si descrivono con il tensore degli sforzi. Su un elemento di superficie d A, con normale n, agisce la forza sigma per n, d A. In tre dimensioni sigma è una matrice tre per tre. Sulla diagonale stanno gli sforzi normali, perpendicolari alle facce; fuori diagonale gli sforzi di taglio, paralleli alle facce. A riposo il taglio è nullo, quindi tutti i termini fuori diagonale si annullano. Restano soltanto i tre sforzi normali. Sono uguali fra loro? Per ora sappiamo soltanto che sono compressioni. Per deciderlo ci serve un piccolo prisma di fluido. La pressione in un punto è il rapporto tra la forza normale e la superficie su cui agisce. La forza è un vettore; la pressione, invece, non dipende da come orientiamo la superficie. Dimostriamolo. Prendiamo un prisma triangolare di fluido, con cateti d x e d y e ipotenusa d s. La profondità d z è comune a tutte le facce, e la semplifichiamo fin da subito. Su ogni faccia la pressione spinge verso il fluido. Chiamiamo theta l'angolo alla base: allora d s seno theta vale d y, e d s coseno theta vale d x. Lungo x: P x per d y, meno P n per d s seno theta, fa zero. Con la geometria i due prodotti hanno lo stesso fattore d y, e resta P x uguale a P n. Lungo y compare anche il peso del prisma, proporzionale alla sua area. Dividendo per d x resta P y meno P n meno un mezzo rho g d y, uguale a zero. Ora restringiamo il prisma verso un punto. Il peso è di ordine superiore e svanisce con d y, quindi anche P y è uguale a P n. Dunque P x, P y e P n coincidono, qualunque sia l'angolo theta: la pressione è la stessa in tutte le direzioni. È uno scalare. Torniamo al tensore, che a riposo era diagonale. Ogni sforzo normale è una compressione di modulo P, quindi tutti e tre valgono meno P. Raccogliendo meno P resta la matrice identità, che in notazione indiciale è la delta di Kronecker, delta i j. In una sola riga, sigma i j uguale a meno P delta i j dice due cose: se i è diverso da j lo sforzo è nullo, niente taglio; se i è uguale a j vale meno P, la stessa in ogni direzione. Ora mettiamo in equilibrio un cubetto di fluido di volume d V. Su di esso agiscono forze di superficie, dovute alla pressione, e forze di volume, proporzionali alla massa. Lungo x la faccia sinistra riceve P di x per d y d z, quella destra P di x più d x per la stessa area. La differenza è meno la derivata parziale di P rispetto a x, per d V. Lo stesso accade lungo y e lungo z: la forza netta di pressione è meno il gradiente di P per d V. La forza di volume è rho f d V, dove f è la forza per unità di massa. In equilibrio la somma è nulla. Dividendo per d V si ottiene l'equazione fondamentale della statica dei fluidi: il gradiente di pressione è uguale a rho f. Supponiamo ora che la forza sia conservativa: f è meno il gradiente di un potenziale U. Qui U cresce con la distanza dal centro, le sue superfici di livello sono questi cerchi, e le frecce di forza puntano verso il centro. Sostituendo, il gradiente di P vale meno rho per il gradiente di U. Ora applichiamo il rotore: il rotore di un gradiente è nullo, quindi anche il rotore di rho per il gradiente di U deve annullarsi. Sviluppando il prodotto, il termine con il rotore del gradiente di U sparisce, e resta: gradiente di rho, vettore gradiente di U, uguale a zero. Un prodotto vettoriale è nullo solo se i due gradienti sono paralleli. In questo punto il gradiente di U punta in fuori, quello di P verso il centro, sulla stessa retta. Un gradiente di densità inclinato, come questo, darebbe un prodotto diverso da zero: non è ammesso. La densità può variare solo lungo la stessa direzione, ovunque. Quindi pressione, potenziale e densità sono costanti sulle stesse superfici: isobare, equipotenziali e isopicne coincidono, e sono ortogonali alle linee di forza. In un campo di gravità uniforme queste superfici diventano piani orizzontali, come il pelo libero di un lago in quiete.","watch":{"version":1,"scenes":[{"title":"Il fluido come mezzo continuo","start":0,"end":69.44106249999999,"objects":{"cloud":"a Figure (x_range=(0.0, 6.0), y_range=(0.0, 4.0), aspect=(6.0, 4.0))","definition":"a Panel that says \"Un fluido si deforma con continuità sotto qualunque sforzo di taglio, per quanto piccolo. Non ha una forma propria: il liquido conserva il volume, il gas occupa tutto il recipiente.\"","fields":"a Table [text] that says \"Campo Simbolo Unità densità $rho(bold(r), t)$ kg/m³ pressione $P(bold(r), t)$ Pa = N/m² velocità $bold(v)(bold(r), t)$ m/s\" (rows=(('Campo', 'Simbolo', 'Unità'), ('densità', '$rho(bold(r), t)$'…, header=True)","heading":"a Heading that says \"Il fluido come mezzo continuo\"","molecules":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(3.543513910472393, 1.2773533949628473), marker_radius=0.05)","molecules_10":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(3.472802882641554, 1.0195996364578606), marker_radius=0.05)","molecules_11":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(0.24313170313835145, 2.228868296928704), marker_radius=0.05)","molecules_12":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(1.0680497772991657, 3.4583320332691074), marker_radius=0.05)","molecules_13":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(3.2867321863770487, 1.806684192456305), marker_radius=0.05)","molecules_14":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(5.607215782254934, 2.207612437568605), marker_radius=0.05)","molecules_15":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(4.724468645453453, 1.8601255910471082), marker_radius=0.05)","molecules_16":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(2.5879956759512424, 1.6183409271761775), marker_radius=0.05)","molecules_17":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(4.78323812931776, 0.6933686325326562), marker_radius=0.05)","molecules_18":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(4.873837410658598, 2.844148903153837), marker_radius=0.05)","molecules_19":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(3.747145938873291, 0.5770658971741796), marker_radius=0.05)","molecules_2":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(2.0573781721293924, 2.691104256175459), marker_radius=0.05)","molecules_20":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(1.9131803937256335, 3.485881511680782), marker_radius=0.05)","molecules_21":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(3.62752515822649, 1.6940007025375963), marker_radius=0.05)","molecules_22":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(0.3415062688291073, 3.3602988159283997), marker_radius=0.05)","molecules_23":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(1.0282686859369277, 1.9277101503685117), marker_radius=0.05)","molecules_24":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(2.4912021972239016, 0.9804957179352642), marker_radius=0.05)","molecules_25":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(1.1314737662672996, 0.5815769234672189), marker_radius=0.05)","molecules_26":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(1.7342366389930246, 3.1355406304821374), marker_radius=0.05)","molecules_27":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(1.5283990204334257, 2.3158898325636987), marker_radius=0.05)","molecules_28":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(3.5826476342976092, 3.3568328989669682), marker_radius=0.05)","molecules_29":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(3.820733977854252, 1.3903731131926178), marker_radius=0.05)","molecules_3":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(5.759593617916107, 