{"version":1,"lectureId":"01M4NSAEBMXACPWE3N2HSQGAPK","attempt":0,"publication":{"slug":"teoria-cinetica-dei-gas-e-meccanica-statistica","title":"Teoria Cinetica dei Gas e Meccanica Statistica","subject":"physics","summary":"Una lezione universitaria che costruisce il ponte tra il moto delle molecole e le grandezze della termodinamica. Dalle ipotesi del caos molecolare si ricavano la pressione, la velocità quadratica media e il significato microscopico della temperatura, l'energia cinetica media pari a tre mezzi di k_B T. Il teorema di equipartizione spiega i calori specifici dei gas monoatomici e biatomici, il congelamento quantistico dei gradi di libertà e la legge di Dulong e Petit. Seguono la distribuzione di Maxwell con la sua verifica a dischi rotanti, il fattore di Boltzmann, il libero cammino medio, la formula S = k_B ln Omega con il terzo principio, e infine la misura di gamma con il metodo di Rüchardt, la formazione delle nubi e il vento di Föhn.","metaDescription":"Teoria cinetica dei gas: temperatura come energia media, equipartizione, distribuzione di Maxwell, libero cammino medio ed entropia S = k ln Ω.","transcript":"Un gas è fatto di un numero enorme di molecole, eppure lo descriviamo con poche grandezze: pressione, volume, temperatura ed energia interna. La teoria cinetica è il primo ponte tra questi due mondi, e il primo esempio di meccanica statistica. Alla fine di questa lezione due formule avranno un significato preciso. La prima dice che la temperatura misura l'energia cinetica media di una molecola. La seconda dice che l'entropia conta i modi microscopici di realizzare uno stato. Le ricaveremo entrambe. Cominciamo dalla prima. Prendiamo un recipiente pieno di gas. Le molecole si muovono in tutte le direzioni, e nessuna direzione è privilegiata: è questa l'ipotesi del caos molecolare. In media, quindi, ogni componente della velocità si annulla. Ma i quadrati non si annullano: lungo ciascun asse il valore medio del quadrato vale un terzo di quello del modulo. Supponiamo poi che le molecole non si attraggano a distanza, e che si urtino soltanto in modo elastico, come palline rigide. Guardiamo una molecola che urta la parete di destra. Rimbalza invertendo la componente orizzontale, e cede alla parete una quantità di moto pari a due m v x. Sommando su tutti gli urti e usando le ipotesi di prima, si trova che P per V vale un terzo di N m per la media del quadrato della velocità. Confrontando con i gas perfetti, n R T, moto molecolare e temperatura si legano. Da qui segue la velocità quadratica media: la radice di tre R T diviso la massa molare A. Per l'azoto a trecento kelvin vale circa cinquecentoventi metri al secondo, mentre l'idrogeno sfiora i duemila. Dividendo per il numero di Avogadro, l'energia cinetica media di una singola molecola risulta tre mezzi di kappa B per T. Qui kappa B è la costante di Boltzmann, R diviso il numero di Avogadro. Questa è la prima delle nostre due formule: la temperatura assoluta misura l'energia cinetica media di traslazione. Moltiplicando per il numero di molecole si ottiene l'energia interna di n moli di gas monoatomico: tre mezzi n R T. Dall'energia interna discendono i calori specifici molari. C v è la derivata di U rispetto a T, divisa per il numero di moli: per un gas monoatomico vale tre mezzi R. A pressione costante il gas compie anche lavoro, e si aggiunge un R: C p vale cinque mezzi R. Il loro rapporto, gamma, vale cinque terzi, circa uno virgola sei sette. I gas nobili lo confermano con grande precisione: elio, neon e argon danno tutti circa uno virgola sei sette. Ecco il calore specifico di un gas biatomico, come l'idrogeno, al variare della temperatura, misurato in unità di R. La curva sale a gradini, e per capirla serve il teorema di equipartizione. Ogni termine quadratico indipendente nell'energia di una molecola contribuisce in media con un mezzo kappa B T. Un gas monoatomico ha solo i tre termini della traslazione, e infatti in basso la curva vale tre mezzi. Una molecola biatomica può anche ruotare attorno a due assi. La rotazione attorno all'asse dei nuclei non conta, perché lì il momento di inerzia è trascurabile. Cinque termini in tutto: C v vale cinque mezzi R, C p sette mezzi R, e gamma sette quinti, cioè uno virgola quattro. Ma perché i gradini? I livelli di energia sono quantizzati, e un modo partecipa solo quando kappa B T supera la sua spaziatura. Le rotazioni si sbloccano per prime; le vibrazioni, con due termini in più, solo a temperature molto alte. Passiamo ai solidi. Ogni atomo del reticolo oscilla attorno alla sua posizione di equilibrio in tre dimensioni: tre termini di energia cinetica e tre di energia potenziale elastica, sei in tutto. Quindi U vale tre n R T, e C v vale tre R, circa venticinque joule per mole e per kelvin: è la legge di Dulong e Petit. In ascissa c'è la temperatura divisa per una temperatura caratteristica del solido, theta. Ad alta temperatura tutti i solidi tendono proprio a questo valore. A bassa temperatura, invece, il calore specifico crolla verso zero, perché anche le vibrazioni del reticolo si congelano. Finora abbiamo usato solo valori medi. Ma le molecole non hanno tutte la stessa velocità: si distribuiscono secondo la curva di Maxwell, qui per l'azoto a trecento kelvin. Il fattore v quadro conta le direzioni possibili, mentre il termine esponenziale punisce le velocità alte. Il massimo cade alla velocità più probabile, la radice di due R T su A. Un po' più a destra sta la velocità quadratica media, radice di tre R T su A. Come si verifica questa curva? Si scalda un vapore in un forno a temperatura T e lo si lascia uscire da un piccolo foro, formando un fascio collimato. Il fascio incontra due dischi rotanti, distanti L, con le fenditure sfalsate di un angolo theta. Passa solo la molecola che vola da un disco al successivo nel tempo in cui i dischi ruotano di theta. Quindi la velocità selezionata vale omega L su theta. Variando omega si scorrono tutte le velocità, e il rivelatore conta le molecole: l'istogramma ottenuto coincide con la curva di Maxwell. La stessa logica vale per livelli di energia discreti. Uno stato eccitato sta sopra il fondamentale di una quantità delta E. Il rapporto tra le popolazioni dei due livelli è il fattore di Boltzmann: e alla meno delta E su kappa B T. A temperatura ambiente kappa B T vale circa zero virgola zero due cinque elettronvolt, un quarantesimo. Se delta E è molto più grande, lo stato eccitato resta quasi vuoto. Per questo, per allineare gli spin nucleari in un campo magnetico, Madame Wu dovette raffreddare i suoi campioni sotto un milionesimo di kelvin. Ultima grandezza: il libero cammino medio, cioè la distanza media percorsa da una molecola tra due urti. Pensiamo le molecole come sfere rigide di diametro d. Avanzando di un tratto h, la molecola urta tutte quelle il cui centro cade entro una distanza d dalla sua traiettoria: un cilindro di volume pi greco d quadro per h. Con densità numerica n, il numero di urti è n pi greco d quadro h. Il cammino medio è h diviso questo numero, e il moto delle altre molecole introduce un fattore radice di due. Per un gas perfetto n vale P su kappa B T. A trecento kelvin e un'atmosfera, con d di circa due angstrom, si ottengono circa duecentotrenta nanometri, mille volte il diametro. A cinquecento metri al secondo, ogni molecola subisce miliardi di urti al secondo. Veniamo