{"version":1,"lectureId":"01M4P2T1S45XTV8XF8HY6N7ECF","attempt":0,"publication":{"slug":"dagli-oscillatori-alle-onde-meccaniche-teoria-e-derivazioni-matematiche","title":"Dagli Oscillatori alle Onde Meccaniche: Teoria e Derivazioni Matematiche","subject":"physics","summary":"Una lezione universitaria che collega in un unico percorso l'oscillatore meccanico e la propagazione delle onde nei mezzi continui. Si parte dall'oscillatore armonico semplice e dalle condizioni iniziali, si analizzano i tre regimi di smorzamento, il decadimento dell'energia e l'analogia con il circuito RLC, poi le oscillazioni forzate e la risonanza. Dal modulo di Young si deriva passo per passo l'equazione di d'Alembert per le onde longitudinali in una sbarra, con v uguale alla radice di E su rho. Seguono onde armoniche, serie e trasformata di Fourier, battimenti, velocità di fase e di gruppo, pacchetti d'onda e principio di indeterminazione, effetto Doppler e cono di Mach.","metaDescription":"Oscillatore armonico, smorzamento e risonanza, poi l'equazione d'onda in una sbarra elastica, Fourier, battimenti, pacchetti e Doppler.","transcript":"Questa lezione segue un filo solo. Partiamo da una massa attaccata a una molla, la facciamo oscillare, poi la smorziamo e la forziamo. Infine lasciamo che l'oscillazione si propaghi in un mezzo continuo, e diventi un'onda. Ecco i due estremi del percorso. A sinistra, l'equazione di un singolo oscillatore. A destra, l'equazione di d'Alembert, che descrive un'onda in una sbarra elastica. Il nostro compito è costruire il ponte fra le due. Teniamo a mente questa forma. Quando la ritroveremo, ogni suo simbolo avrà un significato fisico preciso. Una massa m scorre su un piano orizzontale liscio, attaccata a una molla di costante elastica k. Detto x lo spostamento dalla posizione di riposo, la molla esercita la forza di richiamo meno k x, e il secondo principio dà m per l'accelerazione uguale a meno k x. Dividiamo per la massa. Compare una sola costante, omega zero, la radice di k su m, che ha le dimensioni di una frequenza angolare: è la pulsazione propria del sistema. L'equazione è lineare, del secondo ordine, a coefficienti costanti, e la sua soluzione generale contiene due costanti arbitrarie. Possiamo scriverla come A per il coseno di omega zero t più fi. A è l'ampiezza, l'escursione massima dall'equilibrio, e fi è la fase iniziale. Il moto si ripete dopo un periodo T uguale a due pi greco su omega zero, indipendente dall'ampiezza: è l'isocronismo dell'oscillatore armonico. Derivando una volta si ottiene la velocità, meno A omega zero per il seno. Posizione e velocità sono sfasate di un quarto di periodo: dove lo spostamento è massimo, la massa è istantaneamente ferma. Ora la domanda pratica. Supponiamo di conoscere la posizione x zero e la pendenza della curva, cioè la velocità v zero, nell'istante in cui facciamo partire il cronometro. Quali A e fi ne seguono? Valutiamo le due espressioni in t uguale a zero. La posizione dà x zero uguale ad A per il coseno di fi; la velocità dà v zero uguale a meno A omega zero per il seno di fi. Dividiamo la seconda per omega zero, eleviamo al quadrato e sommiamo: seno quadro più coseno quadro fa uno, e resta l'ampiezza, la radice di x zero quadro più v zero quadro su omega zero quadro. Il rapporto fra le stesse equazioni dà invece la tangente della fase, meno v zero su omega zero x zero. Attenzione al quadrante: l'arcotangente determina fi a meno di pi greco, e il segno di x zero sceglie il ramo giusto. Due condizioni iniziali, due costanti: il moto è determinato in modo univoco. Teniamo a mente questa coppia, ampiezza e fase, perché tornerà in tutto ciò che segue. Nessuna molla reale oscilla per sempre. Aggiungiamo una forza di attrito viscoso, proporzionale alla velocità e opposta ad essa: meno c per x punto. Dividendo per m, conviene chiamare due gamma il rapporto c su m. Gamma è il parametro di smorzamento, e ha anch'esso le dimensioni di una frequenza. Cerchiamo soluzioni esponenziali, x uguale a e alla lambda t. Ogni derivata porta giù un fattore lambda, l'esponenziale si semplifica, e resta un'equazione di secondo grado: l'equazione caratteristica. Le sue radici sono meno gamma più o meno la radice di gamma quadro meno omega zero quadro. Tutto dipende dal segno del discriminante, e questo segno separa tre regimi. Fissiamo omega zero uguale a uno e lasciamo la massa ferma, con spostamento unitario. Se gamma supera omega zero, le radici sono reali e negative: è il regime sovrasmorzato, la curva rossa. La massa torna all'equilibrio senza oscillare, ma lentamente, perché a lungo andare domina la radice più piccola in modulo. È il comportamento richiesto a un ammortizzatore: dopo una buca, la ruota non deve rimbalzare. Per gamma uguale a omega zero le due radici coincidono, e la seconda soluzione indipendente è t per l'esponenziale. È lo smorzamento critico, la curva verde: il ritorno più rapido possibile senza oscillazioni. Per gamma minore di omega zero, infine, le radici sono complesse coniugate, e la soluzione oscilla dentro un inviluppo esponenziale: è il regime sottosmorzato, la curva blu. La pseudo pulsazione è omega uno, radice di omega zero quadro meno gamma quadro, sempre minore di omega zero: lo smorzamento non solo spegne l'oscillazione, ma la rallenta. Intanto l'ampiezza decade come A zero per e alla meno gamma t. E l'energia? Essendo quadratica nell'ampiezza, decade con esponente doppio, come e alla meno due gamma t, con costante di tempo tau uguale a uno su due gamma. Lo stesso schema compare in un circuito erre elle ci in serie, senza generatore e con il condensatore inizialmente carico. Sommando le cadute di tensione lungo la maglia, per la carica q si trova questa equazione. Il confronto termine a termine è immediato. L'induttanza gioca il ruolo della massa, la resistenza quello dell'attrito viscoso, e l'inverso della capacità quello della costante elastica. La carica fa le veci dello spostamento. Ne seguono omega zero uguale a uno su radice di L C e gamma uguale a R su due L: stessi tre regimi, stesse formule. Lo smorzamento spegne ogni oscillazione libera. Per mantenerla serve una forza esterna periodica, per esempio una biella mossa da una ruota che gira a pulsazione omega: F zero per il coseno di omega t. L'equazione diventa non omogenea. Per la linearità, la soluzione generale è la somma di due pezzi: la soluzione generale dell'omogenea, che già conosciamo, più una qualsiasi soluzione particolare. Guardiamo cosa succede partendo da fermi. Nei primi istanti si mescolano due moti, alla pulsazione propria e a quella della forzante: è il regime transiente. Ma il pezzo omogeneo porta il fattore e alla meno gamma t. Dopo qualche multiplo di uno su gamma è svanito, e resta il regime permanente, la curva gialla: una oscillazione alla sola pulsazione omega imposta dall'esterno. Cerchiamo quindi la soluzione particolare nella forma A di omega per il coseno di omega t meno delta. Sostituendo, e uguagliando separatamente i termini in seno e in coseno, si ottengono ampiezza e sfasamento. Ecco il risultato. L'ampiezza è F zero su m, diviso la radice di omega zero quadro meno omega quadro, al quadrato, più quattro gamma quadro omega quadro. Disegniamola in funzione di omega, con omega zero uguale a uno: la curva blu con smorzamento debole, la curva rossa con smorzamento più forte. Ora facciamo scorrere la pulsazione della forzante. A bassa frequenza la massa segue la forza quasi staticamente, con ampiezza vicina a quella statica. Avvicinandoci a omega zero, l'ampiezza cresce bruscamente. Questa è la risonanza. Con poco smorzamento il picco è alto e stretto, circa F zero su due m gamma omega zero, e il suo massimo cade appena sotto omega zero. Superata la risonanza, la massa non riesce più a seguire la forza, e l'ampiezza crolla. Anche la fase racconta la stessa storia. La tangente di delta cambia segno attraversando omega zero: lo spostamento passa dall'essere in fase con la forza all'essere in opposizione, e proprio alla risonanza è in quadratura. Lasciamo il punto materiale e passiamo a un mezzo continuo. Prima, però, ci serve una legge costitutiva: come risponde un solido quando lo tiriamo. Prendiamo una barra di lunghezza L e sezione S, tirata da una forza F. Il carico specifico, o sforzo, è sigma uguale a F su S. L'allungamento relativo, o deformazione, è epsilon uguale a delta L su L. Per piccole deformazioni le due grandezze sono proporzionali: è la legge di Hooke, e la costante di proporzionalità è il modulo di Young E, che si misura come una pressione. Qualche valore dà le proporzioni. Acciaio e ferro stanno attorno a duecento gigapascal, alluminio a settanta, rame a centoventi, piombo a sedici. La gomma, invece, è circa ventimila volte più cedevole. Ora una sbarra lunga, di densità rho, sezione S e modulo E, colpita a un estremo da un martelletto. Il colpo comprime lo strato vicino, che spinge il successivo: una perturbazione comincia a viaggiare lungo la sbarra. Chiamiamo s di x e t lo spostamento della sezione che a riposo si trova in x. Uno spostamento uniforme non deforma nulla: conta quanto lo spostamento varia da una sezione alla successiva. La deformazione locale è quindi la derivata parziale di s rispetto a x, e per la legge di Hooke la forza interna attraverso la sezione in x vale E S per questa derivata. Isoliamo un volumetto compreso fra x e x più d x. La sua massa è d m uguale a rho S d x. Sulla faccia sinistra