0.569746738858521), marker_radius=0.05)","molecules_30":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(0.27184358462691305, 2.0586789732798936), marker_radius=0.05)","molecules_31":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(1.7171811074018477, 3.6996844725683333), marker_radius=0.05)","molecules_32":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(2.9517165340483187, 2.5405873296782375), marker_radius=0.05)","molecules_33":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(3.550350348651409, 1.889381886459887), marker_radius=0.05)","molecules_34":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(3.2105679504573343, 1.638782142661512), marker_radius=0.05)","molecules_35":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(4.338966143131256, 0.63985914606601), marker_radius=0.05)","molecules_36":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(1.6568470068275927, 2.814435706846416), marker_radius=0.05)","molecules_37":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(4.5203869655728335, 0.20575015489012005), marker_radius=0.05)","molecules_38":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(3.2837013624608518, 2.0661196088418365), marker_radius=0.05)","molecules_39":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(1.678437355160713, 2.8983019756153228), marker_radius=0.05)","molecules_4":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(5.674672777205705, 3.6926537020131946), marker_radius=0.05)","molecules_40":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(5.341340444236994, 3.253974649123848), marker_radius=0.05)","molecules_41":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(1.9915524467825887, 0.9982166269794106), marker_radius=0.05)","molecules_42":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(0.6422112278640271, 2.423099513910711), marker_radius=0.05)","molecules_43":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(5.726235002279282, 3.586461630649865), marker_radius=0.05)","molecules_44":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(5.223986519128084, 1.3136581970378756), marker_radius=0.05)","molecules_45":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(2.3008249416947364, 3.1805493080988527), marker_radius=0.05)","molecules_46":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(4.495365735143423, 0.4452061718329787), marker_radius=0.05)","molecules_47":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(2.044581374526024, 0.86378482747823), marker_radius=0.05)","molecules_48":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(0.3896881856024265, 3.1627353129908444), marker_radius=0.05)","molecules_49":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(5.777077130973339, 1.5949830004945398), marker_radius=0.05)","molecules_5":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(1.5646392419934272, 1.3989436024799944), marker_radius=0.05)","molecules_50":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(3.2513588540256024, 2.631937568448484), marker_radius=0.05)","molecules_51":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(0.9329057931900024, 1.1861538292840124), marker_radius=0.05)","molecules_52":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(5.380086679011583, 1.171187381260097), marker_radius=0.05)","molecules_53":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(2.9567012265324593, 2.635656803287566), marker_radius=0.05)","molecules_54":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(3.9579353354871274, 1.5077428614720703), marker_radius=0.05)","molecules_55":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(1.0934696108102797, 0.5043239461258053), marker_radius=0.05)","molecules_56":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(3.884186515957117, 1.3456657079979777), marker_radius=0.05)","molecules_57":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(0.8992339715361595, 3.4220516124740246), marker_radius=0.05)","molecules_58":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(1.0430157117545604, 2.8329598804935814), marker_radius=0.05)","molecules_59":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(5.796991211175919, 1.012361034937203), marker_radius=0.05)","molecules_6":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(2.116310992091894, 2.9864718889817596), marker_radius=0.05)","molecules_60":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(5.32898049429059, 3.51542902123183), marker_radius=0.05)","molecules_61":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(1.2029816403985023, 2.9224276209250095), marker_radius=0.05)","molecules_62":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(3.1553212963044643, 1.964752626977861), marker_radius=0.05)","molecules_63":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(1.948271009325981, 2.246078999526799), marker_radius=0.05)","molecules_64":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(2.7700746931135654, 2.6682809708639983), marker_radius=0.05)","molecules_65":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(2.52064503878355, 1.8272618183866143), marker_radius=0.05)","molecules_66":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(0.5049991838634014, 2.968048774264753), marker_radius=0.05)","molecules_67":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(2.85181645154953, 2.5314772905781866), marker_radius=0.05)","molecules_68":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(5.682313472777605, 0.636507628671825), marker_radius=0.05)","molecules_69":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(5.174944503605365, 1.9726854914799332), marker_radius=0.05)","molecules_7":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(5.263862040638924, 3.042646126635373), marker_radius=0.05)","molecules_70":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(1.504247250407934, 1.276477167569101), marker_radius=0.05)","molecules_8":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(0.328107712417841, 0.23548282068222762), marker_radius=0.05)","molecules_9":"a Point [blue] drawn in cloud (location=(2.6242713674902918, 2.798792658187449), marker_radius=0.05)","probe":"a Circle [yellow] drawn in cloud (center=(3.0, 2.0))","probe_name":"a Point [yellow] labelled \"Delta V\" drawn in cloud (location=(3.0, 2.0), show_marker=False)","rho_limit":"a Math [text] that says \"$rho(bold(r), t) = lim_(Delta V arrow.r Delta V^*) frac(Delta m, Delta V)$\"","size":"a VariableNumber (initial_value=1.6)"},"beats":[{"start":0,"say":"Un fluido, liquido o gas, è una sostanza che si deforma con continuità sotto uno sforzo di taglio, per quanto piccolo. Non possiede una forma propria: un liquido conserva il suo volume, mentre un gas occupa tutto il recipiente.","live":[],"does":[[0,"heading is shown on the screen, written out."],[0,"definition is shown on the screen, written out."],[6.08,"definition (the \"sforzo di taglio\" part) is emphasized."],[8.32,"definition (the \"sforzo di taglio\" part) is no longer emphasized."],[14.6225,"definition is hidden from the screen — left the board."]]