alla seconda formula. Uno stato macroscopico, fissato da poche variabili come P, V e T, è realizzato da moltissimi microstati: le posizioni e le velocità di tutte le molecole. Prendiamo sei molecole distinguibili in una scatola divisa a metà. Se stanno tutte a sinistra, esiste un solo modo: un microstato. Spostiamone una a destra: può essere una qualsiasi delle sei, quindi sei microstati. Con due a destra i modi diventano quindici, e con tre diventano venti. In generale il numero di modi è il coefficiente binomiale, sei su k. Già con sei molecole, la divisione a metà è venti volte più probabile del caso estremo. Con dieci alla ventitré molecole, il macrostato uniforme ha immensamente più microstati di qualsiasi altro: è l'unico che osserviamo davvero. Due sistemi indipendenti: le loro entropie si sommano, perché l'entropia è estensiva. I loro microstati invece si moltiplicano, perché ogni microstato di uno si combina con ogni microstato dell'altro. La sola funzione che trasforma prodotti in somme è il logaritmo. Dunque S deve essere una costante C per il logaritmo di omega. Fissiamo C con l'espansione libera di Joule: togliamo il setto, e ogni molecola ha a disposizione il doppio del volume. I microstati crescono di un fattore due alla N, e l'entropia di N C logaritmo di due. La termodinamica dà per la stessa espansione n R logaritmo di due. Confrontando, C è R diviso il numero di Avogadro: proprio la costante di Boltzmann. Ecco la seconda formula: S uguale kappa B per il logaritmo di omega. Disordine vuol dire esattamente questo: più volume o più temperatura offrono più posizioni e più velocità, cioè più microstati. E allo zero assoluto? Quando la temperatura tende a zero, il sistema scivola nel suo unico stato fondamentale. Omega tende a uno, e quindi l'entropia tende a zero. È il terzo principio della termodinamica, il teorema di Nernst. Una sua conseguenza è che lo zero assoluto non si raggiunge con un numero finito di trasformazioni. Gamma si può misurare con un esperimento semplice, ideato da Rüchardt. Un grande recipiente rigido di volume V contiene il gas, e nel suo collo verticale di sezione S scorre senza attrito una sferetta di massa m. Spostiamo la sferetta di un tratto y. Il gas si comprime e si espande così in fretta da non scambiare calore: la trasformazione è adiabatica, e la pressione cambia di meno gamma P per S y su V. La forza di richiamo è proporzionale allo spostamento: la sferetta oscilla di moto armonico. Chiamo tau il periodo, per non confonderlo con la temperatura. Misurando tau, insieme a m, V, P e S, si ricava gamma. Per l'aria si trova circa uno virgola quattro, proprio il valore di un gas biatomico. Le trasformazioni adiabatiche governano anche il tempo atmosferico. Una massa di aria calda e umida sale lungo il versante di una montagna: in quota la pressione è minore, e la massa si espande. Si espande a spese della propria energia interna, e la temperatura scende. Il vapore raggiunge la saturazione e condensa in goccioline: nasce la nube. Sul versante opposto succede il contrario. L'aria ormai secca scende verso la pianura e viene compressa adiabaticamente: si scalda di circa dieci gradi ogni chilometro, e arriva calda e asciutta. È il vento di Föhn. Ricapitoliamo i due ponti promessi all'inizio. La temperatura è energia cinetica media, tre mezzi kappa B T per molecola: da qui discendono equipartizione, calori specifici e velocità molecolari. L'entropia invece conta i microstati, kappa B per il logaritmo di omega, e porta con sé il terzo principio. Così il moto disordinato di miliardi di miliardi di molecole diventa la termodinamica che misuriamo.","watch":{"version":1,"scenes":[{"title":"Dal microscopico al macroscopico","start":0,"end":138.8426875,"objects":{"arrows":"a Vector [green] drawn in box (start=(0.9, 0.9), end=(1.4, 1.25))","arrows_2":"a Vector [green] drawn in box (start=(1.6, 2.1), end=(1.1500000000000001, 2.4))","arrows_3":"a Vector [green] drawn in box (start=(2.4, 1.4), end=(2.6999999999999997, 0.8999999999999999))","arrows_4":"a Vector [green] drawn in box (start=(1.3, 1.6), end=(0.9, 1.25))","arrows_5":"a Vector [green] drawn in box (start=(3.0, 2.2), end=(3.2, 2.6))","box":"a Figure (x_range=(0.0, 4.0), y_range=(0.0, 3.0), aspect=(4.0, 3.0))","card":"a Title that says \"Fisica Generale: Termodinamica — Teoria Cinetica dei Gas e Meccanica Statistica\"","deriv":"a Derivation [text] that says \"$P V &= frac(1, 3) N m thin overline(v^2) = n R T \\ v_(upright(\"rms\")) &= sqrt(overline(v^2)) = sqrt(frac(3 R T, A)) \\ &approx 520 thin upright(\"m/s\") quad (N_2) \\ overline(E)_c &= frac(1, 2) m overline(v^2) = frac(3, 2) k_B T \\ U &= N over…$\"","dots":"a Point [blue] drawn in box (location=(0.9, 0.9))","dots_2":"a Point [blue] drawn in box (location=(1.6, 2.1))","dots_3":"a Point [blue] drawn in box (location=(2.4, 1.4))","dots_4":"a Point [blue] drawn in box (location=(1.3, 1.6))","dots_5":"a Point [blue] drawn in box (location=(3.0, 2.2))","goal_s":"a Math [text] that says \"$S = k_B ln Omega$\"","goal_t":"a Math [text] that says \"$overline(E)_c = frac(3, 2) k_B T$\"","head_der":"a Heading that says \"Pressione, velocità e temperatura\"","head_goal":"a Heading that says \"Due ponti tra molecole e termodinamica\"","head_kin":"a Heading that says \"Le ipotesi del caos molecolare\"","impulse":"a Math [text] that says \"$Delta p_x = 2 m v_x$\" drawn in box","incoming":"a Vector [yellow] labelled \"arrow(v)\" drawn in box (start=(2.7, 0.8), end=(3.75, 1.3))","iso1":"a Math [text] that says \"$overline(v_x) = overline(v_y) = overline(v_z) = 0$\"","iso2":"a Math [text] that says \"$overline(v_x^2) = overline(v_y^2) = overline(v_z^2) = frac(1, 3) overline(v^2)$\"","label_s":"a Tex [text] that says \"Entropia\"","label_t":"a Tex [text] that says \"Temperatura\"","outgoing":"a Vector [yellow] labelled \"arrow(v)'\" drawn in box (start=(3.75, 1.3), end=(2.7, 1.8))","urti":"a Text [text] that says \"Nessuna forza a distanza, solo urti elastici.\"","walls":"a Polygon [gray] drawn in box (vertices=((0.2, 0.2), (3.8, 0.2), (3.8, 2.8), (0.2, 2.8)), filled=False)"},"beats":[{"start":0,"say":"Un gas è fatto di un numero enorme di molecole, eppure lo descriviamo con poche grandezze: pressione, volume, temperatura ed energia interna. 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C v è la derivata di U rispetto a T, divisa per il numero di moli: per un gas monoatomico vale tre mezzi R.","live":[],"does":[[138.8426875,"head_mono is shown on the screen, written out."],[143.8826875,"mono is shown on the screen, written out."]]},{"start":151.36268750000002,"say":"A pressione costante il gas compie anche lavoro, e si aggiunge un R: C p vale cinque mezzi R. 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La curva sale a gradini, e per capirla serve il teorema di equipartizione.","live":[],"does":[[173.5426875,"head_eq is shown on the screen, written out."],[173.5426875,"heat is shown on the screen, written out."],[177.96268750000002,"cv_curve is shown on the screen, drawn."],[183.64268750000002,"heat moves to a new place on the board."],[183.64268750000002,"equip_def is shown on the screen, written out."]]},{"start":185.95518750000002,"say":"Ogni termine quadratico indipendente nell'energia di una molecola contribuisce in media con un mezzo kappa B T. Un gas monoatomico ha solo i tre termini della traslazione, e infatti in basso la curva vale tre mezzi.","live":["equip_def","heat","head_eq","cv_curve"],"does":[[197.36268750000002,"plateau_t is shown on the screen, written out."]]