agisce meno F di x, sulla destra F di x più d x. La risultante è la loro differenza, cioè la derivata di F per d x: E S per la derivata seconda di s rispetto a x, per d x. Il secondo principio chiede d m per l'accelerazione uguale a questa forza, e l'accelerazione della sezione è la derivata seconda di s rispetto al tempo. Semplifichiamo S e d x, che compaiono da entrambe le parti, e portiamo tutto a sinistra. Ecco l'equazione di d'Alembert, con il coefficiente rho su E davanti alla derivata temporale. Confrontando con la forma promessa all'inizio, rho su E deve valere uno su v quadro: la velocità delle onde longitudinali nella sbarra è la radice di E su rho. Rigidità e inerzia competono: un mezzo rigido e leggero trasmette in fretta. Per alluminio e ferro si superano i cinquemila metri al secondo, per il rame circa tremilasettecento, per il piombo appena milleduecento. Infine la soluzione generale: qualunque profilo che trasli rigidamente verso destra o verso sinistra con velocità v soddisfa l'equazione. E derivando la legge di Hooke si vede che anche la forza interna, cioè l'onda di pressione, obbedisce alla stessa equazione con la stessa velocità. Ora che sappiamo che un profilo qualsiasi trasla con velocità v, scegliamone uno particolare, il più importante: il coseno. È l'onda armonica progressiva, y uguale ad A per il coseno di k x meno omega t. A tempo fissato è una sinusoide nello spazio: si ripete dopo una lunghezza d'onda lambda, e k, il numero d'onda, vale due pi greco su lambda. In un punto fissato, invece, oscilla nel tempo con periodo T uguale a due pi greco su omega. Dopo un piccolo intervallo delta t, la curva blu, ogni cresta si è spostata di v delta t. Una cresta è un punto di fase costante: imponendo k x meno omega t costante si trova v uguale a omega su k, cioè lambda su T. Perché proprio il coseno? Perché l'equazione è lineare, e Fourier ci dice che ogni segnale periodico di periodo T è una somma di armoniche: la fondamentale omega e i suoi multipli interi. I coefficienti si ottengono proiettando il segnale su ciascuna armonica, cioè integrando su un periodo il prodotto con il seno o il coseno corrispondente. Per un'onda quadra sopravvivono solo i seni dispari, con ampiezza quattro su n pi greco. Vediamolo. La sola fondamentale è una sinusoide grossolana, che dell'onda quadra ricorda appena il segno. Aggiungendo la terza e la quinta armonica, gli spigoli cominciano a formarsi. Con molti termini la somma riproduce l'onda quadra, salvo un piccolo eccesso vicino ai salti: il fenomeno di Gibbs. E un sistema elastico, essendo lineare, risponde a ciascuna armonica separatamente: la risposta totale è la sovrapposizione delle singole risposte. Un segnale localizzato, come un singolo colpo, non è periodico. Pensiamolo periodico con un periodo che tende all'infinito: le armoniche discrete si infittiscono sempre di più, e la somma diventa un integrale. Il segnale diventa l'integrale su tutte le pulsazioni di f tilde di omega per e alla i omega t. La funzione f tilde è la trasformata di Fourier, e si ottiene invertendo: uno su due pi greco per l'integrale di f di t per e alla meno i omega t. Tempo e pulsazione sono due descrizioni equivalenti dello stesso fenomeno: la trasformata ci porta nello spazio duale delle frequenze, dove leggiamo lo spettro della sollecitazione e capiamo a quali frequenze un sistema risponderà, per esempio vicino alla sua risonanza. Sommiamo ora due onde armoniche della stessa ampiezza, con pulsazioni vicine: delta omega molto più piccolo della pulsazione media. Le formule di prostaferesi trasformano la somma di due coseni in un prodotto: due volte il coseno della semidifferenza per il coseno della semisomma degli argomenti. Applicate ai nostri argomenti, danno un'onda ad alta frequenza, la portante, alla pulsazione media omega segnato, moltiplicata per un fattore lento alla pulsazione delta omega mezzi. In un punto fissato, ecco il segnale: la portante blu oscilla rapidamente dentro l'inviluppo grigio, che sale e scende lentamente. L'intensità pulsa con la differenza delle frequenze: sono i battimenti che si sentono fra due corde quasi intonate. Portante e inviluppo non viaggiano necessariamente insieme. Le creste si muovono con la velocità di fase, omega medio su k medio. L'inviluppo, che trasporta energia e informazione, si muove con la velocità di gruppo, delta omega su delta k, che nel limite diventa d omega su d k. Se omega è proporzionale a k, il mezzo non è dispersivo e le due velocità coincidono, come nella nostra sbarra. In un mezzo dispersivo, invece, il gruppo può essere più lento o più veloce delle creste. Sommando non due, ma un continuo di onde con numeri d'onda distribuiti in una banda delta k, si ottiene un pacchetto: una perturbazione localizzata, larga circa delta x. Il prezzo della localizzazione sta nella trasformata di Fourier: più il pacchetto è stretto nello spazio, più è largo il suo spettro. Vale delta x per delta k dell'ordine di due pi greco, e analogamente delta t per delta omega. Questo è un fatto puramente classico. Ma ora usiamo le relazioni di Planck e de Broglie: l'energia è h nu, cioè h su due pi greco per omega, e la quantità di moto è h su lambda, cioè h su due pi greco per k. Moltiplicando la relazione classica per h su due pi greco, delta x per delta p diventa dell'ordine di h, e lo stesso vale per energia e tempo. È il principio di indeterminazione di Heisenberg, che nella forma rigorosa, per le deviazioni standard, dà almeno h su quattro pi greco. Ultimo fenomeno: l'effetto Doppler. Una sorgente in moto emette fronti d'onda sferici a frequenza nu S. Se si muove più lentamente del suono, i fronti si addensano davanti a lei e si diradano dietro. Davanti alla sorgente la lunghezza d'onda si accorcia e la frequenza percepita sale. Per ricevitore e sorgente in moto lungo la congiungente, con velocità misurate rispetto al mezzo, vale questa formula, con i segni superiori per l'avvicinamento. Prendiamo una sirena da cinquecento hertz, con il suono a trecentoquaranta metri al secondo. Se il ricevitore le corre incontro a centoventiquattro chilometri orari, sente circa cinquecentocinquantuno hertz. Se invece è la sorgente ad avvicinarsi così, il suono sale a circa cinquecentocinquantasei. Le due situazioni non sono equivalenti, perché il mezzo fissa un riferimento privilegiato. Se si muovono entrambi a sessantadue chilometri orari, la frequenza cade in mezzo, circa cinquecentocinquantatré hertz. Applicato alla luce delle galassie lontane, lo stesso spostamento è alla base della legge di Hubble. Se infine la sorgente supera la velocità del suono, i fronti non riescono più a precederla: si accumulano lungo un cono, il cono di Mach, con semiapertura data da seno di theta uguale a v su v S. Lungo il cono viaggia l'onda d'urto. Siamo partiti da una massa e una molla e siamo arrivati alle onde d'urto. Il filo è sempre lo stesso: forze di richiamo lineari producono oscillazioni, e un mezzo continuo le trasmette, con una velocità fissata da rigidità e inerzia.","watch":{"version":1,"scenes":[{"title":"L'oscillatore armonico semplice","start":0,"end":175.85574999999994,"objects":{"amp_line":"a Line [green] labelled \"A\" drawn in axes (start=(0.6, 0.0), end=(0.6, 1.2))","axes":"an Axes (x_range=(-1.0, 12.6), y_range=(-1.6, 1.6), x_label='t')","card":"a Title that says \"Fisica Generale: Oscillazioni e Onde — Dagli Oscillatori alle Onde Meccaniche: Teoria e Derivazioni Matematiche\"","curve":"a FunctionPlot [blue] drawn in axes (function=<function>)","head_goal":"a Heading that says \"Il percorso della lezione\"","head_ic":"a Heading that says \"Ampiezza e fase dalle condizioni iniziali\"","head_sho":"a Heading that says \"Massa e molla\"","ic":"a Derivation [text] that says \"$x_0 &= A cos phi \\ v_0 &= -A omega_0 sin phi \\ A &= sqrt(x_0^2 + frac(v_0^2, omega_0^2)) \\ tan phi &= -frac(v_0, omega_0 x_0)$\"","lab_osc":"a Tex [text] that says \"Un oscillatore\"","lab_wave":"a Tex [text] that says \"Un mezzo elastico continuo\"","motion":"a Derivation [text] that says \"$m dot.double(x) &= -k x \\ dot.double(x) + omega_0^2 x &= 0, quad omega_0 = sqrt(frac(k, m)) \\ x(t) &= A cos(omega_0 t + phi) \\ dot(x)(t) &= -A omega_0 sin(omega_0 t + phi)$\"","osc_eq":"a Math [text] that says \"$m dot.double(x) + k x = 0$\"","period_line":"a Line [yellow] labelled \"T\" drawn in axes (start=(0.6, 1.42), end=(6.883185307179586, 1.42))","point":"a Point [yellow] drawn in axes (location=(0.6, 1.2))","slope":"a TangentLine [yellow] drawn in axes (target='curve', length=1.6, show_dot=False)","start_pt":"a Point [yellow] labelled \"x_0\" drawn in axes (location=(0.0, 0.9904027378916139))","wave_eq":"a Math [text] that says \"$frac(partial^2 s, partial x^2) - frac(1, v^2) frac(partial^2 s, partial t^2) = 0$\""},"beats":[{"start":0,"say":"Questa lezione segue un filo solo. 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Attenzione al quadrante: l'arcotangente determina fi a meno di pi greco, e il segno di x zero sceglie il ramo giusto.","live":null,"does":[[151.04000000000005,"ic is shown on the screen, written out."],[156.16000000000003,"ic is indicated — a transient flash."]]