},{"start":15.2225,"say":"Al microscopio, però, la materia è discreta: molecole separate da spazio vuoto. Nessuno vuole risolvere le equazioni del moto per dieci alla ventitré particelle.","live":["heading"],"does":[[15.76,"cloud is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_2 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_3 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_4 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_5 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_6 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_7 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_8 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_9 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_10 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_11 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_12 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_13 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_14 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_15 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_16 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_17 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_18 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_19 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_20 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_21 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_22 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_23 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_24 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_25 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_26 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_27 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_28 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_29 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_30 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_31 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_32 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_33 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_34 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_35 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_36 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_37 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_38 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_39 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_40 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_41 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_42 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_43 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_44 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_45 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_46 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_47 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_48 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_49 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_50 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_51 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_52 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_53 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_54 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_55 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_56 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_57 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_58 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_59 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_60 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_61 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_62 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_63 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_64 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_65 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_66 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_67 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_68 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_69 is shown on the screen, written out."],[15.76,"molecules_70 is shown on the screen, written out."]]},{"start":25.7175,"say":"Prendiamo allora un piccolo volume, delta V, e misuriamo la massa che contiene. Se lo restringiamo troppo contiene pochissime molecole, e il rapporto tra massa e volume oscilla in modo casuale.","live":["heading","cloud","molecules","molecules_2","molecules_3","molecules_4","molecules_5","molecules_6","molecules_7","molecules_8","molecules_9","molecules_10","molecules_11","molecules_12","molecules_13","molecules_14","molecules_15","molecules_16","molecules_17","molecules_18","molecules_19","molecules_20","molecules_21","molecules_22","molecules_23","molecules_24","molecules_25","molecules_26","molecules_27","molecules_28","molecules_29","molecules_30","molecules_31","molecules_32","molecules_33","molecules_34","molecules_35","molecules_36","molecules_37","molecules_38","molecules_39","molecules_40","molecules_41","molecules_42","molecules_43","molecules_44","molecules_45","molecules_46","molecules_47","molecules_48","molecules_49","molecules_50","molecules_51","molecules_52","molecules_53","molecules_54","molecules_55","molecules_56","molecules_57","molecules_58","molecules_59","molecules_60","molecules_61","molecules_62","molecules_63","molecules_64","molecules_65","molecules_66","molecules_67","molecules_68","molecules_69","molecules_70"],"does":[[26.880000000000003,"probe is shown on the screen, written out."],[27.960000000000004,"probe_name is shown on the screen, written out."],[31.160000000000004,"probe is redrawn as the numbers it depends on change."],[31.160000000000004,"size ticks to 0.3."]]},{"start":37.980000000000004,"say":"Ci fermiamo quindi a una scala delta V star: piccolissima rispetto al sistema, ma abbastanza grande da contenere moltissime molecole. La densità è il limite del rapporto tra massa e volume verso questa scala.","live":["heading","cloud","molecules","molecules_2","molecules_3","molecules_4","molecules_5","molecules_6","molecules_7","molecules_8","molecules_9","molecules_10","molecules_11","molecules_12","molecules_13","molecules_14","molecules_15","molecules_16","molecules_17","molecules_18","molecules_19","molecules_20","molecules_21","molecules_22","molecules_23","molecules_24","molecules_25","molecules_26","molecules_27","molecules_28","molecules_29","molecules_30","molecules_31","molecules_32","molecules_33","molecules_34","molecules_35","molecules_36","molecules_37","molecules_38","molecules_39","molecules_40","molecules_41","molecules_42","molecules_43","molecules_44","molecules_45","molecules_46","molecules_47","molecules_48","molecules_49","molecules_50","molecules_51","molecules_52","molecules_53","molecules_54","molecules_55","molecules_56","molecules_57","molecules_58","molecules_59","molecules_60","molecules_61","molecules_62","molecules_63","molecules_64","molecules_65","molecules_66","molecules_67","molecules_68","molecules_69","molecules_70","probe","probe_name"],"does":[[38.440000000000005,"probe is redrawn as the numbers it depends on change."],[38.440000000000005,"size ticks to 1.0."],[40.64000000000001,"probe_name: one name gives way to another over the same drawing (label_becomes)."],[47.68000000000001,"cloud moves to a new place on the board."],[47.68000000000001,"rho_limit is shown on the screen, written out."]]