},{"start":200.1001875,"say":"Una molecola biatomica può anche ruotare attorno a due assi. La rotazione attorno all'asse dei nuclei non conta, perché lì il momento di inerzia è trascurabile.","live":["equip_def","heat","head_eq","cv_curve","plateau_t"],"does":[[202.0026875,"plateau_r is shown on the screen, written out."]]},{"start":210.0526875,"say":"Cinque termini in tutto: C v vale cinque mezzi R, C p sette mezzi R, e gamma sette quinti, cioè uno virgola quattro.","live":["equip_def","heat","head_eq","cv_curve","plateau_t","plateau_r"],"does":[[210.3226875,"diat1 is shown on the screen, written out."],[215.0426875,"diat2 is shown on the screen, written out."]]},{"start":220.20518750000002,"say":"Ma perché i gradini? I livelli di energia sono quantizzati, e un modo partecipa solo quando kappa B T supera la sua spaziatura. Le rotazioni si sbloccano per prime; le vibrazioni, con due termini in più, solo a temperature molto alte.","live":["equip_def","diat1","diat2","heat","head_eq","cv_curve","plateau_t","plateau_r"],"does":[[221.08268750000002,"cv_curve is indicated — a transient flash."],[231.32268750000003,"plateau_v is shown on the screen, written out."],[235.45268750000002,"diat1 is hidden from the screen — left the board."],[235.45268750000002,"diat2 is hidden from the screen — left the board."],[235.45268750000002,"equip_def is hidden from the screen — left the board."],[235.45268750000002,"head_eq is hidden from the screen — left the board."],[235.45268750000002,"heat is hidden from the screen — left the board."],[235.45268750000002,"cv_curve is hidden from the screen — heat left the board."],[235.45268750000002,"plateau_t is hidden from the screen — heat left the board."],[235.45268750000002,"plateau_r is hidden from the screen — heat left the board."],[235.45268750000002,"plateau_v is hidden from the screen — heat left the board."]]},{"start":236.6526875,"say":"Passiamo ai solidi. Ogni atomo del reticolo oscilla attorno alla sua posizione di equilibrio in tre dimensioni: tre termini di energia cinetica e tre di energia potenziale elastica, sei in tutto.","live":[],"does":[[236.6526875,"head_sol is shown on the screen, written out."],[236.6526875,"solid_axes is shown on the screen, written out."],[244.84268750000004,"solid_axes moves to a new place on the board."],[244.84268750000004,"sol0 is shown on the screen, written out."]]},{"start":249.52268750000002,"say":"Quindi U vale tre n R T, e C v vale tre R, circa venticinque joule per mole e per kelvin: è la legge di Dulong e Petit.","live":["sol0","solid_axes","head_sol"],"does":[[254.88268750000006,"sol1 is shown on the screen, written out."],[257.68268750000004,"limit_line is shown on the screen, written out."]]},{"start":259.8726875,"say":"In ascissa c'è la temperatura divisa per una temperatura caratteristica del solido, theta. Ad alta temperatura tutti i solidi tendono proprio a questo valore. A bassa temperatura, invece, il calore specifico crolla verso zero, perché anche le vibrazioni del reticolo si congelano.","live":["sol0","sol1","solid_axes","head_sol","limit_line"],"does":[[265.68268750000004,"solid_curve is shown on the screen, drawn."],[273.0026875000001,"point is shown on the screen, grown."],[274.82267522252926,"point is hidden from the screen."],[276.4869791666667,"head_sol is hidden from the screen — left the board."],[276.4869791666667,"sol0 is hidden from the screen — left the board."],[276.4869791666667,"sol1 is hidden from the screen — left the board."],[276.4869791666667,"solid_axes is hidden from the screen — left the board."],[276.4869791666667,"limit_line is hidden from the screen — solid_axes left the board."],[276.4869791666667,"solid_curve is hidden from the screen — solid_axes left the board."]]}]},{"title":"Distribuzioni e libero cammino medio","start":277.52864583333337,"end":434.10439583333334,"objects":{"atom":"a Point [yellow] drawn in beam_fig (location=(<VariableNumber pos = 5.3>, 1.5), marker_radius=0.08)","beam":"a Line [gray] drawn in beam_fig (start=(1.0, 1.5), end=(5.4, 1.5), dashed=True)","beam_eq":"a Math [text] that says \"$t = frac(L, v) = frac(theta, omega) arrow.r.double v = frac(omega L, theta)$\"","beam_fig":"a Figure (x_range=(0.0, 6.0), y_range=(0.0, 3.0), aspect=(6.0, 3.0))","beam_text":"a Text [text] that says \"Il rivelatore ricostruisce la curva di Maxwell.\"","bz_formula":"a Math [text] that says \"$frac(N_1, N_0) = e^(- frac(Delta E, k_B T))$\"","bz_note":"a Math [text] that says \"$k_B T approx 0.025 thin upright(\"eV\") approx frac(1, 40) thin upright(\"eV\")$\"","detector":"a Polygon [green] drawn in beam_fig (vertices=((5.4, 1.1), (5.8, 1.1), (5.8, 1.9), (5.4, 1.9)))","disks":"a Line [blue] drawn in beam_fig (start=(2.0, 0.4), end=(2.0, 1.35))","disks_2":"a Line [blue] drawn in beam_fig (start=(2.0, 1.65), end=(2.0, 2.6))","disks_3":"a Line [blue] drawn in beam_fig (start=(4.2, 0.4), end=(4.2, 1.35))","disks_4":"a Line [blue] drawn in beam_fig (start=(4.2, 1.65), end=(4.2, 2.6))","gap_L":"a Line [gray] labelled \"L\" drawn in beam_fig (start=(2.0, 0.2), end=(4.2, 0.2))","gap_arrow":"an Arrow [yellow] labelled \"Delta E\" drawn in levels_fig (start=(0.25, 0.6), end=(0.25, 2.2))","head_beam":"a Heading that says \"Fasci molecolari e dischi rotanti\"","head_bz":"a Heading that says \"Il fattore di Boltzmann\"","head_mfp":"a Heading that says \"Il libero cammino medio\"","head_mx":"a Heading that says \"La distribuzione di Maxwell\"","hits":"a Point [red] drawn in mfp_fig (location=(1.8, 1.8))","hits_2":"a Point [red] drawn in mfp_fig (location=(3.2, 1.25))","hits_3":"a Point [red] drawn in mfp_fig (location=(4.6, 1.7))","hlen":"a Line [gray] labelled \"h\" drawn in mfp_fig (start=(0.4, 0.6), end=(5.6, 0.6))","lab0":"a Math [text] that says \"$E_0$\" drawn in levels_fig","lab1":"a Math [text] that says \"$E_1$\" drawn in levels_fig","lev0":"a Line [text] drawn in levels_fig (start=(0.5, 0.6), end=(3.5, 0.6))","lev1":"a Line [text] drawn in levels_fig (start=(0.5, 2.2), end=(3.5, 2.2))","levels_fig":"a Figure (x_range=(0.0, 4.0), y_range=(0.0, 3.0), aspect=(4.0, 3.0))","lower":"a Point [blue] drawn in levels_fig (location=(0.9, 0.8))","lower_2":"a Point [blue] drawn in levels_fig (location=(1.4, 0.8))","lower_3":"a Point [blue] drawn in levels_fig (location=(1.9, 0.8))","lower_4":"a Point [blue] drawn in levels_fig (location=(2.4, 0.8))","lower_5":"a Point [blue] drawn in levels_fig (location=(2.9, 0.8))","lower_6":"a Point [blue] drawn in levels_fig (location=(3.3, 0.8))","mfp":"a Derivation [text] that says \"$N &= n thin pi d^2 h \\ lambda &= frac(h, sqrt(2) thin N) = frac(1, sqrt(2) thin n pi d^2) \\ n &= frac(P, k_B T) \\ lambda &= frac(k_B T, sqrt(2) thin P pi d^2) \\ &approx 230 thin upright(\"nm\") approx 10^3 thin d$\"","mfp_fig":"a Figure (x_range=(0.0, 6.0), y_range=(0.0, 3.0), aspect=(6.0, 3.0))","mx0":"a Math [text] that says \"$f(v) prop v^2 e^(- frac(m v^2, 2 k_B T))$\"","mx1":"a Math [text] that says \"$v_(upright(\"mp\")) = sqrt(frac(2 R T, A))$\"","mx2":"a Math [text] that says \"$v_(upright(\"rms\")) = sqrt(frac(3 R T, A))$\"","mx_axes":"an Axes (x_range=(0.0, 1500.0), y_range=(0.0, 1.2), x_ticks_every=500.0)","mx_curve":"a FunctionPlot [blue] drawn in mx_axes (function=<function>)","omega_label":"a Math [text] that says \"$omega$\" drawn in beam_fig","others":"a Point [gray] drawn in mfp_fig (location=(1.2, 2.5))","others_2":"a Point [gray] drawn in mfp_fig (location=(2.6, 0.3))","others_3":"a Point [gray] drawn in mfp_fig (location=(3.9, 2.6))","others_4":"a Point [gray] drawn in mfp_fig (location=(5.0, 0.3))","oven":"a Polygon [red] drawn in beam_fig (vertices=((0.2, 0.9), (1.0, 0.9), (1.0, 2.1), (0.2, 2.1)))","oven_label":"a Math [text] that says \"$T$\" drawn in beam_fig","p_mp":"a PlotPoint [yellow] labelled \"v_(upright(\"mp\"))\" drawn in mx_axes (target='mx_curve', x=422.0)","p_rms":"a PlotPoint [red] labelled \"v_(upright(\"rms\"))\" drawn in mx_axes (target='mx_curve', x=517.0)","pos":"a VariableNumber (initial_value=1.1)","probe":"a Point [yellow] drawn in mfp_fig (location=(<VariableNumber px = 5.3>, 1.5), marker_radius=0.09)","px":"a VariableNumber (initial_value=0.5)","radius_d":"a Line [red] labelled \"d\" drawn in mfp_fig (start=(0.7, 1.5), end=(0.7, 2.0))","track":"a Line [gray] drawn in mfp_fig (start=(0.4, 1.5), end=(5.6, 1.5), dashed=True)","tube":"a Polygon [blue] drawn in mfp_fig (vertices=((0.4, 1.0), (5.6, 1.0), (5.6, 2.0), (0.4, 2.0)), fill_opacity=0.15)","upper":"a Point [blue] drawn in levels_fig (location=(1.4, 2.4))","upper_2":"a Point [blue] drawn in levels_fig (location=(2.4, 2.4))"},"beats":[{"start":277.52864583333337,"say":"Finora abbiamo usato solo valori medi. Ma le molecole non hanno tutte la stessa velocità: si distribuiscono secondo la curva di Maxwell, qui per l'azoto a trecento kelvin.","live":[],"does":[[277.52864583333337,"head_mx is shown on the screen, written out."],[277.52864583333337,"mx_axes is shown on the screen, written out."],[283.6356458333334,"mx_curve is shown on the screen, drawn."],[285.36864583333335,"mx_axes moves to a new place on the board."],[285.36864583333335,"mx0 is shown on the screen, written out."]]},{"start":288.9561458333334,"say":"Il fattore v quadro conta le direzioni possibili, mentre il termine esponenziale punisce le velocità alte.","live":["mx0","mx_axes","head_mx","mx_curve"],"does":[[289.3286458333334,"mx0 (the \"v^2\" part) is emphasized."],[293.0086458333334,"mx0 (the \"e^(- frac(m v^2, 2 k_B T))\" part) is emphasized."],[293.0086458333334,"mx0 (the \"v^2\" part) is no longer emphasized."],[295.52864583333337,"mx0 (the \"e^(- frac(m v^2, 2 k_B T))\" part) is no longer emphasized."]]},{"start":296.1286458333334,"say":"Il massimo cade alla velocità più probabile, la radice di due R T su A. Un po' più a destra sta la velocità quadratica media, radice di tre R T su A.","live":null,"does":[[296.5686458333334,"p_mp is shown on the screen, written out."],[299.2086458333334,"mx1 is shown on the screen, written out."],[302.0086458333334,"p_rms is shown on the screen, written out."],[303.1286458333334,"mx2 is shown on the screen, written out."],[306.4511458333334,"head_mx is hidden from the screen — left the board."],[306.4511458333334,"mx0 is hidden from the screen — left the board."],[306.4511458333334,"mx1 is hidden from the screen — left the board."],[306.4511458333334,"mx2 is hidden from the screen — left the board."],[306.4511458333334,"mx_axes is hidden from the screen — left the board."],[306.4511458333334,"mx_curve is hidden from the screen — mx_axes left the board."],[306.4511458333334,"p_mp is hidden from the screen — mx_axes left the board."],[306.4511458333334,"p_rms is hidden from the screen — mx_axes left the board."]]},{"start":307.6511458333334,"say":"Come si verifica questa curva? Si scalda un vapore in un forno a temperatura T e lo si lascia uscire da un piccolo foro, formando un fascio collimato.","live":[],"does":[[307.6511458333334,"head_beam is shown on the screen, written out."],[307.6511458333334,"beam_fig is shown on the screen, written out."],[311.3686458333334,"oven is shown on the screen, written out."],[311.3686458333334,"oven_label is shown on the screen, written out."],[315.60864583333336,"beam is shown on the screen, written out."]]},{"start":317.36364583333335,"say":"Il fascio incontra due dischi rotanti, distanti L, con le fenditure sfalsate di un angolo theta. Passa solo la molecola che vola da un disco al successivo nel tempo in cui i dischi ruotano di theta.","live":["beam_fig","head_beam","oven","oven_label","beam"],"does":[[318.92864583333335,"disks is shown on the screen, written out."],[319.0173772856854,"disks_2 is shown on the screen, written out."],[319.10610873803745,"disks_3 is shown on the screen, written out."],[319.1948401903895,"disks_4 is shown on the screen, written out."],[319.28864583333336,"omega_label is shown on the screen, written out."],[319.8886458333334,"gap_L is shown on the screen, written out."],[323.84864583333336,"detector is shown on the screen, written out."],[323.84864583333336,"atom is shown on the screen, written out."],[325.2486458333334,"atom is redrawn as the numbers it depends on change."],[325.2486458333334,"pos ticks to 5.3."]]},{"start":329.93364583333334,"say":"Quindi la velocità selezionata vale omega L su theta. Variando omega si scorrono tutte le velocità, e il rivelatore conta le molecole: l'istogramma ottenuto coincide con la curva di Maxwell.","live":["beam_fig","head_beam","oven","oven_label","beam","disks","disks_2","disks_3","disks_4","omega_label","gap_L","detector","atom"],"does":[[330.16864583333336,"beam_fig moves to a new place on the board."],[330.16864583333336,"beam_eq is shown on the screen, written out."],[337.2086458333334,"detector is indicated — a transient flash."],[340.24864583333334,"beam_text is shown on the screen, written out."],[342.2386458333334,"beam_eq is hidden from the screen — left the board."],[342.2386458333334,"beam_fig is hidden from the screen — left the board."],[342.2386458333334,"oven is hidden from the screen — beam_fig left the board."],[342.2386458333334,"oven_label is hidden from the screen — beam_fig left the board."],[342.2386458333334,"beam is hidden from the screen — beam_fig left the board."],[342.2386458333334,"disks is hidden from the screen — beam_fig left the board."],[342.2386458333334,"disks_2 is hidden from the screen — beam_fig left the board."],[342.2386458333334,"disks_3 is hidden from the screen — beam_fig left the board."],[342.2386458333334,"disks_4 is hidden from the screen — beam_fig left the board."],[342.2386458333334,"omega_label is hidden from the screen — beam_fig left the board."],[342.2386458333334,"gap_L is hidden from the screen — beam_fig left the board."],[342.2386458333334,"detector is hidden from the screen — beam_fig left the board."],[342.2386458333334,"atom is hidden from the screen — beam_fig left the board."],[342.2386458333334,"beam_text is hidden from the screen — left the board."],[342.2386458333334,"head_beam is hidden from the screen — left the board."]]},{"start":343.43864583333334,"say":"La stessa logica vale per livelli di energia discreti. Uno stato eccitato sta sopra il fondamentale di una quantità delta E.","live":[],"does":[[343.43864583333334,"head_bz is shown on the screen, written out."],[343.43864583333334,"levels_fig is shown on the screen, written out."],[343.43864583333334,"lev0 is shown on the screen, written out."],[343.43864583333334,"lab0 is shown on the screen, written out."],[347.4486458333334,"lev1 is shown on the screen, written out."],[347.4486458333334,"lab1 is shown on the screen, written out."],[350.16864583333336,"gap_arrow is shown on the screen, written out."]]