},{"start":163.67,"say":"Due condizioni iniziali, due costanti: il moto è determinato in modo univoco. Teniamo a mente questa coppia, ampiezza e fase, perché tornerà in tutto ciò che segue.","live":null,"does":[[168.28,"A box is drawn around ic."],[174.81408333333331,"axes is hidden from the screen — left the board."],[174.81408333333331,"curve is hidden from the screen — axes left the board."],[174.81408333333331,"amp_line is hidden from the screen — axes left the board."],[174.81408333333331,"period_line is hidden from the screen — axes left the board."],[174.81408333333331,"start_pt is hidden from the screen — axes left the board."],[174.81408333333331,"slope is hidden from the screen — axes left the board."],[174.81408333333331,"head_ic is hidden from the screen — left the board."],[174.81408333333331,"ic is hidden from the screen — left the board."]]}]},{"title":"Lo smorzamento e i tre regimi","start":175.85574999999994,"end":332.87802083333327,"objects":{"analog":"a Table [text] that says \"Meccanico Elettrico massa $m$ induttanza $L$ attrito $c$ resistenza $R$ molla $k$ $1 slash C$ spostamento $x$ carica $q$\" (rows=(('Meccanico', 'Elettrico'), ('massa $m$', 'induttanza $L$'), (…, header=True)","axes":"an Axes (x_range=(0.0, 12.0), y_range=(-1.2, 1.2), x_label='t')","crit_c":"a FunctionPlot [green] drawn in axes (function=<function>)","damp_work":"a Derivation [text] that says \"$m dot.double(x) &= -k x - c dot(x) \\ dot.double(x) + 2 gamma dot(x) + omega_0^2 x &= 0, quad gamma = frac(c, 2 m) \\ lambda^2 + 2 gamma lambda + omega_0^2 &= 0 \\ lambda_(plus.minus) &= -gamma plus.minus sqrt(gamma^2 - omega_0^2)$\"","energy":"a Math [text] that says \"$E(t) = E_0 e^(-2 gamma t), quad tau = frac(1, 2 gamma)$\"","env_dn":"a FunctionPlot [gray] drawn in axes (function=<function>)","env_up":"a FunctionPlot [gray] drawn in axes (function=<function>)","head_damp":"a Heading that says \"Lo smorzamento viscoso\"","head_reg":"a Heading that says \"I tre regimi\"","head_rlc":"a Heading that says \"L'analogia elettromeccanica\"","over_c":"a FunctionPlot [red] drawn in axes (function=<function>)","point":"a Point [yellow] drawn in axes (location=(8.0, 0.2611386518972135))","point_2":"a Point [yellow] drawn in axes (location=(5.0, 0.3754653823876065))","q_eq":"a Math [text] that says \"$L dot.double(q) + R dot(q) + frac(q, C) = 0$\"","q_par":"a Math [text] that says \"$omega_0 = frac(1, sqrt(L C)), quad gamma = frac(R, 2 L)$\"","regimes":"a Table [text] that says \"Regime Condizione Soluzione sovrasmorzato $gamma > omega_0$ $C_1 e^(lambda_+ t) + C_2 e^(lambda_- t)$ critico $gamma = omega_0$ $(C_1 + C_2 t) e^(-gamma t)$ sottosmorzato $gamma < omega_0$ $A_0 e^(-gamma t) cos(omega_1 t + phi)$\" (rows=(('Regime', 'Condizione', 'Soluzione'), ('sovrasmorzato', '$gam…, header=True)","under_c":"a FunctionPlot [blue] drawn in axes (function=<function>)","w1_line":"a Math [text] that says \"$omega_1 = sqrt(omega_0^2 - gamma^2) < omega_0$\""},"beats":[{"start":175.85574999999994,"say":"Nessuna molla reale oscilla per sempre. Aggiungiamo una forza di attrito viscoso, proporzionale alla velocità e opposta ad essa: meno c per x punto.","live":[],"does":[[175.85574999999994,"head_damp is shown on the screen, written out."],[180.45574999999994,"damp_work is shown on the screen, written out."]]},{"start":186.21324999999993,"say":"Dividendo per m, conviene chiamare due gamma il rapporto c su m. Gamma è il parametro di smorzamento, e ha anch'esso le dimensioni di una frequenza.","live":["head_damp"],"does":[[186.45574999999994,"damp_work is shown on the screen, written out."],[191.49574999999993,"damp_work (the \"gamma = frac(c, 2 m)\" part) is indicated — a transient flash."]]},{"start":195.79824999999994,"say":"Cerchiamo soluzioni esponenziali, x uguale a e alla lambda t. Ogni derivata porta giù un fattore lambda, l'esponenziale si semplifica, e resta un'equazione di secondo grado: l'equazione caratteristica.","live":null,"does":[[205.85574999999994,"damp_work is shown on the screen, written out."]]},{"start":208.68324999999993,"say":"Le sue radici sono meno gamma più o meno la radice di gamma quadro meno omega zero quadro. Tutto dipende dal segno del discriminante, e questo segno separa tre regimi.","live":null,"does":[[209.25574999999995,"damp_work is shown on the screen, written out."],[215.33574999999993,"damp_work (the \"gamma^2 - omega_0^2\" part) is indicated — a transient flash."],[218.86074999999994,"damp_work is hidden from the screen — left the board."],[218.86074999999994,"head_damp is hidden from the screen — left the board."]]},{"start":220.06074999999993,"say":"Fissiamo omega zero uguale a uno e lasciamo la massa ferma, con spostamento unitario. Se gamma supera omega zero, le radici sono reali e negative: è il regime sovrasmorzato, la curva rossa.","live":[],"does":[[220.06074999999993,"head_reg is shown on the screen, written out."],[220.06074999999993,"axes is shown on the screen, written out."],[220.06074999999993,"regimes is shown on the screen, written out."],[229.65574999999993,"over_c is shown on the screen, written out."],[229.65574999999993,"regimes is shown on the screen, written out."]]},{"start":232.34324999999995,"say":"La massa torna all'equilibrio senza oscillare, ma lentamente, perché a lungo andare domina la radice più piccola in modulo. È il comportamento richiesto a un ammortizzatore: dopo una buca, la ruota non deve rimbalzare.","live":["axes","head_reg","over_c"],"does":[[235.21574999999993,"point is shown on the screen, grown."],[237.32169521596248,"point is hidden from the screen."]]},{"start":245.05074999999994,"say":"Per gamma uguale a omega zero le due radici coincidono, e la seconda soluzione indipendente è t per l'esponenziale. È lo smorzamento critico, la curva verde: il ritorno più rapido possibile senza oscillazioni.","live":null,"does":[[253.01574999999994,"crit_c is shown on the screen, written out."],[253.01574999999994,"regimes is shown on the screen, written out."]]},{"start":258.4432499999999,"say":"Per gamma minore di omega zero, infine, le radici sono complesse coniugate, e la soluzione oscilla dentro un inviluppo esponenziale: è il regime sottosmorzato, la curva blu.","live":["axes","head_reg","over_c","crit_c"],"does":[[264.73574999999994,"env_up is shown on the screen, written out."],[264.73574999999994,"env_dn is shown on the screen, written out."],[267.05575,"under_c is shown on the screen, written out."],[267.05575,"regimes is shown on the screen, written out."]]},{"start":269.59324999999995,"say":"La pseudo pulsazione è omega uno, radice di omega zero quadro meno gamma quadro, sempre minore di omega zero: lo smorzamento non solo spegne l'oscillazione, ma la rallenta. Intanto l'ampiezza decade come A zero per e alla meno gamma t.","live":["axes","head_reg","over_c","crit_c","env_up","env_dn","under_c"],"does":[[269.97574999999995,"w1_line is shown on the screen, written out."],[281.73574999999994,"point_2 is shown on the screen, grown."],[284.22791374269,"point_2 is hidden from the screen."]]},{"start":285.54324999999994,"say":"E l'energia? Essendo quadratica nell'ampiezza, decade con esponente doppio, come e alla meno due gamma t, con costante di tempo tau uguale a uno su due gamma.","live":["w1_line","axes","head_reg","over_c","crit_c","env_up","env_dn","under_c"],"does":[[287.21574999999996,"energy is shown on the screen, written out."],[295.7082499999999,"axes is hidden from the screen — left the board."],[295.7082499999999,"over_c is hidden from the screen — axes left the board."],[295.7082499999999,"crit_c is hidden from the screen — axes left the board."],[295.7082499999999,"env_up is hidden from the screen — axes left the board."],[295.7082499999999,"env_dn is hidden from the screen — axes left the board."],[295.7082499999999,"under_c is hidden from the screen — axes left the board."],[295.7082499999999,"energy is hidden from the screen — left the board."],[295.7082499999999,"head_reg is hidden from the screen — left the board."],[295.7082499999999,"regimes is hidden from the screen — left the board."],[295.7082499999999,"w1_line is hidden from the screen — left the board."]]},{"start":296.90824999999995,"say":"Lo stesso schema compare in un circuito erre elle ci in serie, senza generatore e con il condensatore inizialmente carico. Sommando le cadute di tensione lungo la maglia, per la carica q si trova questa equazione.","live":[],"does":[[296.90824999999995,"head_rlc is shown on the screen, written out."],[306.01574999999997,"q_eq is shown on the screen, written out."]]},{"start":309.55074999999994,"say":"Il confronto termine a termine è immediato. L'induttanza gioca il ruolo della massa, la resistenza quello dell'attrito viscoso, e l'inverso della capacità quello della costante elastica.","live":["q_eq","head_rlc"],"does":[[309.89575,"analog is shown on the screen, written out."],[313.81575,"analog is shown on the screen, written out."],[314.53575,"analog is shown on the screen, written out."],[316.77575,"analog is shown on the screen, written out."]]},{"start":320.38325,"say":"La carica fa le veci dello spostamento. Ne seguono omega zero uguale a uno su radice di L C e gamma uguale a R su due L: stessi tre regimi, stesse formule.","live":null,"does":[[320.73575000000005,"analog is shown on the screen, written out."],[323.13575000000003,"q_par is shown on the screen, written out."],[331.8363541666666,"analog is hidden from the screen — left the board."],[331.8363541666666,"head_rlc is hidden from the screen — left the board."],[331.8363541666666,"q_eq is hidden from the screen — left the board."],[331.8363541666666,"q_par is hidden from the screen — left the board."]]