},{"start":51.5675,"say":"Con lo stesso limite, ogni punto riceve i suoi campi: la densità in chilogrammi al metro cubo, la pressione in pascal, e la velocità in metri al secondo.","live":["heading","rho_limit","cloud","molecules","molecules_2","molecules_3","molecules_4","molecules_5","molecules_6","molecules_7","molecules_8","molecules_9","molecules_10","molecules_11","molecules_12","molecules_13","molecules_14","molecules_15","molecules_16","molecules_17","molecules_18","molecules_19","molecules_20","molecules_21","molecules_22","molecules_23","molecules_24","molecules_25","molecules_26","molecules_27","molecules_28","molecules_29","molecules_30","molecules_31","molecules_32","molecules_33","molecules_34","molecules_35","molecules_36","molecules_37","molecules_38","molecules_39","molecules_40","molecules_41","molecules_42","molecules_43","molecules_44","molecules_45","molecules_46","molecules_47","molecules_48","molecules_49","molecules_50","molecules_51","molecules_52","molecules_53","molecules_54","molecules_55","molecules_56","molecules_57","molecules_58","molecules_59","molecules_60","molecules_61","molecules_62","molecules_63","molecules_64","molecules_65","molecules_66","molecules_67","molecules_68","molecules_69","molecules_70","probe","probe_name"],"does":[[51.5675,"fields is shown on the screen, written out."],[55.32000000000001,"fields is shown on the screen, written out."],[57.36000000000001,"fields is shown on the screen, written out."],[58.88000000000001,"fields is shown on the screen, written out."]]},{"start":61.4425,"say":"Da qui in avanti il fluido è un mezzo continuo: campi regolari, che possiamo derivare come qualsiasi funzione.","live":null,"does":[[64,"rho_limit is indicated — a transient flash."],[68.39939583333333,"cloud is hidden from the screen — left the board."],[68.39939583333333,"molecules is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_2 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_3 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_4 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_5 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_6 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_7 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_8 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_9 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_10 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_11 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_12 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_13 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_14 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_15 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_16 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_17 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_18 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_19 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_20 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_21 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_22 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_23 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_24 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_25 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_26 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_27 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_28 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_29 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_30 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_31 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_32 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_33 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_34 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_35 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_36 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_37 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_38 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_39 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_40 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_41 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_42 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_43 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_44 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_45 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_46 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_47 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_48 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_49 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_50 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_51 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_52 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_53 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_54 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_55 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_56 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_57 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_58 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_59 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_60 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_61 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_62 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_63 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_64 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_65 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_66 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_67 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_68 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_69 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"molecules_70 is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"probe is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"probe_name is hidden from the screen — cloud left the board."],[68.39939583333333,"fields is hidden from the screen — left the board."],[68.39939583333333,"heading is hidden from the screen — left the board."],[68.39939583333333,"rho_limit is hidden from the screen — left the board."]]}]},{"title":"Niente taglio a riposo","start":69.44106249999999,"end":144.65354166666668,"objects":{"cell":"a Polygon [blue] drawn in element (vertices=((1.0, 0.8), (3.0, 0.8), (3.0, 2.8), (1.0, 2.8)))","element":"a Figure (x_range=(0.0, 4.4), y_range=(0.0, 4.2), aspect=(4.4, 4.2))","fluid_block":"a Polygon [blue] drawn in fluid_fig (vertices=((0.5, 0.0), (2.5, 0.0), ((2.5 + s_fluid), 1.8), ((0.5 + s_flui…)","fluid_fig":"a Figure (x_range=(-0.5, 5.5), y_range=(-0.5, 3.2), aspect=(6.0, 3.7))","fluid_ground":"a Line [gray] drawn in fluid_fig (start=(-0.3, 0.0), end=(5.3, 0.0))","fluid_name":"a Tex [text] that says \"Fluido\"","fluid_push":"a Vector [yellow] labelled \"bold(F)\" drawn in fluid_fig (start=((0.7 + s_fluid), 2.3), end=((2.3 + s_fluid), 2.3))","heading_shear":"a Heading that says \"Solido e fluido sotto taglio\"","heading_tensor":"a Heading that says \"Il tensore degli sforzi\"","normal_x":"a Vector [red] labelled \"sigma_(x x)\" drawn in element (start=(4.0, 1.8), end=(3.0, 1.8))","normal_y":"a Vector [red] labelled \"sigma_(y y)\" drawn in element (start=(2.0, 3.9), end=(2.0, 2.8))","s_fluid":"a VariableNumber","s_solid":"a VariableNumber","shear_x":"a Vector [yellow] labelled \"sigma_(y x)\" drawn in element (start=(3.25, 0.9), end=(3.25, 1.5))","shear_y":"a Vector [yellow] labelled \"sigma_(x y)\" drawn in element (start=(1.1, 3.05), end=(1.7, 3.05))","sigma_m":"a Math [text] that says \"$bold(sigma) = mat(sigma_(x x), sigma_(x y), sigma_(x z); sigma_(y x), sigma_(y y), sigma_(y z); sigma_(z x), sigma_(z y), sigma_(z z))$\"","solid_block":"a Polygon [green] drawn in solid_fig (vertices=((0.5, 0.0), (2.5, 0.0), ((2.5 + s_solid), 1.8), ((0.5 + s_soli…)","solid_fig":"a Figure (x_range=(-0.5, 5.5), y_range=(-0.5, 3.2), aspect=(6.0, 3.7))","solid_ground":"a Line [gray] drawn in solid_fig (start=(-0.3, 0.0), end=(5.3, 