},{"start":351.61614583333335,"say":"Il rapporto tra le popolazioni dei due livelli è il fattore di Boltzmann: e alla meno delta E su kappa B T.","live":["levels_fig","head_bz","lev0","lab0","lev1","lab1","gap_arrow"],"does":[[352.68864583333334,"lower is shown on the screen, written out."],[352.77496296888324,"lower_2 is shown on the screen, written out."],[352.8612801044331,"lower_3 is shown on the screen, written out."],[352.947597239983,"lower_4 is shown on the screen, written out."],[353.03391437553285,"lower_5 is shown on the screen, written out."],[353.1202315110827,"lower_6 is shown on the screen, written out."],[353.6486458333334,"upper is shown on the screen, written out."],[353.7522263959932,"upper_2 is shown on the screen, written out."],[354.36864583333335,"bz_formula is shown on the screen, written out."]]},{"start":359.36364583333335,"say":"A temperatura ambiente kappa B T vale circa zero virgola zero due cinque elettronvolt, un quarantesimo. Se delta E è molto più grande, lo stato eccitato resta quasi vuoto.","live":["bz_formula","levels_fig","head_bz","lev0","lab0","lev1","lab1","gap_arrow","lower","lower_2","lower_3","lower_4","lower_5","lower_6","upper","upper_2"],"does":[[360.2486458333334,"bz_note is shown on the screen, written out."],[370.0886458333334,"upper is hidden from the screen."],[370.0886458333334,"upper_2 is hidden from the screen."]]},{"start":371.37114583333334,"say":"Per questo, per allineare gli spin nucleari in un campo magnetico, Madame Wu dovette raffreddare i suoi campioni sotto un milionesimo di kelvin.","live":["bz_formula","bz_note","levels_fig","head_bz","lev0","lab0","lev1","lab1","gap_arrow","lower","lower_2","lower_3","lower_4","lower_5","lower_6"],"does":[[372.4486458333334,"bz_formula is indicated — a transient flash."],[379.5661458333334,"bz_formula is hidden from the screen — left the board."],[379.5661458333334,"bz_note is hidden from the screen — left the board."],[379.5661458333334,"head_bz is hidden from the screen — left the board."],[379.5661458333334,"levels_fig is hidden from the screen — left the board."],[379.5661458333334,"lev0 is hidden from the screen — levels_fig left the board."],[379.5661458333334,"lab0 is hidden from the screen — levels_fig left the board."],[379.5661458333334,"lev1 is hidden from the screen — levels_fig left the board."],[379.5661458333334,"lab1 is hidden from the screen — levels_fig left the board."],[379.5661458333334,"gap_arrow is hidden from the screen — levels_fig left the board."],[379.5661458333334,"lower is hidden from the screen — levels_fig left the board."],[379.5661458333334,"lower_2 is hidden from the screen — levels_fig left the board."],[379.5661458333334,"lower_3 is hidden from the screen — levels_fig left the board."],[379.5661458333334,"lower_4 is hidden from the screen — levels_fig left the board."],[379.5661458333334,"lower_5 is hidden from the screen — levels_fig left the board."],[379.5661458333334,"lower_6 is hidden from the screen — levels_fig left the board."]]},{"start":380.7661458333334,"say":"Ultima grandezza: il libero cammino medio, cioè la distanza media percorsa da una molecola tra due urti. Pensiamo le molecole come sfere rigide di diametro d.","live":[],"does":[[380.7661458333334,"head_mfp is shown on the screen, written out."],[380.7661458333334,"mfp_fig is shown on the screen, written out."],[380.7661458333334,"track is shown on the screen, written out."],[386.1286458333334,"probe is shown on the screen, written out."],[388.4486458333334,"others is shown on the screen, written out."],[388.54067969484845,"others_2 is shown on the screen, written out."],[388.63271355636357,"others_3 is shown on the screen, written out."],[388.7247474178787,"others_4 is shown on the screen, written out."],[390.1286458333334,"radius_d is shown on the screen, written out."]]},{"start":391.66114583333336,"say":"Avanzando di un tratto h, la molecola urta tutte quelle il cui centro cade entro una distanza d dalla sua traiettoria: un cilindro di volume pi greco d quadro per h.","live":["mfp_fig","head_mfp","track","probe","others","others_2","others_3","others_4","radius_d"],"does":[[391.9286458333334,"probe is redrawn as the numbers it depends on change."],[391.9286458333334,"px ticks to 5.3."],[392.6486458333334,"hlen is shown on the screen, written out."],[394.1686458333334,"hits is shown on the screen, written out."],[394.35500757969515,"hits_2 is shown on the screen, written out."],[394.5392487439363,"hits_3 is shown on the screen, written out."],[399.1286458333334,"tube is shown on the screen, faded in."]]},{"start":402.6386458333334,"say":"Con densità numerica n, il numero di urti è n pi greco d quadro h. Il cammino medio è h diviso questo numero, e il moto delle altre molecole introduce un fattore radice di due.","live":["mfp_fig","head_mfp","track","probe","others","others_2","others_3","others_4","radius_d","hlen","hits","hits_2","hits_3","tube"],"does":[[403.4886458333334,"mfp_fig moves to a new place on the board."],[403.4886458333334,"mfp is shown on the screen, written out."],[408.2086458333334,"mfp is shown on the screen, written out."]]},{"start":414.94364583333333,"say":"Per un gas perfetto n vale P su kappa B T. A trecento kelvin e un'atmosfera, con d di circa due angstrom, si ottengono circa duecentotrenta nanometri, mille volte il diametro.","live":null,"does":[[415.7286458333334,"mfp is shown on the screen, written out."],[419.6086458333334,"mfp is shown on the screen, written out."],[422.9686458333334,"mfp is shown on the screen, written out."]]},{"start":427.6961458333334,"say":"A cinquecento metri al secondo, ogni molecola subisce miliardi di urti al secondo.","live":null,"does":[[431.0086458333334,"A box is drawn around mfp."],[433.0627291666667,"head_mfp is hidden from the screen — left the board."],[433.0627291666667,"mfp is hidden from the screen — left the board."],[433.0627291666667,"mfp_fig is hidden from the screen — left the board."],[433.0627291666667,"track is hidden from the screen — mfp_fig left the board."],[433.0627291666667,"probe is hidden from the screen — mfp_fig left the board."],[433.0627291666667,"others is hidden from the screen — mfp_fig left the board."],[433.0627291666667,"others_2 is hidden from the screen — mfp_fig left the board."],[433.0627291666667,"others_3 is hidden from the screen — mfp_fig left the board."],[433.0627291666667,"others_4 is hidden from the screen — mfp_fig left the board."],[433.0627291666667,"radius_d is hidden from the screen — mfp_fig left the board."],[433.0627291666667,"hlen is hidden from the screen — mfp_fig left the board."],[433.0627291666667,"hits is hidden from the screen — mfp_fig left the board."],[433.0627291666667,"hits_2 is hidden from the screen — mfp_fig left the board."],[433.0627291666667,"hits_3 is hidden from the screen — mfp_fig left the board."],[433.0627291666667,"tube is hidden from the screen — mfp_fig left the board."]]