}]},{"title":"Oscillazioni forzate e risonanza","start":332.87802083333327,"end":466.1574374999999,"objects":{"forced":"a Derivation [text] that says \"$dot.double(x) + 2 gamma dot(x) + omega_0^2 x &= frac(F_0, m) cos(omega t) \\ x(t) &= x_h (t) + x_p (t) \\ x_p (t) &= A(omega) cos(omega t - delta)$\"","g0":"a Math [text] that says \"$A(omega) = frac(F_0, m sqrt((omega_0^2 - omega^2)^2 + 4 gamma^2 omega^2))$\"","g1":"a Math [text] that says \"$tan delta = frac(2 gamma omega, omega_0^2 - omega^2)$\"","g2":"a Math [text] that says \"$A_(upright(\"max\")) approx frac(F_0, 2 m gamma omega_0) quad (gamma << omega_0)$\"","head_forced":"a Heading that says \"Una forzante periodica\"","head_res":"a Heading that says \"La curva di risonanza\"","perm":"a FunctionPlot [yellow] drawn in tr_axes (function=<function>)","probe":"a PlotPoint [yellow] drawn in res_axes (target='res1', x=<VariableNumber w = 1.8>)","res1":"a FunctionPlot [blue] drawn in res_axes (function=<function>)","res2":"a FunctionPlot [red] drawn in res_axes (function=<function>)","res_axes":"an Axes (x_range=(0.0, 2.2), y_range=(0.0, 5.6), x_label='omega')","tr_axes":"an Axes (x_range=(0.0, 40.0), y_range=(-1.1, 1.1), x_label='t')","trans":"a FunctionPlot [blue] drawn in tr_axes (function=<function>)","w":"a VariableNumber (initial_value=0.3)"},"beats":[{"start":332.87802083333327,"say":"Lo smorzamento spegne ogni oscillazione libera. Per mantenerla serve una forza esterna periodica, per esempio una biella mossa da una ruota che gira a pulsazione omega: F zero per il coseno di omega t.","live":[],"does":[[332.87802083333327,"head_forced is shown on the screen, written out."],[340.15802083333324,"forced is shown on the screen, written out."]]},{"start":346.58302083333325,"say":"L'equazione diventa non omogenea. Per la linearità, la soluzione generale è la somma di due pezzi: la soluzione generale dell'omogenea, che già conosciamo, più una qualsiasi soluzione particolare.","live":["head_forced"],"does":[[352.03802083333323,"forced is shown on the screen, written out."]]},{"start":359.95052083333326,"say":"Guardiamo cosa succede partendo da fermi. Nei primi istanti si mescolano due moti, alla pulsazione propria e a quella della forzante: è il regime transiente.","live":null,"does":[[360.2380208333333,"tr_axes is shown on the screen, written out."],[363.9180208333333,"trans is shown on the screen, written out."]]},{"start":370.21552083333324,"say":"Ma il pezzo omogeneo porta il fattore e alla meno gamma t. Dopo qualche multiplo di uno su gamma è svanito, e resta il regime permanente, la curva gialla: una oscillazione alla sola pulsazione omega imposta dall'esterno.","live":["tr_axes","head_forced","trans"],"does":[[377.87802083333327,"perm is shown on the screen, written out."]]},{"start":384.44052083333327,"say":"Cerchiamo quindi la soluzione particolare nella forma A di omega per il coseno di omega t meno delta. Sostituendo, e uguagliando separatamente i termini in seno e in coseno, si ottengono ampiezza e sfasamento.","live":["tr_axes","head_forced","trans","perm"],"does":[[387.03802083333323,"forced is shown on the screen, written out."],[397.49802083333327,"forced is hidden from the screen — left the board."],[397.49802083333327,"head_forced is hidden from the screen — left the board."],[397.49802083333327,"tr_axes is hidden from the screen — left the board."],[397.49802083333327,"trans is hidden from the screen — tr_axes left the board."],[397.49802083333327,"perm is hidden from the screen — tr_axes left the board."]]},{"start":398.69802083333326,"say":"Ecco il risultato. L'ampiezza è F zero su m, diviso la radice di omega zero quadro meno omega quadro, al quadrato, più quattro gamma quadro omega quadro.","live":[],"does":[[398.69802083333326,"head_res is shown on the screen, written out."],[399.27802083333324,"g0 is shown on the screen, written out."]]},{"start":410.5580208333333,"say":"Disegniamola in funzione di omega, con omega zero uguale a uno: la curva blu con smorzamento debole, la curva rossa con smorzamento più forte.","live":["g0","head_res"],"does":[[410.83802083333325,"res_axes is shown on the screen, written out."],[416.1180208333333,"res1 is shown on the screen, written out."],[418.51802083333325,"res2 is shown on the screen, written out."]]},{"start":419.78052083333324,"say":"Ora facciamo scorrere la pulsazione della forzante. A bassa frequenza la massa segue la forza quasi staticamente, con ampiezza vicina a quella statica. Avvicinandoci a omega zero, l'ampiezza cresce bruscamente.","live":["g0","res_axes","head_res","res1","res2"],"does":[[420.7980208333333,"probe is shown on the screen, written out."],[423.39802083333325,"probe is redrawn as the numbers it depends on change."],[423.39802083333325,"w ticks to 0.6."],[429.43802083333327,"probe is redrawn as the numbers it depends on change."],[429.43802083333327,"w ticks to 0.99."]]},{"start":433.71552083333324,"say":"Questa è la risonanza. Con poco smorzamento il picco è alto e stretto, circa F zero su due m gamma omega zero, e il suo massimo cade appena sotto omega zero.","live":["g0","res_axes","head_res","res1","res2","probe"],"does":[[437.2380208333333,"g2 is shown on the screen, written out."]]},{"start":445.76552083333326,"say":"Superata la risonanza, la massa non riesce più a seguire la forza, e l'ampiezza crolla.","live":["g0","g2","res_axes","head_res","res1","res2","probe"],"does":[[446.0780208333333,"probe is redrawn as the numbers it depends on change."],[446.0780208333333,"w ticks to 1.8."]]},{"start":451.73052083333323,"say":"Anche la fase racconta la stessa storia. La tangente di delta cambia segno attraversando omega zero: lo spostamento passa dall'essere in fase con la forza all'essere in opposizione, e proprio alla risonanza è in quadratura.","live":null,"does":[[452.3980208333333,"g1 is shown on the screen, written out."],[465.1157708333333,"g0 is hidden from the screen — left the board."],[465.1157708333333,"g1 is hidden from the screen — left the board."],[465.1157708333333,"g2 is hidden from the screen — left the board."],[465.1157708333333,"head_res is hidden from the screen — left the board."],[465.1157708333333,"res_axes is hidden from the screen — left the board."],[465.1157708333333,"res1 is hidden from the screen — res_axes left the board."],[465.1157708333333,"res2 is hidden from the screen — res_axes left the board."],[465.1157708333333,"probe is hidden from the screen — res_axes left the board."]]}]},{"title":"Dalle proprietà elastiche all'equazione d'onda","start":466.1574374999999,"end":645.0433958333332,"objects":{"bar":"a Polygon [gray] drawn in bar_fig (vertices=((1.5, 1.5), (9.5, 1.5), (9.5, 2.5), (1.5, 2.5)), fill_opacity=0.25)","bar_fig":"a Figure (x_range=(0.0, 10.0), y_range=(0.0, 4.0), aspect=(10.0, 4.0))","disp":"a Vector [green] labelled \"s(x, t)\" drawn in bar_fig (start=(4.5, 3.1), end=(5.2, 3.1))","elem":"a Polygon [red] labelled \"dif m\" drawn in bar_fig (vertices=((4.5, 1.5), (5.5, 1.5), (5.5, 2.5), (4.5, 2.5)), fill_opacity=0.5)","f_left":"a Vector [blue] labelled \"-F(x)\" drawn in bar_fig (start=(4.5, 2.0), end=(3.1, 2.0))","f_right":"a Vector [blue] labelled \"F(x + dif x)\" drawn in bar_fig (start=(5.5, 2.0), end=(6.9, 2.0))","general":"a Math [text] that says \"$s(x, t) = f(x - v t) + g(x + v t)$\"","h0":"a Math [text] that says \"$F(x, t) = E S frac(partial s, partial x)$\"","h1":"a Math [text] that says \"$dif m = rho S dif x$\"","h2":"a Math [text] that says \"$dif F = frac(partial F, partial x) dif x = E S frac(partial^2 s, partial x^2) dif x$\"","h3":"a Math [text] that says \"$rho S dif x frac(partial^2 s, partial t^2) = E S frac(partial^2 s, partial x^2) dif x$\"","h4":"a Math [text] that says \"$frac(partial^2 s, partial x^2) - frac(rho, E) frac(partial^2 s, partial t^2) = 0$\"","h5":"a Math [text] that says \"$v = sqrt(frac(E, rho))$\"","hammer":"a Vector [yellow] labelled \"upright(\"colpo\")\" drawn in bar_fig (start=(0.1, 2.0), end=(1.4, 2.0))","head_bar":"a Heading that says \"Il volumetto della sbarra\"","head_wave":"a Heading that says \"L'equazione di d'Alembert\"","head_young":"a Heading that says \"Sforzo, deformazione, modulo di Young\"","speeds":"a Table [text] that says \"Materiale $v$ (m/s) alluminio 5100 ferro 5000 rame 3700 piombo 1200\" (rows=(('Materiale', '$v$ (m/s)'), ('alluminio', '5100'), ('ferro', '…, header=True)","width":"a Line [gray] labelled \"dif x\" drawn in bar_fig (start=(4.5, 1.1), end=(5.5, 1.1))","y0":"a Math [text] that says \"$sigma = frac(F, S)$\"","y1":"a Math [text] that says \"$epsilon = frac(Delta L, L)$\"","y2":"a Math [text] that says \"$E = frac(sigma, epsilon)$\"","young":"a Table [text] that says \"Materiale $E$ (GPa) acciaio, ferro 200 alluminio 70 rame 120 piombo 16 gomma circa 0,01\" (rows=(('Materiale', '$E$ (GPa)'), ('acciaio, ferro', '200'), ('allum…, header=True)"},"beats":[{"start":466.1574374999999,"say":"Lasciamo il punto materiale e passiamo a un mezzo continuo. Prima, però, ci serve una legge costitutiva: come risponde un solido quando lo tiriamo.","live":[],"does":[[466.1574374999999,"head_young is shown on the screen, written out."]]},{"start":475.8899374999999,"say":"Prendiamo una barra di lunghezza L e sezione S, tirata da una forza F. Il carico specifico, o sforzo, è sigma uguale a F su S. L'allungamento relativo, o deformazione, è epsilon uguale a delta L su L.","live":["head_young"],"does":[[482.5174374999999,"y0 is shown on the screen, written out."],[487.7174374999999,"y1 is shown on the screen, written out."]]