0.0))","solid_name":"a Tex [text] that says \"Solido\"","solid_push":"a Vector [yellow] labelled \"bold(F)\" drawn in solid_fig (start=((0.7 + s_solid), 2.3), end=((2.3 + s_solid), 2.3))","tau_zero":"a Math [red] that says \"$tau = 0$\" drawn in fluid_fig","traction":"a Math [text] that says \"$dif bold(F) = bold(sigma) dot bold(n) thin dif A$\""},"beats":[{"start":69.44106249999999,"say":"Spingiamo parallelamente alla faccia superiore di un blocco solido. Il blocco si inclina di un certo angolo e poi si ferma: una forza tangenziale interna equilibra la spinta.","live":[],"does":[[69.44106249999999,"heading_shear is shown on the screen, written out."],[69.44106249999999,"solid_name is shown on the screen, written out."],[69.44106249999999,"solid_fig is shown on the screen, written out."],[69.44106249999999,"solid_ground is shown on the screen, written out."],[69.44106249999999,"solid_block is shown on the screen, written out."],[70.16106249999999,"solid_push is shown on the screen, written out."],[74.40106249999998,"solid_block is redrawn as the numbers it depends on change."],[74.40106249999998,"solid_push is redrawn as the numbers it depends on change."],[74.40106249999998,"s_solid ticks to 0.6."]]},{"start":81.07106249999998,"say":"Con un fluido la stessa spinta non trova alcuna nuova posizione di equilibrio: finché agisce, il fluido continua a scorrere.","live":["solid_name","solid_fig","heading_shear","solid_ground","solid_block","solid_push"],"does":[[81.64106249999999,"fluid_name is shown on the screen, written out."],[81.64106249999999,"fluid_fig is shown on the screen, written out."],[81.64106249999999,"fluid_ground is shown on the screen, written out."],[81.64106249999999,"fluid_block is shown on the screen, written out."],[82.68106249999998,"fluid_push is shown on the screen, written out."],[85.10806249999999,"fluid_block is redrawn as the numbers it depends on change."],[85.10806249999999,"fluid_push is redrawn as the numbers it depends on change."],[85.10806249999999,"s_fluid ticks to 2.5."]]},{"start":89.60106249999998,"say":"Quindi, in un fluido in quiete, gli sforzi tangenziali sono nulli: tau uguale a zero. Le forze tra parti adiacenti, o contro le pareti, sono soltanto perpendicolari alle superfici.","live":["solid_name","solid_fig","fluid_name","fluid_fig","heading_shear","solid_ground","solid_block","solid_push","fluid_ground","fluid_block","fluid_push"],"does":[[94.08106249999997,"tau_zero is shown on the screen, written out."],[101.58606249999998,"fluid_fig is hidden from the screen — left the board."],[101.58606249999998,"fluid_ground is hidden from the screen — fluid_fig left the board."],[101.58606249999998,"fluid_block is hidden from the screen — fluid_fig left the board."],[101.58606249999998,"fluid_push is hidden from the screen — fluid_fig left the board."],[101.58606249999998,"tau_zero is hidden from the screen — fluid_fig left the board."],[101.58606249999998,"fluid_name is hidden from the screen — left the board."],[101.58606249999998,"heading_shear is hidden from the screen — left the board."],[101.58606249999998,"solid_fig is hidden from the screen — left the board."],[101.58606249999998,"solid_ground is hidden from the screen — solid_fig left the board."],[101.58606249999998,"solid_block is hidden from the screen — solid_fig left the board."],[101.58606249999998,"solid_push is hidden from the screen — solid_fig left the board."],[101.58606249999998,"solid_name is hidden from the screen — left the board."]]},{"start":102.78606249999999,"say":"Le forze interne di un mezzo continuo si descrivono con il tensore degli sforzi. Su un elemento di superficie d A, con normale n, agisce la forza sigma per n, d A.","live":[],"does":[[102.78606249999999,"heading_tensor is shown on the screen, written out."],[106.16106249999999,"element is shown on the screen, written out."],[106.16106249999999,"cell is shown on the screen, written out."],[111.36106249999997,"element moves to a new place on the board."],[111.36106249999997,"traction is shown on the screen, written out."]]},{"start":114.72856249999998,"say":"In tre dimensioni sigma è una matrice tre per tre. Sulla diagonale stanno gli sforzi normali, perpendicolari alle facce; fuori diagonale gli sforzi di taglio, paralleli alle facce.","live":["traction","element","heading_tensor","cell"],"does":[[115.32106249999998,"sigma_m is shown on the screen, written out."],[118.48106249999998,"sigma_m (the \"diagonal=main\" part) is emphasized."],[120.44106249999997,"normal_x is shown on the screen, written out."],[120.65578551662958,"normal_y is shown on the screen, written out."],[122.76106249999998,"sigma_m (the \"diagonal=main\" part) is no longer emphasized."],[124.48106249999998,"shear_x is shown on the screen, written out."],[124.79164400619635,"shear_y is shown on the screen, written out."]]},{"start":127.06856249999998,"say":"A riposo il taglio è nullo, quindi tutti i termini fuori diagonale si annullano. Restano soltanto i tre sforzi normali.","live":["traction","sigma_m","element","heading_tensor","cell","normal_x","normal_y","shear_x","shear_y"],"does":[[128.64106249999998,"shear_x is hidden from the screen."],[128.64106249999998,"shear_y is hidden from the screen."],[131.52106249999997,"sigma_m becomes \"$bold(sigma) = mat(sigma_(x x), 0, 0; 0, sigma_(y y), 0; 0, 0, sigma_(z z))$\"."],[132.88106249999998,"sigma_m (the \"diagonal=main\" part) is emphasized."],[134.96106249999997,"sigma_m (the \"diagonal=main\" part) is no longer emphasized."]]},{"start":135.5610625,"say":"Sono uguali fra loro? Per ora sappiamo soltanto che sono compressioni. Per deciderlo ci serve un piccolo prisma di fluido.","live":["traction","sigma_m","element","heading_tensor","cell","normal_x","normal_y"],"does":[[139.16106249999999,"normal_x is indicated — a transient flash."],[139.16106249999999,"normal_y is indicated — a transient flash."],[143.611875,"element is hidden from the screen — left the board."],[143.611875,"cell is hidden from the screen — element left the board."],[143.611875,"normal_x is hidden from the screen — element left the board."],[143.611875,"normal_y is hidden from the screen — element left the board."],[143.611875,"heading_tensor is hidden from the screen — left the board."],[143.611875,"sigma_m is hidden from the screen — left the board."],[143.611875,"traction is hidden from the screen — left the board."]]}]},{"title":"La pressione è uno scalare","start":144.65354166666668,"end":259.021125,"objects":{"body":"a Polygon [blue] drawn in prism (vertices=((0.0, 0.0), ((3.0 * k), 0.0), (0.0, (2.0 * k))), fill_opacity=0.2)","delta_def":"a Math [text] that says \"$delta_(i j) = cases(1 & upright(\"se\") thin i = j, 0 & upright(\"se\") thin i eq.not j)$\"","heading_law":"a Heading that says \"Il tensore idrostatico\"","heading_prism":"a Heading that says \"La pressione è uno scalare\"","hyp":"a Line [gray] labelled \"dif s\" drawn in prism (start=((3.0 * k), 0.0), end=(0.0, (2.0 * k)))","iso":"a Math [text] that says \"$P_x = P_y = P_n = P$\"","k":"a VariableNumber (initial_value=1.0)","law":"a Math [text] that says \"$sigma_(i j) = -P delta_(i j)$\"","leg_x":"a Line [gray] labelled \"dif x\" drawn in prism (end=((3.0 * k), 0.0))","leg_y":"a Line [gray] labelled \"dif y\" drawn in prism (end=(0.0, (2.0 * k)))","p_n":"a Vector [red] labelled \"P_n\" drawn in prism (start=(((1.5 * k) + 0.6656399999999999), (k + 0.9985199999999999)), end=((1.5 * k), <VariableNumber k = 0.45>))","p_x":"a Vector [red] labelled \"P_x\" drawn in prism (start=(-1.3, <VariableNumber k = 0.45>), end=(0.0, <VariableNumber k = 0.45>))","p_y":"a Vector [red] labelled \"P_y\" drawn in prism (start=((1.5 * k), -1.3), end=((1.5 * k), 0.0))","pdef":"a Math [text] that says \"$P = frac(dif F_perp, dif S)$\"","prism":"a Figure (x_range=(-1.6, 4.0), y_range=(-1.6, 3.2), aspect=(5.6, 4.8))","prism_work":"a Derivation [text] that says \"$dif s sin theta &= dif y, quad dif s cos theta = dif x \\ P_x dif y - P_n dif s sin theta &= 0 \\ P_x &= P_n \\ P_y - P_n - frac(1, 2) rho g dif y &= 0 \\ P_y &= P_n$\"","sigma_d":"a Math [text] that says \"$bold(sigma) = mat(sigma_(x x), 0, 0; 0, sigma_(y y), 0; 0, 0, sigma_(z z))$\"","theta":"an Angle [yellow] labelled \"theta\" drawn in prism (vertex=((3.0 * k), 0.0), sides=((0.0, (2.0 * k)), (0.0, 0.0)))","weight":"a Vector [green] labelled \"dif m thin bold(g)\" drawn in prism (start=(<VariableNumber k = 0.45>, (0.9 * k)), end=(<VariableNumber k = 0.45>, (0.3 * k)))"},"beats":[{"start":144.65354166666668,"say":"La pressione in un punto è il rapporto tra la forza normale e la superficie su cui agisce. La forza è un vettore; la pressione, invece, non dipende da come orientiamo la superficie. Dimostriamolo.","live":[],"does":[[144.65354166666668,"heading_prism is shown on the screen, written out."],[146.3335416666667,"pdef is shown on the screen, written out."]]},{"start":157.3660416666667,"say":"Prendiamo un prisma triangolare di fluido, con cateti d x e d y e ipotenusa d s. La profondità d z è comune a tutte le facce, e la semplifichiamo fin da subito.","live":["pdef","heading_prism"],"does":[[158.1735416666667,"prism is shown on the screen, written out."],[158.1735416666667,"body is shown on the screen, written out."],[159.97354166666668,"leg_x is shown on the screen, written out."],[160.269361602358,"leg_y is shown on the screen, written out."],[161.97354166666668,"hyp is shown on the screen, written out."]]},{"start":168.8660416666667,"say":"Su ogni faccia la pressione spinge verso il fluido. Chiamiamo theta l'angolo alla base: allora d s seno theta vale d y, e d s coseno theta vale d x.","live":["pdef","prism","heading_prism","body","leg_x","leg_y","hyp"],"does":[[170.73354166666667,"p_x is shown on the screen, written out."],[170.97021395893313,"p_y is shown on the screen, written out."],[171.2068862511996,"p_n is shown on the screen, written out."],[172.57354166666667,"theta is shown on the screen, written out."],[176.01354166666667,"prism_work is shown on the screen, written out."]]},{"start":181.1360416666667,"say":"Lungo x: P x per d y, meno P n per d s seno theta, fa zero. Con la geometria i due prodotti hanno lo stesso fattore d y, e resta P x uguale a P n.","live":["pdef","prism","heading_prism","body","leg_x","leg_y","hyp","p_x","p_y","p_n","theta"],"does":[[181.41354166666667,"prism_work is shown on the screen, written out."],[187.7735416666667,"p_x is indicated — a transient flash."],[191.09354166666668,"prism_work is shown on the screen, written out."]]},{"start":194.02604166666669,"say":"Lungo y compare anche il peso del prisma, proporzionale alla sua area. Dividendo per d x resta P y meno P n meno un mezzo rho g d y, uguale a zero.","live":null,"does":[[196.0135416666667,"weight is shown on the screen, written out."],[198.7735416666667,"prism_work is shown on the screen, written out."]]},{"start":205.99854166666668,"say":"Ora restringiamo il prisma verso un punto. Il peso è di ordine superiore e svanisce con d y, quindi anche P y è uguale a P n.","live":["pdef","prism","heading_prism","body","leg_x","leg_y","hyp","p_x","p_y","p_n","theta","weight"],"does":[[206.69354166666668,"body is redrawn as the numbers it depends on change."],[206.69354166666668,"leg_x is redrawn as the numbers it depends on change."],[206.69354166666668,"leg_y is redrawn as the numbers it depends on change."],[206.69354166666668,"hyp is redrawn as the numbers it depends on change."],[206.69354166666668,"p_x is redrawn as the numbers it depends on change."],[206.69354166666668,"p_y is redrawn as the numbers it depends on change."],[206.69354166666668,"p_n is redrawn as the numbers it depends on change."],[206.69354166666668,"theta is redrawn as the numbers it depends on change."],[206.69354166666668,"weight is redrawn as the numbers it depends on change."],[206.69354166666668,"k ticks to 0.45."],[209.21354166666669,"prism_work (the \"frac(1, 2) rho g dif y\" part) is emphasized."],[210.69354166666668,"prism_work (the \"frac(1, 2) rho g dif y\" part) is no longer emphasized."],[212.3335416666667,"prism_work is shown on the screen, written out."]]},{"start":215.67354166666667,"say":"Dunque P x, P y e P n coincidono, qualunque sia l'angolo theta: la pressione è la stessa in tutte le direzioni. È uno scalare.","live":null,"does":[[218.49354166666666,"iso is shown on the screen, written out."],[225.31354166666668,"iso moves to a new place on the board."],[225.31354166666668,"heading_prism is hidden from the screen — left the board."],[225.31354166666668,"pdef is hidden from the screen — left the board."],[225.31354166666668,"prism is hidden from the screen — left the board."],[225.31354166666668,"body is hidden from the screen — prism left the board."],[225.31354166666668,"leg_x is hidden from the screen — prism left the board."],[225.31354166666668,"leg_y is hidden from the screen — prism left the board."],[225.31354166666668,"hyp is hidden from the screen — prism left the board."],[225.31354166666668,"p_x is hidden from the screen — prism left the board."],[225.31354166666668,"p_y is hidden from the screen — prism left the board."],[225.31354166666668,"p_n is hidden from the screen — prism left the board."],[225.31354166666668,"theta is hidden from the screen — prism left the board."],[225.31354166666668,"weight is hidden from the screen — prism left the board."],[225.31354166666668,"prism_work is hidden from the screen — left the board."]]},{"start":226.5135416666667,"say":"Torniamo al tensore, che a riposo era diagonale. Ogni sforzo normale è una compressione di modulo P, quindi tutti e tre valgono meno P.","live":["iso"],"does":[[226.5135416666667,"heading_law is shown on the screen, written out."],[227.29354166666667,"sigma_d is shown on the screen, written out."],[233.93354166666666,"sigma_d becomes \"$bold(sigma) = mat(-P, 0, 0; 0, -P, 0; 0, 0, -P)$\"."]]},{"start":235.73604166666667,"say":"Raccogliendo meno P resta la matrice identità, che in notazione indiciale è la delta di Kronecker, delta i j.","live":["iso","sigma_d","heading_law"],"does":[[235.97354166666668,"sigma_d becomes \"$bold(sigma) = -P mat(1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1)$\"."],[238.93354166666666,"law is shown on the screen, written out."],[240.7735416666667,"delta_def is shown on the screen, written out."]]},{"start":243.30604166666666,"say":"In una sola riga, sigma i j uguale a meno P delta i j dice due cose: se i è diverso da j lo sforzo è nullo, niente taglio; se i è uguale a j vale meno P, la stessa in ogni direzione.","live":["iso","sigma_d","law","delta_def","heading_law"],"does":[[244.21354166666666,"A box is drawn around law."],[249.93354166666666,"delta_def (the \"i eq.not j\" part) is emphasized."],[253.93354166666666,"delta_def (the \"i = j\" part) is emphasized."],[253.93354166666666,"delta_def (the \"i eq.not j\" part) is no longer emphasized."],[256.0135416666667,"delta_def (the \"i = j\" part) is no longer emphasized."],[257.97945833333335,"delta_def is hidden from the screen — left the board."],[257.97945833333335,"heading_law is hidden from the screen — left the board."],[257.97945833333335,"iso is hidden from the screen — left the board."],[257.97945833333335,"law is hidden from the screen — left the board."],[257.97945833333335,"sigma_d is hidden from the screen — left the board."]]