}]},{"title":"Entropia statistica","start":434.10439583333334,"end":570.516875,"objects":{"binom_eq":"a Math [text] that says \"$Omega = binom(6, k)$\"","head_3":"a Heading that says \"Il terzo principio\"","head_micro":"a Heading that says \"Macrostati e microstati\"","head_sb":"a Heading that says \"La formula di Boltzmann\"","joule_box":"a Polygon [gray] drawn in joule_fig (vertices=((0.2, 0.2), (5.8, 0.2), (5.8, 2.8), (0.2, 2.8)), filled=False)","joule_fig":"a Figure (x_range=(0.0, 6.0), y_range=(0.0, 3.0), aspect=(6.0, 3.0))","macro_table":"a Table [text] that says \"Sinistra Destra $Omega$ 6 0 1 5 1 6 4 2 15 3 3 20\" (rows=(('Sinistra', 'Destra', '$Omega$'), ('6', '0', '1'), ('5', '1',…, header=True)","moving":"a Point [yellow] labelled \"4\" drawn in joule_fig (location=(<VariableNumber xa = 3.9>, 1.8))","moving_2":"a Point [yellow] labelled \"5\" drawn in joule_fig (location=(<VariableNumber xb = 4.6>, 0.6))","moving_3":"a Point [yellow] labelled \"6\" drawn in joule_fig (location=(<VariableNumber xc = 5.2>, 2.4))","nernst":"a Math [text] that says \"$T arrow.r 0 thin arrow.r.double thin Omega arrow.r 1 thin arrow.r.double thin S = k_B ln 1 = 0$\"","nernst_def":"a Panel that says \"Per $T arrow.r 0$ l'entropia di ogni sistema tende a un valore costante, che si pone uguale a zero.\"","partition":"a Line [gray] drawn in joule_fig (start=(3.0, 0.2), end=(3.0, 2.8), dashed=True)","s_final":"a Math [text] that says \"$S = k_B ln Omega$\"","sder":"a Derivation [text] that says \"$S_(A+B) &= S_A + S_B \\ Omega_(A+B) &= Omega_A dot Omega_B \\ S &= C ln Omega \\ Delta S &= C ln 2^N = N C ln 2 \\ Delta S &= n R ln 2 arrow.r.double C = frac(R, N_A) = k_B$\"","static":"a Point [blue] labelled \"1\" drawn in joule_fig (location=(0.8, 0.9))","static_2":"a Point [blue] labelled \"2\" drawn in joule_fig (location=(1.5, 2.2))","static_3":"a Point [blue] labelled \"3\" drawn in joule_fig (location=(2.3, 1.4))","xa":"a VariableNumber (initial_value=0.9)","xb":"a VariableNumber (initial_value=1.7)","xc":"a VariableNumber (initial_value=2.5)"},"beats":[{"start":434.10439583333334,"say":"Veniamo alla seconda formula. Uno stato macroscopico, fissato da poche variabili come P, V e T, è realizzato da moltissimi microstati: le posizioni e le velocità di tutte le molecole.","live":[],"does":[[434.10439583333334,"head_micro is shown on the screen, written out."],[434.10439583333334,"joule_fig is shown on the screen, written out."],[434.10439583333334,"joule_box is shown on the screen, written out."],[442.90439583333335,"static is shown on the screen, written out."],[443.0711875312578,"static_2 is shown on the screen, written out."],[443.2379792291823,"static_3 is shown on the screen, written out."],[443.40477092710677,"moving is shown on the screen, written out."],[443.5715626250313,"moving_2 is shown on the screen, written out."],[443.73835432295573,"moving_3 is shown on the screen, written out."]]},{"start":447.53939583333334,"say":"Prendiamo sei molecole distinguibili in una scatola divisa a metà. Se stanno tutte a sinistra, esiste un solo modo: un microstato.","live":["joule_fig","head_micro","joule_box","static","static_2","static_3","moving","moving_2","moving_3"],"does":[[448.30439583333333,"joule_fig moves to a new place on the board."],[448.30439583333333,"macro_table is shown on the screen, written out."],[450.54439583333334,"partition is shown on the screen, written out."],[453.6243958333333,"macro_table is shown on the screen, written out."]]},{"start":456.20439583333336,"say":"Spostiamone una a destra: può essere una qualsiasi delle sei, quindi sei microstati. Con due a destra i modi diventano quindici, e con tre diventano venti.","live":["joule_fig","head_micro","joule_box","static","static_2","static_3","moving","moving_2","moving_3","partition"],"does":[[456.42439583333334,"moving is redrawn as the numbers it depends on change."],[456.42439583333334,"xa ticks to 3.9."],[460.82439583333337,"macro_table is shown on the screen, written out."],[462.10439583333334,"moving_2 is redrawn as the numbers it depends on change."],[462.10439583333334,"xb ticks to 4.6."],[463.78439583333335,"macro_table is shown on the screen, written out."],[464.82439583333337,"moving_3 is redrawn as the numbers it depends on change."],[464.82439583333337,"xc ticks to 5.2."],[465.70439583333336,"macro_table is shown on the screen, written out."]]},{"start":466.80189583333333,"say":"In generale il numero di modi è il coefficiente binomiale, sei su k. Già con sei molecole, la divisione a metà è venti volte più probabile del caso estremo.","live":null,"does":[[467.1843958333333,"binom_eq is shown on the screen, written out."],[474.5043958333333,"macro_table (the \"row=5\" part) is emphasized."],[476.8793958333333,"macro_table (the \"row=5\" part) is no longer emphasized."]]},{"start":477.47939583333334,"say":"Con dieci alla ventitré molecole, il macrostato uniforme ha immensamente più microstati di qualsiasi altro: è l'unico che osserviamo davvero.","live":["binom_eq","joule_fig","head_micro","joule_box","static","static_2","static_3","moving","moving_2","moving_3","partition"],"does":[[480.34439583333335,"macro_table (the \"row=5\" part) is indicated — a transient flash."],[486.02439583333336,"joule_fig moves to a new place on the board."],[486.02439583333336,"binom_eq is hidden from the screen — left the board."],[486.02439583333336,"head_micro is hidden from the screen — left the board."],[486.02439583333336,"macro_table is hidden from the screen — left the board."]]},{"start":487.22439583333335,"say":"Due sistemi indipendenti: le loro entropie si sommano, perché l'entropia è estensiva. I loro microstati invece si moltiplicano, perché ogni microstato di uno si combina con ogni microstato dell'altro.","live":["joule_fig","joule_box","static","static_2","static_3","moving","moving_2","moving_3","partition"],"does":[[487.22439583333335,"head_sb is shown on the screen, written out."],[487.22439583333335,"sder is shown on the screen, written out."],[493.46439583333336,"sder is shown on the screen, written out."]]},{"start":500.46689583333335,"say":"La sola funzione che trasforma prodotti in somme è il logaritmo. Dunque S deve essere una costante C per il logaritmo di omega.","live":["joule_fig","joule_box","static","static_2","static_3","moving","moving_2","moving_3","partition","head_sb"],"does":[[504.70439583333336,"sder is shown on the screen, written out."]]},{"start":509.36189583333334,"say":"Fissiamo C con l'espansione libera di Joule: togliamo il setto, e ogni molecola ha a disposizione il doppio del volume. I microstati crescono di un fattore due alla N, e l'entropia di N C logaritmo di due.","live":null,"does":[[512.2243958333333,"partition is hidden from the screen."],[517.5443958333334,"sder is shown on the screen, written out."]]},{"start":522.9643958333334,"say":"La termodinamica dà per la stessa espansione n R logaritmo di due. Confrontando, C è R diviso il numero di Avogadro: proprio la costante di Boltzmann.","live":["joule_fig","joule_box","static","static_2","static_3","moving","moving_2","moving_3","head_sb"],"does":[[523.3443958333334,"sder is shown on the screen, written out."]]