},{"start":492.2574374999999,"say":"Per piccole deformazioni le due grandezze sono proporzionali: è la legge di Hooke, e la costante di proporzionalità è il modulo di Young E, che si misura come una pressione.","live":["y0","y1","head_young"],"does":[[494.8774374999999,"y2 is shown on the screen, written out."]]},{"start":502.9474374999999,"say":"Qualche valore dà le proporzioni. Acciaio e ferro stanno attorno a duecento gigapascal, alluminio a settanta, rame a centoventi, piombo a sedici. La gomma, invece, è circa ventimila volte più cedevole.","live":["y0","y1","y2","head_young"],"does":[[503.4774374999999,"young is shown on the screen, written out."],[505.2374374999999,"young is shown on the screen, written out."],[508.6774374999999,"young is shown on the screen, written out."],[510.1974374999999,"young is shown on the screen, written out."],[511.5974374999999,"young is shown on the screen, written out."],[513.2374374999999,"young is shown on the screen, written out."],[516.5849374999999,"head_young is hidden from the screen — left the board."],[516.5849374999999,"y0 is hidden from the screen — left the board."],[516.5849374999999,"y1 is hidden from the screen — left the board."],[516.5849374999999,"y2 is hidden from the screen — left the board."],[516.5849374999999,"young is hidden from the screen — left the board."]]},{"start":517.7849374999998,"say":"Ora una sbarra lunga, di densità rho, sezione S e modulo E, colpita a un estremo da un martelletto. Il colpo comprime lo strato vicino, che spinge il successivo: una perturbazione comincia a viaggiare lungo la sbarra.","live":[],"does":[[517.7849374999998,"head_bar is shown on the screen, written out."],[517.7849374999998,"bar_fig is shown on the screen, written out."],[518.5174374999999,"bar is shown on the screen, written out."],[524.0774374999999,"hammer is shown on the screen, written out."]]},{"start":532.3149374999999,"say":"Chiamiamo s di x e t lo spostamento della sezione che a riposo si trova in x. Uno spostamento uniforme non deforma nulla: conta quanto lo spostamento varia da una sezione alla successiva.","live":["bar_fig","head_bar","bar","hammer"],"does":[[534.7974374999999,"disp is shown on the screen, written out."]]},{"start":545.0174374999999,"say":"La deformazione locale è quindi la derivata parziale di s rispetto a x, e per la legge di Hooke la forza interna attraverso la sezione in x vale E S per questa derivata.","live":["bar_fig","head_bar","bar","hammer","disp"],"does":[[550.4374374999999,"bar_fig moves to a new place on the board."],[550.4374374999999,"h0 is shown on the screen, written out."]]},{"start":556.2999374999999,"say":"Isoliamo un volumetto compreso fra x e x più d x. La sua massa è d m uguale a rho S d x.","live":["h0","bar_fig","head_bar","bar","hammer","disp"],"does":[[557.1574374999999,"elem is shown on the screen, written out."],[557.4889858119906,"width is shown on the screen, written out."],[560.9574375,"h1 is shown on the screen, written out."]]},{"start":564.7599374999999,"say":"Sulla faccia sinistra agisce meno F di x, sulla destra F di x più d x. La risultante è la loro differenza, cioè la derivata di F per d x: E S per la derivata seconda di s rispetto a x, per d x.","live":["h0","h1","bar_fig","head_bar","bar","hammer","disp","elem","width"],"does":[[565.4774375,"f_left is shown on the screen, written out."],[568.1174374999999,"f_right is shown on the screen, written out."],[570.7574374999999,"h2 is shown on the screen, written out."]]},{"start":579.7349374999999,"say":"Il secondo principio chiede d m per l'accelerazione uguale a questa forza, e l'accelerazione della sezione è la derivata seconda di s rispetto al tempo.","live":["h0","h1","h2","bar_fig","head_bar","bar","hammer","disp","elem","width","f_left","f_right"],"does":[[580.2374374999999,"h3 is shown on the screen, written out."],[588.9074374999999,"h3 moves to a new place on the board."],[588.9074374999999,"bar_fig is hidden from the screen — left the board."],[588.9074374999999,"bar is hidden from the screen — bar_fig left the board."],[588.9074374999999,"hammer is hidden from the screen — bar_fig left the board."],[588.9074374999999,"disp is hidden from the screen — bar_fig left the board."],[588.9074374999999,"elem is hidden from the screen — bar_fig left the board."],[588.9074374999999,"width is hidden from the screen — bar_fig left the board."],[588.9074374999999,"f_left is hidden from the screen — bar_fig left the board."],[588.9074374999999,"f_right is hidden from the screen — bar_fig left the board."],[588.9074374999999,"h0 is hidden from the screen — left the board."],[588.9074374999999,"h1 is hidden from the screen — left the board."],[588.9074374999999,"h2 is hidden from the screen — left the board."],[588.9074374999999,"head_bar is hidden from the screen — left the board."]]},{"start":590.1074374999998,"say":"Semplifichiamo S e d x, che compaiono da entrambe le parti, e portiamo tutto a sinistra. Ecco l'equazione di d'Alembert, con il coefficiente rho su E davanti alla derivata temporale.","live":["h3"],"does":[[590.1074374999998,"head_wave is shown on the screen, written out."],[596.0774374999999,"h4 is shown on the screen, written out."]]},{"start":601.8549374999999,"say":"Confrontando con la forma promessa all'inizio, rho su E deve valere uno su v quadro: la velocità delle onde longitudinali nella sbarra è la radice di E su rho.","live":["h3","h4","head_wave"],"does":[[609.9574375,"h5 is shown on the screen, written out."]]},{"start":612.0649374999999,"say":"Rigidità e inerzia competono: un mezzo rigido e leggero trasmette in fretta. Per alluminio e ferro si superano i cinquemila metri al secondo, per il rame circa tremilasettecento, per il piombo appena milleduecento.","live":["h3","h4","h5","head_wave"],"does":[[613.6774375,"speeds is shown on the screen, written out."],[617.7574374999999,"speeds is shown on the screen, written out."],[618.3174375,"speeds is shown on the screen, written out."],[621.6374374999999,"speeds is shown on the screen, written out."],[623.8374375,"speeds is shown on the screen, written out."]]},{"start":626.4899374999999,"say":"Infine la soluzione generale: qualunque profilo che trasli rigidamente verso destra o verso sinistra con velocità v soddisfa l'equazione. E derivando la legge di Hooke si vede che anche la forza interna, cioè l'onda di pressione, obbedisce alla stessa equazione con la stessa velocità.","live":null,"does":[[627.8774374999999,"general is shown on the screen, written out."],[639.8774374999999,"A box is drawn around general."],[644.0017291666666,"general is hidden from the screen — left the board."],[644.0017291666666,"h3 is hidden from the screen — left the board."],[644.0017291666666,"h4 is hidden from the screen — left the board."],[644.0017291666666,"h5 is hidden from the screen — left the board."],[644.0017291666666,"head_wave is hidden from the screen — left the board."],[644.0017291666666,"speeds is hidden from the screen — left the board."]]}]},{"title":"Onde armoniche e analisi di Fourier","start":645.0433958333332,"end":799.6909791666665,"objects":{"f_axes":"an Axes (x_range=(0.0, 6.3), y_range=(-1.5, 1.5), x_label='t')","fs0":"a Math [text] that says \"$f(t) = frac(a_0, 2) + sum_(n=1)^oo [a_n cos(n omega t) + b_n sin(n omega t)]$\"","fs1":"a Math [text] that says \"$b_n = frac(2, T) integral_0^T f(t) sin(n omega t) dif t$\"","fs2":"a Math [text] that says \"$b_n = frac(4, n pi) quad n upright(\"dispari\")$\"","ft0":"a Math [text] that says \"$f(t) = integral_(-oo)^(+oo) tilde(f)(omega) e^(i omega t) dif omega$\"","ft1":"a Math [text] that says \"$tilde(f)(omega) = frac(1, 2 pi) integral_(-oo)^(+oo) f(t) e^(-i omega t) dif t$\"","gauss":"a FunctionPlot [yellow] drawn in spec_axes (function=<function>)","head_four":"a Heading that says \"La serie di Fourier\"","head_ft":"a Heading that says \"La trasformata di Fourier\"","head_harm":"a Heading that says \"L'onda armonica progressiva\"","lam_line":"a Line [green] labelled \"lambda\" drawn in wave_axes (start=(3.141592653589793, -1.3), end=(9.42477796076938, -1.3))","lines":"a Line [red] drawn in spec_axes (start=(1, 0.0), end=(1, 1.2732395447351628))","lines_2":"a Line [red] drawn in spec_axes (start=(3, 0.0), end=(3, 0.4244131815783876))","lines_3":"a Line [red] drawn in spec_axes (start=(5, 0.0), end=(5, 0.25464790894703254))","lines_4":"a Line [red] drawn in spec_axes (start=(7, 0.0), end=(7, 0.18189136353359467))","lines_5":"a Line [red] drawn in spec_axes (start=(9, 0.0), end=(9, 0.1414710605261292))","point":"a Point [yellow] drawn in f_axes (location=(0.2, 1.18))","point_2":"a Point [yellow] drawn in spec_axes (location=(5.0, 1.2))","s1":"a FunctionPlot [blue] drawn in f_axes (function=<function>)","s3":"a FunctionPlot [blue] drawn in f_axes (function=<function>)","s8":"a FunctionPlot [blue] drawn in f_axes (function=<function>)","shift":"a Vector [yellow] labelled \"v Delta t\" drawn in wave_axes (start=(6.283185307179586, 1.2), end=(7.483185307179586, 1.2))","snap0":"a FunctionPlot [gray] drawn in wave_axes (function=<function>)","snap1":"a FunctionPlot [blue] drawn in wave_axes (function=<function>)","spec_axes":"an Axes (x_range=(0.0, 10.0), y_range=(0.0, 1.5), x_label='omega')","w0":"a Math [text] that says \"$y(x, t) = A cos(k x - omega t)$\"","w1":"a Math [text] that says \"$lambda = frac(2 pi, k), quad T = frac(2 pi, omega)$\"","w2":"a Math [text] that says \"$v = frac(omega, k) = frac(lambda, T)$\"","wave_axes":"an Axes (x_range=(0.0, 12.6), y_range=(-1.6, 1.6))"},"beats":[{"start":645.0433958333332,"say":"Ora che sappiamo che un profilo qualsiasi trasla con velocità v, scegliamone uno particolare, il più importante: il coseno. È l'onda armonica progressiva, y uguale ad A per il coseno di k x meno omega t.","live":[],"does":[[645.0433958333332,"head_harm is shown on the screen, written out."],[649.7633958333332,"wave_axes is shown on the screen, written out."],[652.2433958333332,"snap0 is shown on the screen, written out."],[654.4433958333332,"wave_axes moves to a new place on the board."],[654.4433958333332,"w0 is shown on the screen, written out."]]