}]},{"title":"L'equazione fondamentale e le superfici isobare","start":259.021125,"end":383.7585,"objects":{"balance":"a Derivation [text] that says \"$dif F_(p,x) &= P(x) dif y dif z - P(x + dif x) dif y dif z \\ &= - frac(partial P, partial x) dif V \\ dif bold(F)_p &= - nabla P thin dif V \\ dif bold(F)_v &= rho bold(f) thin dif V \\ - nabla P thin dif V + rho bold(f) thin dif V &= bold(0)$\"","body_force":"a Vector [green] labelled \"rho bold(f) thin dif V\" drawn in cube (start=(2.2, 2.4), end=(2.2, 1.4))","consequence":"a Math [text] that says \"$P = P(U), quad rho = - frac(dif P, dif U)$\"","cube":"a Figure (x_range=(0.0, 4.4), y_range=(0.3, 3.7), aspect=(4.4, 3.4))","force_field":"a VectorField [gray] drawn in planet (function=<function>, at=((-2.25, -2.25), (-2.25, -1.5), (-2.25, -0.75), (-2.25, 0.0), (…, exclude=((0.0, 0.0),))","fundamental":"a Math [text] that says \"$nabla P = rho bold(f)$\"","grad_p":"a Vector [red] labelled \"nabla P\" drawn in planet (start=(1.685, 1.414), end=(0.996, 0.835))","grad_rho":"a Vector [magenta] labelled \"nabla rho\" drawn in planet (start=(-1.386, 0.8), end=(-0.78, 0.45))","grad_u":"a Vector [blue] labelled \"nabla U\" drawn in planet (start=(1.685, 1.414), end=(2.374, 1.993))","heading_balance":"a Heading that says \"Equilibrio di un cubetto\"","heading_surfaces":"a Heading that says \"Isobare, equipotenziali, isopicne\"","levels":"a LevelCurves [green] drawn in planet (function=<function>, values=(1.0, 1.6, 2.2, 2.8))","planet":"an Axes (x_range=(-3.0, 3.0), y_range=(-3.0, 3.0), aspect=(1.0, 1.0))","push_left":"a Vector [red] labelled \"P(x)\" drawn in cube (start=(0.1, 2.0), end=(1.2, 2.0))","push_right":"a Vector [red] labelled \"P(x + dif x)\" drawn in cube (start=(4.3, 2.0), end=(3.2, 2.0))","square":"a Polygon [blue] drawn in cube (vertices=((1.2, 1.0), (3.2, 1.0), (3.2, 3.0), (1.2, 3.0)))","surfaces":"a Derivation [text] that says \"$bold(f) &= - nabla U \\ nabla P &= - rho nabla U \\ nabla times nabla P = bold(0) &= - nabla times (rho nabla U) \\ nabla times (rho nabla U) &= nabla rho times nabla U + rho nabla times nabla U \\ nabla rho times nabla U &= bold(0)$\"","tilted":"a Vector [gray] labelled \"nabla rho\" drawn in planet (start=(1.685, 1.414), end=(1.685, 0.514))","width":"a Line [gray] labelled \"dif x\" drawn in cube (start=(1.2, 1.0), end=(3.2, 1.0))"},"beats":[{"start":259.021125,"say":"Ora mettiamo in equilibrio un cubetto di fluido di volume d V. Su di esso agiscono forze di superficie, dovute alla pressione, e forze di volume, proporzionali alla massa.","live":[],"does":[[259.021125,"heading_balance is shown on the screen, written out."],[260.754125,"cube is shown on the screen, written out."],[260.754125,"square is shown on the screen, written out."],[264.701125,"push_left is shown on the screen, written out."],[264.9234297084002,"push_right is shown on the screen, written out."],[268.701125,"body_force is shown on the screen, written out."]]},{"start":269.97612499999997,"say":"Lungo x la faccia sinistra riceve P di x per d y d z, quella destra P di x più d x per la stessa area. La differenza è meno la derivata parziale di P rispetto a x, per d V.","live":["cube","heading_balance","square","push_left","push_right","body_force"],"does":[[270.261125,"width is shown on the screen, written out."],[270.261125,"balance is shown on the screen, written out."],[278.901125,"balance is shown on the screen, written out."]]},{"start":283.951125,"say":"Lo stesso accade lungo y e lungo z: la forza netta di pressione è meno il gradiente di P per d V. La forza di volume è rho f d V, dove f è la forza per unità di massa.","live":["cube","heading_balance","square","push_left","push_right","body_force","width"],"does":[[289.021125,"balance is shown on the screen, written out."],[292.06112499999995,"balance is shown on the screen, written out."],[295.021125,"body_force is indicated — a transient flash."]]},{"start":296.29612499999996,"say":"In equilibrio la somma è nulla. Dividendo per d V si ottiene l'equazione fondamentale della statica dei fluidi: il gradiente di pressione è uguale a rho f.","live":null,"does":[[297.461125,"balance is shown on the screen, written out."],[300.98112499999996,"fundamental is shown on the screen, written out."],[304.66112499999997,"A box is drawn around fundamental."],[305.98112499999996,"fundamental moves to a new place on the board."],[305.98112499999996,"balance is hidden from the screen — left the board."],[305.98112499999996,"cube is hidden from the screen — left the board."],[305.98112499999996,"square is hidden from the screen — cube left the board."],[305.98112499999996,"push_left is hidden from the screen — cube left the board."],[305.98112499999996,"push_right is hidden from the screen — cube left the board."],[305.98112499999996,"body_force is hidden from the screen — cube left the board."],[305.98112499999996,"width is hidden from the screen — cube left the board."],[305.98112499999996,"heading_balance is hidden from the screen — left the board."]]},{"start":307.18112499999995,"say":"Supponiamo ora che la forza sia conservativa: f è meno il gradiente di un potenziale U. Qui U cresce con la distanza dal centro, le sue superfici di livello sono questi cerchi, e le frecce di forza puntano verso il centro.","live":["fundamental"],"does":[[307.18112499999995,"heading_surfaces is shown on the screen, written out."],[307.18112499999995,"The box around fundamental is lifted."],[309.021125,"surfaces is shown on the screen, written out."],[313.141125,"planet is shown on the screen, written out."],[317.381125,"levels is shown on the screen, written out."],[318.30112499999996,"force_field is shown on the screen, written out."]]},{"start":321.258625,"say":"Sostituendo, il gradiente di P vale meno rho per il gradiente di U. Ora applichiamo il rotore: il rotore di un gradiente è nullo, quindi anche il rotore di rho per il gradiente di U deve annullarsi.","live":["fundamental","planet","heading_surfaces","levels","force_field"],"does":[[321.501125,"surfaces is shown on the screen, written out."],[326.381125,"surfaces is shown on the screen, written out."]]},{"start":333.928625,"say":"Sviluppando il prodotto, il termine con il rotore del gradiente di U sparisce, e resta: gradiente di rho, vettore gradiente di U, uguale a zero.","live":null,"does":[[334.181125,"surfaces is shown on the screen, written out."],[337.54112499999997,"surfaces (the \"rho nabla times nabla U\" part) is slashed through — it cancels."],[338.42112499999996,"surfaces is shown on the screen, written out."]]},{"start":343.298625,"say":"Un prodotto vettoriale è nullo solo se i due gradienti sono paralleli. In questo punto il gradiente di U punta in fuori, quello di P verso il centro, sulla stessa retta.","live":null,"does":[[349.341125,"grad_u is shown on the screen, written out."],[351.341125,"grad_p is shown on the screen, written out."]]},{"start":353.656125,"say":"Un gradiente di densità inclinato, come questo, darebbe un prodotto diverso da zero: non è ammesso. La densità può variare solo lungo la stessa direzione, ovunque.","live":["fundamental","planet","heading_surfaces","levels","force_field","grad_u","grad_p"],"does":[[354.981125,"tilted is shown on the screen, written out."],[358.941125,"tilted is hidden from the screen."],[360.581125,"grad_rho is shown on the screen, written out."]]