},{"start":533.6793958333334,"say":"Ecco la seconda formula: S uguale kappa B per il logaritmo di omega. Disordine vuol dire esattamente questo: più volume o più temperatura offrono più posizioni e più velocità, cioè più microstati.","live":null,"does":[[533.9443958333334,"s_final is shown on the screen, written out."],[538.9043958333334,"A box is drawn around s_final."],[547.4193958333334,"head_sb is hidden from the screen — left the board."],[547.4193958333334,"joule_fig is hidden from the screen — left the board."],[547.4193958333334,"joule_box is hidden from the screen — joule_fig left the board."],[547.4193958333334,"static is hidden from the screen — joule_fig left the board."],[547.4193958333334,"static_2 is hidden from the screen — joule_fig left the board."],[547.4193958333334,"static_3 is hidden from the screen — joule_fig left the board."],[547.4193958333334,"moving is hidden from the screen — joule_fig left the board."],[547.4193958333334,"moving_2 is hidden from the screen — joule_fig left the board."],[547.4193958333334,"moving_3 is hidden from the screen — joule_fig left the board."],[547.4193958333334,"s_final is hidden from the screen — left the board."],[547.4193958333334,"sder is hidden from the screen — left the board."]]},{"start":548.6193958333333,"say":"E allo zero assoluto? Quando la temperatura tende a zero, il sistema scivola nel suo unico stato fondamentale. Omega tende a uno, e quindi l'entropia tende a zero.","live":[],"does":[[548.6193958333333,"head_3 is shown on the screen, written out."],[551.4243958333334,"nernst is shown on the screen, written out."]]},{"start":559.6443958333334,"say":"È il terzo principio della termodinamica, il teorema di Nernst. Una sua conseguenza è che lo zero assoluto non si raggiunge con un numero finito di trasformazioni.","live":["nernst","head_3"],"does":[[560.1443958333334,"nernst_def is shown on the screen, written out."],[569.4752083333333,"head_3 is hidden from the screen — left the board."],[569.4752083333333,"nernst is hidden from the screen — left the board."],[569.4752083333333,"nernst_def is hidden from the screen — left the board."]]}]},{"title":"Misurare gamma, e l'atmosfera","start":570.516875,"end":683.6044583333334,"objects":{"adiab_eq":"a Math [text] that says \"$T P^(frac(1 - gamma, gamma)) = upright(\"cost\")$\"","atm_list":"a Block [text] that says \"Nubi: l'aria che sale si espande e si raffredda. Föhn: l'aria che scende si comprime e si scalda.\"","ball":"a Point [red] labelled \"m\" drawn in flask_fig (location=(2.0, (3.6 + y)), marker_radius=0.15)","cloud":"a Circle [gray] drawn in mount_fig (center=(2.3, 2.3), radius=0.3, filled=True)","fin_ls":"a Tex [text] that says \"Entropia: conteggio dei microstati\"","fin_lt":"a Tex [text] that says \"Temperatura: energia media\"","fin_s":"a Math [text] that says \"$S = k_B ln Omega$\"","fin_t":"a Math [text] that says \"$overline(E)_c = frac(3, 2) k_B T$\"","flask_fig":"a Figure (x_range=(0.0, 4.0), y_range=(0.0, 5.0), aspect=(4.0, 5.0))","head_atm":"a Heading that says \"Adiabatiche in atmosfera\"","head_fin":"a Heading that says \"I due ponti\"","head_r":"a Heading that says \"Il metodo di Rüchardt\"","mount_fig":"a Figure (x_range=(0.0, 6.0), y_range=(0.0, 3.0), aspect=(6.0, 3.0))","mountain":"a Polygon [green] drawn in mount_fig (vertices=((0.2, 0.3), (3.0, 2.5), (5.8, 0.3)))","neck_l":"a Line [gray] drawn in flask_fig (start=(1.75, 2.6), end=(1.75, 4.7))","neck_label":"a Math [text] that says \"$S$\" drawn in flask_fig","neck_r":"a Line [gray] drawn in flask_fig (start=(2.25, 2.6), end=(2.25, 4.7))","parcel":"a Point [yellow] labelled \"15 degree upright(\"C\")\" drawn in mount_fig (location=(<VariableNumber px = 5.3>, <VariableNumber py = 1.05>))","px":"a VariableNumber (initial_value=0.7)","py":"a VariableNumber (initial_value=1.05)","rder":"a Derivation [text] that says \"$Delta P &= - gamma P frac(S y, V) \\ m frac(dif^2 y, dif t^2) &= - frac(gamma P S^2, V) y \\ tau &= 2 pi sqrt(frac(m V, gamma P S^2)) \\ gamma &= frac(4 pi^2 m V, tau^2 P S^2)$\"","temp":"a VariableNumber (initial_value=15.0, format_spec='.0f')","vessel":"a Polygon [blue] drawn in flask_fig (vertices=((0.5, 0.3), (3.5, 0.3), (3.5, 2.6), (0.5, 2.6)), fill_opacity=0.15)","vessel_label":"a Math [text] that says \"$V, thin P$\" drawn in flask_fig","y":"a VariableNumber"},"beats":[{"start":570.516875,"say":"Gamma si può misurare con un esperimento semplice, ideato da Rüchardt. Un grande recipiente rigido di volume V contiene il gas, e nel suo collo verticale di sezione S scorre senza attrito una sferetta di massa m.","live":[],"does":[[570.516875,"head_r is shown on the screen, written out."],[570.516875,"flask_fig is shown on the screen, written out."],[575.556875,"vessel is shown on the screen, written out."],[576.756875,"vessel_label is shown on the screen, written out."],[579.156875,"neck_l is shown on the screen, written out."],[579.156875,"neck_r is shown on the screen, written out."],[580.116875,"neck_label is shown on the screen, written out."],[582.876875,"ball is shown on the screen, written out."]]},{"start":584.969375,"say":"Spostiamo la sferetta di un tratto y. 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La teoria cinetica è il primo ponte tra questi due mondi, e il primo esempio di meccanica statistica. Alla fine di questa lezione due formule avranno un significato preciso. La prima dice che la temperatura misura l'energia cinetica media di una molecola. La seconda dice che l'entropia conta i modi microscopici di realizzare uno stato. Le ricaveremo entrambe. Cominciamo dalla prima. Prendiamo un recipiente pieno di gas. Le molecole si muovono in tutte le direzioni, e nessuna direzione è privilegiata: è questa l'ipotesi del caos molecolare. In media, quindi, ogni componente della velocità si annulla. Ma i quadrati non si annullano: lungo ciascun asse il valore medio del quadrato vale un terzo di quello del modulo. Supponiamo poi che le molecole non si attraggano a distanza, e che si urtino soltanto in modo elastico, come palline rigide. Guardiamo una molecola che urta la parete di destra. Rimbalza invertendo la componente orizzontale, e cede alla parete una quantità di moto pari a due m v x. Sommando su tutti gli urti e usando le ipotesi di prima, si trova che P per V vale un terzo di N m per la media del quadrato della velocità. Confrontando con i gas perfetti, n R T, moto molecolare e temperatura si legano. Da qui segue la velocità quadratica media: la radice di tre R T diviso la massa molare A. Per l'azoto a trecento kelvin vale circa cinquecentoventi metri al secondo, mentre l'idrogeno sfiora i duemila. Dividendo per il numero di Avogadro, l'energia cinetica media di una singola molecola risulta tre mezzi di kappa B per T. Qui kappa B è la costante di Boltzmann, R diviso il numero di Avogadro. Questa è la prima delle nostre due formule: la temperatura assoluta misura l'energia cinetica media di traslazione. Moltiplicando per il numero di molecole si ottiene l'energia interna di n moli di gas monoatomico: tre mezzi n R T."