},{"start":660.1458958333332,"say":"A tempo fissato è una sinusoide nello spazio: si ripete dopo una lunghezza d'onda lambda, e k, il numero d'onda, vale due pi greco su lambda. In un punto fissato, invece, oscilla nel tempo con periodo T uguale a due pi greco su omega.","live":["w0","wave_axes","head_harm","snap0"],"does":[[663.8033958333332,"lam_line is shown on the screen, written out."],[666.8433958333331,"w1 is shown on the screen, written out."]]},{"start":676.5133958333332,"say":"Dopo un piccolo intervallo delta t, la curva blu, ogni cresta si è spostata di v delta t. Una cresta è un punto di fase costante: imponendo k x meno omega t costante si trova v uguale a omega su k, cioè lambda su T.","live":["w0","w1","wave_axes","head_harm","snap0","lam_line"],"does":[[677.6833958333332,"snap1 is shown on the screen, written out."],[681.0433958333332,"shift is shown on the screen, written out."],[685.6833958333332,"w2 is shown on the screen, written out."],[692.7933958333332,"head_harm is hidden from the screen — left the board."],[692.7933958333332,"w0 is hidden from the screen — left the board."],[692.7933958333332,"w1 is hidden from the screen — left the board."],[692.7933958333332,"w2 is hidden from the screen — left the board."],[692.7933958333332,"wave_axes is hidden from the screen — left the board."],[692.7933958333332,"snap0 is hidden from the screen — wave_axes left the board."],[692.7933958333332,"lam_line is hidden from the screen — wave_axes left the board."],[692.7933958333332,"snap1 is hidden from the screen — wave_axes left the board."],[692.7933958333332,"shift is hidden from the screen — wave_axes left the board."]]},{"start":693.9933958333332,"say":"Perché proprio il coseno? Perché l'equazione è lineare, e Fourier ci dice che ogni segnale periodico di periodo T è una somma di armoniche: la fondamentale omega e i suoi multipli interi.","live":[],"does":[[693.9933958333332,"head_four is shown on the screen, written out."],[701.8433958333331,"fs0 is shown on the screen, written out."]]},{"start":706.5928958333332,"say":"I coefficienti si ottengono proiettando il segnale su ciascuna armonica, cioè integrando su un periodo il prodotto con il seno o il coseno corrispondente. Per un'onda quadra sopravvivono solo i seni dispari, con ampiezza quattro su n pi greco.","live":["fs0","head_four"],"does":[[708.5233958333332,"fs1 is shown on the screen, written out."],[716.7633958333332,"fs2 is shown on the screen, written out."]]},{"start":722.1158958333332,"say":"Vediamolo. La sola fondamentale è una sinusoide grossolana, che dell'onda quadra ricorda appena il segno. Aggiungendo la terza e la quinta armonica, gli spigoli cominciano a formarsi. Con molti termini la somma riproduce l'onda quadra, salvo un piccolo eccesso vicino ai salti: il fenomeno di Gibbs.","live":["fs0","fs1","fs2","head_four"],"does":[[722.3233958333332,"f_axes is shown on the screen, written out."],[723.8433958333333,"s1 is shown on the screen, written out."],[729.2033958333332,"s1 is hidden from the screen."],[729.2033958333332,"s3 is shown on the screen, written out."],[733.9233958333332,"s3 is hidden from the screen."],[733.9233958333332,"s8 is shown on the screen, written out."],[739.6833958333332,"point is shown on the screen, grown."]]},{"start":740.8533958333333,"say":"E un sistema elastico, essendo lineare, risponde a ciascuna armonica separatamente: la risposta totale è la sovrapposizione delle singole risposte.","live":["fs0","fs1","fs2","f_axes","head_four","s8","point"],"does":[[742.0584561318407,"point is hidden from the screen."],[750.4183958333332,"f_axes is hidden from the screen — left the board."],[750.4183958333332,"s8 is hidden from the screen — f_axes left the board."],[750.4183958333332,"fs0 is hidden from the screen — left the board."],[750.4183958333332,"fs1 is hidden from the screen — left the board."],[750.4183958333332,"fs2 is hidden from the screen — left the board."],[750.4183958333332,"head_four is hidden from the screen — left the board."]]},{"start":751.6183958333332,"say":"Un segnale localizzato, come un singolo colpo, non è periodico. Pensiamolo periodico con un periodo che tende all'infinito: le armoniche discrete si infittiscono sempre di più, e la somma diventa un integrale.","live":[],"does":[[751.6183958333332,"head_ft is shown on the screen, written out."],[752.5633958333332,"spec_axes is shown on the screen, written out."],[759.3233958333333,"lines is shown on the screen, written out."],[759.4579669802278,"lines_2 is shown on the screen, written out."],[759.5925381271222,"lines_3 is shown on the screen, written out."],[759.7271092740168,"lines_4 is shown on the screen, written out."],[759.8637120417533,"lines_5 is shown on the screen, written out."],[763.4033958333332,"lines is hidden from the screen."],[763.4033958333332,"lines_2 is hidden from the screen."],[763.4033958333332,"lines_3 is hidden from the screen."],[763.4033958333332,"lines_4 is hidden from the screen."],[763.4033958333332,"lines_5 is hidden from the screen."],[763.4033958333332,"gauss is shown on the screen, written out."]]},{"start":764.8208958333332,"say":"Il segnale diventa l'integrale su tutte le pulsazioni di f tilde di omega per e alla i omega t. La funzione f tilde è la trasformata di Fourier, e si ottiene invertendo: uno su due pi greco per l'integrale di f di t per e alla meno i omega t.","live":["spec_axes","head_ft","gauss"],"does":[[764.8208958333332,"ft0 is shown on the screen, written out."],[773.6033958333333,"ft1 is shown on the screen, written out."]]},{"start":782.6308958333332,"say":"Tempo e pulsazione sono due descrizioni equivalenti dello stesso fenomeno: la trasformata ci porta nello spazio duale delle frequenze, dove leggiamo lo spettro della sollecitazione e capiamo a quali frequenze un sistema risponderà, per esempio vicino alla sua risonanza.","live":["ft0","ft1","spec_axes","head_ft","gauss"],"does":[[791.8033958333332,"point_2 is shown on the screen, grown."],[793.9159133381072,"point_2 is hidden from the screen."],[798.6493124999998,"ft0 is hidden from the screen — left the board."],[798.6493124999998,"ft1 is hidden from the screen — left the board."],[798.6493124999998,"head_ft is hidden from the screen — left the board."],[798.6493124999998,"spec_axes is hidden from the screen — left the board."],[798.6493124999998,"gauss is hidden from the screen — spec_axes left the board."]]}]},{"title":"Battimenti, pacchetti, Doppler e onde d'urto","start":799.6909791666665,"end":1036.9067291666665,"objects":{"b0":"a Math [text] that says \"$y = A cos(k_1 x - omega_1 t) + A cos(k_2 x - omega_2 t)$\"","b1":"a Math [text] that says \"$cos alpha + cos beta = 2 cos frac(alpha - beta, 2) cos frac(alpha + beta, 2)$\"","b2":"a Math [text] that says \"$y = 2 A cos(frac(Delta k, 2) x - frac(Delta omega, 2) t) cos(overline(k) x - overline(omega) t)$\"","b3":"a Math [text] that says \"$v_p = frac(overline(omega), overline(k)), quad v_g = frac(Delta omega, Delta k) arrow.r frac(dif omega, dif k)$\"","beat":"a FunctionPlot [blue] drawn in beat_axes (function=<function>)","beat_axes":"an Axes (x_range=(0.0, 12.6), y_range=(-2.3, 2.3), x_label='t')","cone_dn":"a Line [red] drawn in mach_fig (end=(-9.0, -5.196152422706632))","cone_up":"a Line [red] drawn in mach_fig (end=(-9.0, 5.196152422706632))","doppler":"a Table [text] that says \"Caso $nu_R$ (Hz) ricevitore a 124 km/h 550,7 sorgente a 124 km/h 556,4 entrambi a 62 km/h 553,4\" (rows=(('Caso', '$nu_R$ (Hz)'), ('ricevitore a 124 km/h', '550,7'), (…, header=True)","dp0":"a Math [text] that says \"$nu_R = frac(v plus.minus v_R, v minus.plus v_S) nu_S$\"","dx_line":"a Line [green] labelled \"Delta x\" drawn in pk_axes (start=(-1.5, -1.15), end=(1.5, -1.15))","env1":"a FunctionPlot [gray] drawn in beat_axes (function=<function>)","env2":"a FunctionPlot [gray] drawn in beat_axes (function=<function>)","fast":"a Circle [blue] drawn in mach_fig (center=(-2.0, 0.0))","fast_2":"a Circle [blue] drawn in mach_fig (center=(-4.0, 0.0), radius=2.0)","fast_3":"a Circle [blue] drawn in mach_fig (center=(-6.0, 0.0), radius=3.0)","fast_4":"a Circle [blue] drawn in mach_fig (center=(-8.0, 0.0), radius=4.0)","head_beat":"a Heading that says \"Battimenti\"","head_dop":"a Heading that says \"Effetto Doppler e cono di Mach\"","head_pack":"a Heading that says \"Pacchetti d'onda e indeterminazione\"","mach":"a Math [text] that says \"$sin theta = frac(v, v_S)$\"","mach_fig":"a Figure (x_range=(-12.5, 2.0), y_range=(-5.5, 5.5), aspect=(14.5, 11.0))","packet":"a FunctionPlot [blue] drawn in pk_axes (function=<function>)","penv1":"a FunctionPlot [gray] drawn in pk_axes (function=<function>)","penv2":"a FunctionPlot [gray] drawn in pk_axes (function=<function>)","pk_axes":"an Axes (x_range=(-6.0, 6.0), y_range=(-1.3, 1.3))","slow":"a Circle [blue] drawn in mach_fig (center=(-0.6, 0.0))","slow_2":"a Circle [blue] drawn in mach_fig (center=(-1.2, 0.0), radius=2.0)","slow_3":"a Circle [blue] drawn in mach_fig (center=(-1.7999999999999998, 0.0), radius=3.0)","slow_4":"a Circle [blue] drawn in mach_fig (center=(-2.4, 0.0), radius=4.0)","source":"a Point [yellow] labelled \"S\" drawn in mach_fig","u0":"a Math [text] that says \"$Delta x thin Delta k tilde.op 2 pi, quad Delta t thin Delta omega tilde.op 2 pi$\"","u1":"a Math [text] that says \"$E = h nu = frac(h, 2 pi) omega, quad p = frac(h, lambda) = frac(h, 2 pi) k$\"","u2":"a Math [text] that says \"$Delta x thin Delta p_x tilde.op h, quad Delta E thin Delta t tilde.op h$\""},"beats":[{"start":799.6909791666665,"say":"Sommiamo ora due onde armoniche della stessa ampiezza, con pulsazioni vicine: delta omega molto più piccolo della pulsazione media.","live":[],"does":[[799.6909791666665,"head_beat is shown on the screen, written out."],[799.6909791666665,"b0 is shown on the screen, written out."]]