},{"start":364.29112499999997,"say":"Quindi pressione, potenziale e densità sono costanti sulle stesse superfici: isobare, equipotenziali e isopicne coincidono, e sono ortogonali alle linee di forza.","live":["fundamental","planet","heading_surfaces","levels","force_field","grad_u","grad_p","grad_rho"],"does":[[367.421125,"consequence is shown on the screen, written out."],[371.981125,"A box is drawn around surfaces."],[373.34112500000003,"grad_p is indicated — a transient flash."]]},{"start":375.833625,"say":"In un campo di gravità uniforme queste superfici diventano piani orizzontali, come il pelo libero di un lago in quiete.","live":["fundamental","consequence","planet","heading_surfaces","levels","force_field","grad_u","grad_p","grad_rho"],"does":[[382.71683333333334,"consequence is hidden from the screen — left the board."],[382.71683333333334,"fundamental is hidden from the screen — left the board."],[382.71683333333334,"heading_surfaces is hidden from the screen — left the board."],[382.71683333333334,"planet is hidden from the screen — left the board."],[382.71683333333334,"levels is hidden from the screen — planet left the board."],[382.71683333333334,"force_field is hidden from the screen — planet left the board."],[382.71683333333334,"grad_u is hidden from the screen — planet left the board."],[382.71683333333334,"grad_p is hidden from the screen — planet left the board."],[382.71683333333334,"grad_rho is hidden from the screen — planet left the board."],[382.71683333333334,"surfaces is hidden from the screen — left the board."]]}]}]},"durationSeconds":384,"chapters":[{"title":"Il fluido come mezzo continuo","startSeconds":0,"narration":"Un fluido, liquido o gas, è una sostanza che si deforma con continuità sotto uno sforzo di taglio, per quanto piccolo. Non possiede una forma propria: un liquido conserva il suo volume, mentre un gas occupa tutto il recipiente. Al microscopio, però, la materia è discreta: molecole separate da spazio vuoto. Nessuno vuole risolvere le equazioni del moto per dieci alla ventitré particelle. Prendiamo allora un piccolo volume, delta V, e misuriamo la massa che contiene. Se lo restringiamo troppo contiene pochissime molecole, e il rapporto tra massa e volume oscilla in modo casuale. Ci fermiamo quindi a una scala delta V star: piccolissima rispetto al sistema, ma abbastanza grande da contenere moltissime molecole. La densità è il limite del rapporto tra massa e volume verso questa scala. Con lo stesso limite, ogni punto riceve i suoi campi: la densità in chilogrammi al metro cubo, la pressione in pascal, e la velocità in metri al secondo. Da qui in avanti il fluido è un mezzo continuo: campi regolari, che possiamo derivare come qualsiasi funzione."},{"title":"Niente taglio a riposo","startSeconds":69.44106249999999,"narration":"Spingiamo parallelamente alla faccia superiore di un blocco solido. Il blocco si inclina di un certo angolo e poi si ferma: una forza tangenziale interna equilibra la spinta. Con un fluido la stessa spinta non trova alcuna nuova posizione di equilibrio: finché agisce, il fluido continua a scorrere. Quindi, in un fluido in quiete, gli sforzi tangenziali sono nulli: tau uguale a zero. Le forze tra parti adiacenti, o contro le pareti, sono soltanto perpendicolari alle superfici. Le forze interne di un mezzo continuo si descrivono con il tensore degli sforzi. Su un elemento di superficie d A, con normale n, agisce la forza sigma per n, d A. In tre dimensioni sigma è una matrice tre per tre. Sulla diagonale stanno gli sforzi normali, perpendicolari alle facce; fuori diagonale gli sforzi di taglio, paralleli alle facce. A riposo il taglio è nullo, quindi tutti i termini fuori diagonale si annullano. Restano soltanto i tre sforzi normali. Sono uguali fra loro? Per ora sappiamo soltanto che sono compressioni. Per deciderlo ci serve un piccolo prisma di fluido."},{"title":"La pressione è uno scalare","startSeconds":144.65354166666668,"narration":"La pressione in un punto è il rapporto tra la forza normale e la superficie su cui agisce. La forza è un vettore; la pressione, invece, non dipende da come orientiamo la superficie. Dimostriamolo. Prendiamo un prisma triangolare di fluido, con cateti d x e d y e ipotenusa d s. La profondità d z è comune a tutte le facce, e la semplifichiamo fin da subito. Su ogni faccia la pressione spinge verso il fluido. Chiamiamo theta l'angolo alla base: allora d s seno theta vale d y, e d s coseno theta vale d x. Lungo x: P x per d y, meno P n per d s seno theta, fa zero. Con la geometria i due prodotti hanno lo stesso fattore d y, e resta P x uguale a P n. Lungo y compare anche il peso del prisma, proporzionale alla sua area. Dividendo per d x resta P y meno P n meno un mezzo rho g d y, uguale a zero. Ora restringiamo il prisma verso un punto. Il peso è di ordine superiore e svanisce con d y, quindi anche P y è uguale a P n. Dunque P x, P y e P n coincidono, qualunque sia l'angolo theta: la pressione è la stessa in tutte le direzioni. È uno scalare. Torniamo al tensore, che a riposo era diagonale. Ogni sforzo normale è una compressione di modulo P, quindi tutti e tre valgono meno P. Raccogliendo meno P resta la matrice identità, che in notazione indiciale è la delta di Kronecker, delta i j. In una sola riga, sigma i j uguale a meno P delta i j dice due cose: se i è diverso da j lo sforzo è nullo, niente taglio; se i è uguale a j vale meno P, la stessa in ogni direzione."},{"title":"L'equazione fondamentale e le superfici isobare","startSeconds":259.021125,"narration":"Ora mettiamo in equilibrio un cubetto di fluido di volume d V. Su di esso agiscono forze di superficie, dovute alla pressione, e forze di volume, proporzionali alla massa. Lungo x la faccia sinistra riceve P di x per d y d z, quella destra P di x più d x per la stessa area. La differenza è meno la derivata parziale di P rispetto a x, per d V. Lo stesso accade lungo y e lungo z: la forza netta di pressione è meno il gradiente di P per d V. La forza di volume è rho f d V, dove f è la forza per unità di massa. In equilibrio la somma è nulla. Dividendo per d V si ottiene l'equazione fondamentale della statica dei fluidi: il gradiente di pressione è uguale a rho f. Supponiamo ora che la forza sia conservativa: f è meno il gradiente di un potenziale U. Qui U cresce con la distanza dal centro, le sue superfici di livello sono questi cerchi, e le frecce di forza puntano verso il centro. Sostituendo, il gradiente di P vale meno rho per il gradiente di U. Ora applichiamo il rotore: il rotore di un gradiente è nullo, quindi anche il rotore di rho per il gradiente di U deve annullarsi. Sviluppando il prodotto, il termine con il rotore del gradiente di U sparisce, e resta: gradiente di rho, vettore gradiente di U, uguale a zero. Un prodotto vettoriale è nullo solo se i due gradienti sono paralleli. In questo punto il gradiente di U punta in fuori, quello di P verso il centro, sulla stessa retta. Un gradiente di densità inclinato, come questo, darebbe un prodotto diverso da zero: non è ammesso. La densità può variare solo lungo la stessa direzione, ovunque. Quindi pressione, potenziale e densità sono costanti sulle stesse superfici: isobare, equipotenziali e isopicne coincidono, e sono ortogonali alle linee di forza. In un campo di gravità uniforme queste superfici diventano piani orizzontali, come il pelo libero di un lago in quiete."}]}}