},{"title":"Equipartizione e calori specifici","startSeconds":138.8426875,"narration":"Dall'energia interna discendono i calori specifici molari. C v è la derivata di U rispetto a T, divisa per il numero di moli: per un gas monoatomico vale tre mezzi R. A pressione costante il gas compie anche lavoro, e si aggiunge un R: C p vale cinque mezzi R. Il loro rapporto, gamma, vale cinque terzi, circa uno virgola sei sette. I gas nobili lo confermano con grande precisione: elio, neon e argon danno tutti circa uno virgola sei sette. Ecco il calore specifico di un gas biatomico, come l'idrogeno, al variare della temperatura, misurato in unità di R. La curva sale a gradini, e per capirla serve il teorema di equipartizione. Ogni termine quadratico indipendente nell'energia di una molecola contribuisce in media con un mezzo kappa B T. Un gas monoatomico ha solo i tre termini della traslazione, e infatti in basso la curva vale tre mezzi. Una molecola biatomica può anche ruotare attorno a due assi. La rotazione attorno all'asse dei nuclei non conta, perché lì il momento di inerzia è trascurabile. Cinque termini in tutto: C v vale cinque mezzi R, C p sette mezzi R, e gamma sette quinti, cioè uno virgola quattro. Ma perché i gradini? I livelli di energia sono quantizzati, e un modo partecipa solo quando kappa B T supera la sua spaziatura. Le rotazioni si sbloccano per prime; le vibrazioni, con due termini in più, solo a temperature molto alte. Passiamo ai solidi. Ogni atomo del reticolo oscilla attorno alla sua posizione di equilibrio in tre dimensioni: tre termini di energia cinetica e tre di energia potenziale elastica, sei in tutto. Quindi U vale tre n R T, e C v vale tre R, circa venticinque joule per mole e per kelvin: è la legge di Dulong e Petit. In ascissa c'è la temperatura divisa per una temperatura caratteristica del solido, theta. Ad alta temperatura tutti i solidi tendono proprio a questo valore. A bassa temperatura, invece, il calore specifico crolla verso zero, perché anche le vibrazioni del reticolo si congelano."},{"title":"Distribuzioni e libero cammino medio","startSeconds":277.52864583333337,"narration":"Finora abbiamo usato solo valori medi. Ma le molecole non hanno tutte la stessa velocità: si distribuiscono secondo la curva di Maxwell, qui per l'azoto a trecento kelvin. Il fattore v quadro conta le direzioni possibili, mentre il termine esponenziale punisce le velocità alte. Il massimo cade alla velocità più probabile, la radice di due R T su A. Un po' più a destra sta la velocità quadratica media, radice di tre R T su A. Come si verifica questa curva? Si scalda un vapore in un forno a temperatura T e lo si lascia uscire da un piccolo foro, formando un fascio collimato. Il fascio incontra due dischi rotanti, distanti L, con le fenditure sfalsate di un angolo theta. Passa solo la molecola che vola da un disco al successivo nel tempo in cui i dischi ruotano di theta. Quindi la velocità selezionata vale omega L su theta. Variando omega si scorrono tutte le velocità, e il rivelatore conta le molecole: l'istogramma ottenuto coincide con la curva di Maxwell. La stessa logica vale per livelli di energia discreti. Uno stato eccitato sta sopra il fondamentale di una quantità delta E. Il rapporto tra le popolazioni dei due livelli è il fattore di Boltzmann: e alla meno delta E su kappa B T. A temperatura ambiente kappa B T vale circa zero virgola zero due cinque elettronvolt, un quarantesimo. Se delta E è molto più grande, lo stato eccitato resta quasi vuoto. Per questo, per allineare gli spin nucleari in un campo magnetico, Madame Wu dovette raffreddare i suoi campioni sotto un milionesimo di kelvin. Ultima grandezza: il libero cammino medio, cioè la distanza media percorsa da una molecola tra due urti. Pensiamo le molecole come sfere rigide di diametro d. Avanzando di un tratto h, la molecola urta tutte quelle il cui centro cade entro una distanza d dalla sua traiettoria: un cilindro di volume pi greco d quadro per h. Con densità numerica n, il numero di urti è n pi greco d quadro h. Il cammino medio è h diviso questo numero, e il moto delle altre molecole introduce un fattore radice di due. Per un gas perfetto n vale P su kappa B T. A trecento kelvin e un'atmosfera, con d di circa due angstrom, si ottengono circa duecentotrenta nanometri, mille volte il diametro. A cinquecento metri al secondo, ogni molecola subisce miliardi di urti al secondo."},{"title":"Entropia statistica","startSeconds":434.10439583333334,"narration":"Veniamo alla seconda formula. Uno stato macroscopico, fissato da poche variabili come P, V e T, è realizzato da moltissimi microstati: le posizioni e le velocità di tutte le molecole. Prendiamo sei molecole distinguibili in una scatola divisa a metà. Se stanno tutte a sinistra, esiste un solo modo: un microstato. Spostiamone una a destra: può essere una qualsiasi delle sei, quindi sei microstati. Con due a destra i modi diventano quindici, e con tre diventano venti. In generale il numero di modi è il coefficiente binomiale, sei su k. Già con sei molecole, la divisione a metà è venti volte più probabile del caso estremo. Con dieci alla ventitré molecole, il macrostato uniforme ha immensamente più microstati di qualsiasi altro: è l'unico che osserviamo davvero. Due sistemi indipendenti: le loro entropie si sommano, perché l'entropia è estensiva. I loro microstati invece si moltiplicano, perché ogni microstato di uno si combina con ogni microstato dell'altro. La sola funzione che trasforma prodotti in somme è il logaritmo. Dunque S deve essere una costante C per il logaritmo di omega. Fissiamo C con l'espansione libera di Joule: togliamo il setto, e ogni molecola ha a disposizione il doppio del volume. I microstati crescono di un fattore due alla N, e l'entropia di N C logaritmo di due. La termodinamica dà per la stessa espansione n R logaritmo di due. Confrontando, C è R diviso il numero di Avogadro: proprio la costante di Boltzmann. Ecco la seconda formula: S uguale kappa B per il logaritmo di omega. Disordine vuol dire esattamente questo: più volume o più temperatura offrono più posizioni e più velocità, cioè più microstati. E allo zero assoluto? Quando la temperatura tende a zero, il sistema scivola nel suo unico stato fondamentale. Omega tende a uno, e quindi l'entropia tende a zero. È il terzo principio della termodinamica, il teorema di Nernst. Una sua conseguenza è che lo zero assoluto non si raggiunge con un numero finito di trasformazioni."},{"title":"Misurare gamma, e l'atmosfera","startSeconds":570.516875,"narration":"Gamma si può misurare con un esperimento semplice, ideato da Rüchardt. Un grande recipiente rigido di volume V contiene il gas, e nel suo collo verticale di sezione S scorre senza attrito una sferetta di massa m. Spostiamo la sferetta di un tratto y. Il gas si comprime e si espande così in fretta da non scambiare calore: la trasformazione è adiabatica, e la pressione cambia di meno gamma P per S y su V. La forza di richiamo è proporzionale allo spostamento: la sferetta oscilla di moto armonico. Chiamo tau il periodo, per non confonderlo con la temperatura. Misurando tau, insieme a m, V, P e S, si ricava gamma. Per l'aria si trova circa uno virgola quattro, proprio il valore di un gas biatomico. Le trasformazioni adiabatiche governano anche il tempo atmosferico. Una massa di aria calda e umida sale lungo il versante di una montagna: in quota la pressione è minore, e la massa si espande. Si espande a spese della propria energia interna, e la temperatura scende. Il vapore raggiunge la saturazione e condensa in goccioline: nasce la nube. Sul versante opposto succede il contrario. L'aria ormai secca scende verso la pianura e viene compressa adiabaticamente: si scalda di circa dieci gradi ogni chilometro, e arriva calda e asciutta. È il vento di Föhn. Ricapitoliamo i due ponti promessi all'inizio. La temperatura è energia cinetica media, tre mezzi kappa B T per molecola: da qui discendono equipartizione, calori specifici e velocità molecolari. L'entropia invece conta i microstati, kappa B per il logaritmo di omega, e porta con sé il terzo principio. Così il moto disordinato di miliardi di miliardi di molecole diventa la termodinamica che misuriamo."}]}}