},{"start":808.7959791666665,"say":"Le formule di prostaferesi trasformano la somma di due coseni in un prodotto: due volte il coseno della semidifferenza per il coseno della semisomma degli argomenti.","live":["b0","head_beat"],"does":[[809.7309791666664,"b1 is shown on the screen, written out."]]},{"start":819.3409791666664,"say":"Applicate ai nostri argomenti, danno un'onda ad alta frequenza, la portante, alla pulsazione media omega segnato, moltiplicata per un fattore lento alla pulsazione delta omega mezzi.","live":["b0","b1","head_beat"],"does":[[819.5309791666665,"b2 is shown on the screen, written out."],[825.8509791666664,"b2 (the \"cos(overline(k) x - overline(omega) t)\" part) is indicated — a transient flash."]]},{"start":831.3534791666665,"say":"In un punto fissato, ecco il segnale: la portante blu oscilla rapidamente dentro l'inviluppo grigio, che sale e scende lentamente. L'intensità pulsa con la differenza delle frequenze: sono i battimenti che si sentono fra due corde quasi intonate.","live":["b0","b1","b2","head_beat"],"does":[[832.1309791666665,"beat_axes is shown on the screen, written out."],[834.3309791666665,"beat is shown on the screen, written out."],[836.5579791666664,"env1 is shown on the screen, written out."],[836.5579791666664,"env2 is shown on the screen, written out."]]},{"start":847.0659791666665,"say":"Portante e inviluppo non viaggiano necessariamente insieme. Le creste si muovono con la velocità di fase, omega medio su k medio. L'inviluppo, che trasporta energia e informazione, si muove con la velocità di gruppo, delta omega su delta k, che nel limite diventa d omega su d k.","live":["b0","b1","b2","beat_axes","head_beat","beat","env1","env2"],"does":[[852.9309791666665,"b3 is shown on the screen, written out."],[862.8109791666665,"b3 (the \"frac(dif omega, dif k)\" part) is indicated — a transient flash."]]},{"start":866.0509791666665,"say":"Se omega è proporzionale a k, il mezzo non è dispersivo e le due velocità coincidono, come nella nostra sbarra. In un mezzo dispersivo, invece, il gruppo può essere più lento o più veloce delle creste.","live":["b0","b1","b2","b3","beat_axes","head_beat","beat","env1","env2"],"does":[[878.4409791666665,"b0 is hidden from the screen — left the board."],[878.4409791666665,"b1 is hidden from the screen — left the board."],[878.4409791666665,"b2 is hidden from the screen — left the board."],[878.4409791666665,"b3 is hidden from the screen — left the board."],[878.4409791666665,"beat_axes is hidden from the screen — left the board."],[878.4409791666665,"beat is hidden from the screen — beat_axes left the board."],[878.4409791666665,"env1 is hidden from the screen — beat_axes left the board."],[878.4409791666665,"env2 is hidden from the screen — beat_axes left the board."],[878.4409791666665,"head_beat is hidden from the screen — left the board."]]},{"start":879.6409791666665,"say":"Sommando non due, ma un continuo di onde con numeri d'onda distribuiti in una banda delta k, si ottiene un pacchetto: una perturbazione localizzata, larga circa delta x.","live":[],"does":[[879.6409791666665,"head_pack is shown on the screen, written out."],[879.8909791666665,"pk_axes is shown on the screen, written out."],[886.1309791666665,"packet is shown on the screen, written out."],[887.1709791666665,"penv1 is shown on the screen, written out."],[887.1709791666665,"penv2 is shown on the screen, written out."],[888.8109791666665,"dx_line is shown on the screen, written out."]]},{"start":891.1959791666665,"say":"Il prezzo della localizzazione sta nella trasformata di Fourier: più il pacchetto è stretto nello spazio, più è largo il suo spettro. Vale delta x per delta k dell'ordine di due pi greco, e analogamente delta t per delta omega.","live":["pk_axes","head_pack","packet","penv1","penv2","dx_line"],"does":[[899.0909791666664,"pk_axes moves to a new place on the board."],[899.0909791666664,"u0 is shown on the screen, written out."]]},{"start":906.0184791666665,"say":"Questo è un fatto puramente classico. Ma ora usiamo le relazioni di Planck e de Broglie: l'energia è h nu, cioè h su due pi greco per omega, e la quantità di moto è h su lambda, cioè h su due pi greco per k.","live":["u0","pk_axes","head_pack","packet","penv1","penv2","dx_line"],"does":[[910.4509791666665,"u1 is shown on the screen, written out."]]},{"start":921.0509791666665,"say":"Moltiplicando la relazione classica per h su due pi greco, delta x per delta p diventa dell'ordine di h, e lo stesso vale per energia e tempo. È il principio di indeterminazione di Heisenberg, che nella forma rigorosa, per le deviazioni standard, dà almeno h su quattro pi greco.","live":["u0","u1","pk_axes","head_pack","packet","penv1","penv2","dx_line"],"does":[[921.2909791666665,"u2 is shown on the screen, written out."],[932.4909791666665,"A box is drawn around u2."],[938.5434791666664,"head_pack is hidden from the screen — left the board."],[938.5434791666664,"pk_axes is hidden from the screen — left the board."],[938.5434791666664,"packet is hidden from the screen — pk_axes left the board."],[938.5434791666664,"penv1 is hidden from the screen — pk_axes left the board."],[938.5434791666664,"penv2 is hidden from the screen — pk_axes left the board."],[938.5434791666664,"dx_line is hidden from the screen — pk_axes left the board."],[938.5434791666664,"u0 is hidden from the screen — left the board."],[938.5434791666664,"u1 is hidden from the screen — left the board."],[938.5434791666664,"u2 is hidden from the screen — left the board."]]},{"start":939.7434791666665,"say":"Ultimo fenomeno: l'effetto Doppler. Una sorgente in moto emette fronti d'onda sferici a frequenza nu S. Se si muove più lentamente del suono, i fronti si addensano davanti a lei e si diradano dietro.","live":[],"does":[[939.7434791666665,"head_dop is shown on the screen, written out."],[941.6509791666665,"mach_fig is shown on the screen, written out."],[942.8109791666666,"source is shown on the screen, written out."],[949.9309791666665,"slow is shown on the screen, written out."],[950.0828942805381,"slow_2 is shown on the screen, written out."],[950.2348093944098,"slow_3 is shown on the screen, written out."],[950.3867245082814,"slow_4 is shown on the screen, written out."]]},{"start":953.1834791666665,"say":"Davanti alla sorgente la lunghezza d'onda si accorcia e la frequenza percepita sale. Per ricevitore e sorgente in moto lungo la congiungente, con velocità misurate rispetto al mezzo, vale questa formula, con i segni superiori per l'avvicinamento.","live":["mach_fig","head_dop","source","slow","slow_2","slow_3","slow_4"],"does":[[964.4509791666665,"mach_fig moves to a new place on the board."],[964.4509791666665,"dp0 is shown on the screen, written out."]]},{"start":968.0234791666664,"say":"Prendiamo una sirena da cinquecento hertz, con il suono a trecentoquaranta metri al secondo. Se il ricevitore le corre incontro a centoventiquattro chilometri orari, sente circa cinquecentocinquantuno hertz. Se invece è la sorgente ad avvicinarsi così, il suono sale a circa cinquecentocinquantasei.","live":["dp0","mach_fig","head_dop","source","slow","slow_2","slow_3","slow_4"],"does":[[968.3309791666665,"doppler is shown on the screen, written out."],[974.0109791666664,"doppler is shown on the screen, written out."],[981.2109791666664,"doppler is shown on the screen, written out."]]},{"start":986.5334791666664,"say":"Le due situazioni non sono equivalenti, perché il mezzo fissa un riferimento privilegiato. Se si muovono entrambi a sessantadue chilometri orari, la frequenza cade in mezzo, circa cinquecentocinquantatré hertz. Applicato alla luce delle galassie lontane, lo stesso spostamento è alla base della legge di Hubble.","live":null,"does":[[992.9309791666664,"doppler is shown on the screen, written out."]]},{"start":1005.3584791666665,"say":"Se infine la sorgente supera la velocità del suono, i fronti non riescono più a precederla: si accumulano lungo un cono, il cono di Mach, con semiapertura data da seno di theta uguale a v su v S. Lungo il cono viaggia l'onda d'urto.","live":null,"does":[[1006.9709791666664,"slow is hidden from the screen."],[1006.9709791666664,"slow_2 is hidden from the screen."],[1006.9709791666664,"slow_3 is hidden from the screen."],[1006.9709791666664,"slow_4 is hidden from the screen."],[1008.8909791666664,"fast is shown on the screen, written out."],[1009.0536370330115,"fast_2 is shown on the screen, written out."],[1009.2162948993566,"fast_3 is shown on the screen, written out."],[1009.353875657115,"fast_4 is shown on the screen, written out."],[1012.4109791666664,"cone_up is shown on the screen, written out."],[1012.4109791666664,"cone_dn is shown on the screen, written out."],[1014.2509791666664,"mach is shown on the screen, written out."]]},{"start":1021.3184791666665,"say":"Siamo partiti da una massa e una molla e siamo arrivati alle onde d'urto. Il filo è sempre lo stesso: forze di richiamo lineari producono oscillazioni, e un mezzo continuo le trasmette, con una velocità fissata da rigidità e inerzia.","live":["dp0","mach","mach_fig","head_dop","source","fast","fast_2","fast_3","fast_4","cone_up","cone_dn"],"does":[[1035.8650624999998,"doppler is hidden from the screen — left the board."],[1035.8650624999998,"dp0 is hidden from the screen — left the board."],[1035.8650624999998,"head_dop is hidden from the screen — left the board."],[1035.8650624999998,"mach is hidden from the screen — left the board."],[1035.8650624999998,"mach_fig is hidden from the screen — left the board."],[1035.8650624999998,"source is hidden from the screen — mach_fig left the board."],[1035.8650624999998,"fast is hidden from the screen — mach_fig left the board."],[1035.8650624999998,"fast_2 is hidden from the screen — mach_fig left the board."],[1035.8650624999998,"fast_3 is hidden from the screen — mach_fig left the board."],[1035.8650624999998,"fast_4 is hidden from the screen — mach_fig left the board."],[1035.8650624999998,"cone_up is hidden from the screen — mach_fig left the board."],[1035.8650624999998,"cone_dn is hidden from the screen — mach_fig left the board."]]}]}]},"durationSeconds":1037,"chapters":[{"title":"L'oscillatore armonico semplice","startSeconds":0,"narration":"Questa lezione segue un filo solo. Partiamo da una massa attaccata a una molla, la facciamo oscillare, poi la smorziamo e la forziamo. Infine lasciamo che l'oscillazione si propaghi in un mezzo continuo, e diventi un'onda. Ecco i due estremi del percorso. A sinistra, l'equazione di un singolo oscillatore. A destra, l'equazione di d'Alembert, che descrive un'onda in una sbarra elastica. Il nostro compito è costruire il ponte fra le due. Teniamo a mente questa forma. Quando la ritroveremo, ogni suo simbolo avrà un significato fisico preciso. Una massa m scorre su un piano orizzontale liscio, attaccata a una molla di costante elastica k. Detto x lo spostamento dalla posizione di riposo, la molla esercita la forza di richiamo meno k x, e il secondo principio dà m per l'accelerazione uguale a meno k x. Dividiamo per la massa. Compare una sola costante, omega zero, la radice di k su m, che ha le dimensioni di una frequenza angolare: è la pulsazione propria del sistema. L'equazione è lineare, del secondo ordine, a coefficienti costanti, e la sua soluzione generale contiene due costanti arbitrarie. Possiamo scriverla come A per il coseno di omega zero t più fi. A è l'ampiezza, l'escursione massima dall'equilibrio, e fi è la fase iniziale. Il moto si ripete dopo un periodo T uguale a due pi greco su omega zero, indipendente dall'ampiezza: è l'isocronismo dell'oscillatore armonico. Derivando una volta si ottiene la velocità, meno A omega zero per il seno. Posizione e velocità sono sfasate di un quarto di periodo: dove lo spostamento è massimo, la massa è istantaneamente ferma. Ora la domanda pratica. Supponiamo di conoscere la posizione x zero e la pendenza della curva, cioè la velocità v zero, nell'istante in cui facciamo partire il cronometro. Quali A e fi ne seguono? Valutiamo le due espressioni in t uguale a zero. La posizione dà x zero uguale ad A per il coseno di fi; la velocità dà v zero uguale a meno A omega zero per il seno di fi. Dividiamo la seconda per omega zero, eleviamo al quadrato e sommiamo: seno quadro più coseno quadro fa uno, e resta l'ampiezza, la radice di x zero quadro più v zero quadro su omega zero quadro. Il rapporto fra le stesse equazioni dà invece la tangente della fase, meno v zero su omega zero x zero. Attenzione al quadrante: l'arcotangente determina fi a meno di pi greco, e il segno di x zero sceglie il ramo giusto. Due condizioni iniziali, due costanti: il moto è determinato in modo univoco. Teniamo a mente questa coppia, ampiezza e fase, perché tornerà in tutto ciò che segue."},{"title":"Lo smorzamento e i tre regimi","startSeconds":175.85574999999994,"narration":"Nessuna molla reale oscilla per sempre. Aggiungiamo una forza di attrito viscoso, proporzionale alla velocità e opposta ad essa: meno c per x punto. Dividendo per m, conviene chiamare due gamma il rapporto c su m. Gamma è il parametro di smorzamento, e ha anch'esso le dimensioni di una frequenza. Cerchiamo soluzioni esponenziali, x uguale a e alla lambda t. Ogni derivata porta giù un fattore lambda, l'esponenziale si semplifica, e resta un'equazione di secondo grado: l'equazione caratteristica. Le sue radici sono meno gamma più o meno la radice di gamma quadro meno omega zero quadro. Tutto dipende dal segno del discriminante, e questo segno separa tre regimi. Fissiamo omega zero uguale a uno e lasciamo la massa ferma, con spostamento unitario. Se gamma supera omega zero, le radici sono reali e negative: è il regime sovrasmorzato, la curva rossa. La massa torna all'equilibrio senza oscillare, ma lentamente, perché a lungo andare domina la radice più piccola in modulo. È il comportamento richiesto a un ammortizzatore: dopo una buca, la ruota non deve rimbalzare. Per gamma uguale a omega zero le due radici coincidono, e la seconda soluzione indipendente è t per l'esponenziale. È lo smorzamento critico, la curva verde: il ritorno più rapido possibile senza oscillazioni. Per gamma minore di omega zero, infine, le radici sono complesse coniugate, e la soluzione oscilla dentro un inviluppo esponenziale: è il regime sottosmorzato, la curva blu. La pseudo pulsazione è omega uno, radice di omega zero quadro meno gamma quadro, sempre minore di omega zero: lo smorzamento non solo spegne l'oscillazione, ma la rallenta. Intanto l'ampiezza decade come A zero per e alla meno gamma t. E l'energia? Essendo quadratica nell'ampiezza, decade con esponente doppio, come e alla meno due gamma t, con costante di tempo tau uguale a uno su due gamma. Lo stesso schema compare in un circuito erre elle ci in serie, senza generatore e con il condensatore inizialmente carico. Sommando le cadute di tensione lungo la maglia, per la carica q si trova questa equazione. Il confronto termine a termine è immediato. L'induttanza gioca il ruolo della massa, la resistenza quello dell'attrito viscoso, e l'inverso della capacità quello della costante elastica. La carica fa le veci dello spostamento. Ne seguono omega zero uguale a uno su radice di L C e gamma uguale a R su due L: stessi tre regimi, stesse formule."},{"title":"Oscillazioni forzate e risonanza","startSeconds":332.87802083333327,"narration":"Lo smorzamento spegne ogni oscillazione libera. Per mantenerla serve una forza esterna periodica, per esempio una biella mossa da una ruota che gira a pulsazione omega: F zero per il coseno di omega t. L'equazione diventa non omogenea. Per la linearità, la soluzione generale è la somma di due pezzi: la soluzione generale dell'omogenea, che già conosciamo, più una qualsiasi soluzione particolare. Guardiamo cosa succede partendo da fermi. Nei primi istanti si mescolano due moti, alla pulsazione propria e a quella della forzante: è il regime transiente. Ma il pezzo omogeneo porta il fattore e alla meno gamma t. Dopo qualche multiplo di uno su gamma è svanito, e resta il regime permanente, la curva gialla: una oscillazione alla sola pulsazione omega imposta dall'esterno. Cerchiamo quindi la soluzione particolare nella forma A di omega per il coseno di omega t meno delta. Sostituendo, e uguagliando separatamente i termini in seno e in coseno, si ottengono ampiezza e sfasamento. Ecco il risultato. L'ampiezza è F zero su m, diviso la radice di omega zero quadro meno omega quadro, al quadrato, più quattro gamma quadro omega quadro. Disegniamola in funzione di omega, con omega zero uguale a uno: la curva blu con smorzamento debole, la curva rossa con smorzamento più forte. Ora facciamo scorrere la pulsazione della forzante. A bassa frequenza la massa segue la forza quasi staticamente, con ampiezza vicina a quella statica. Avvicinandoci a omega zero, l'ampiezza cresce bruscamente. Questa è la risonanza. Con poco smorzamento il picco è alto e stretto, circa F zero su due m gamma omega zero, e il suo massimo cade appena sotto omega zero. Superata la risonanza, la massa non riesce più a seguire la forza, e l'ampiezza crolla. Anche la fase racconta la stessa storia. La tangente di delta cambia segno attraversando omega zero: lo spostamento passa dall'essere in fase con la forza all'essere in opposizione, e proprio alla risonanza è in quadratura."},{"title":"Dalle proprietà elastiche all'equazione d'onda","startSeconds":466.1574374999999,"narration":"Lasciamo il punto materiale e passiamo a un mezzo continuo. Prima, però, ci serve una legge costitutiva: come risponde un solido quando lo tiriamo. Prendiamo una barra di lunghezza L e sezione S, tirata da una forza F. Il carico specifico, o sforzo, è sigma uguale a F su S. L'allungamento relativo, o deformazione, è epsilon uguale a delta L su L. Per piccole deformazioni le due grandezze sono proporzionali: è la legge di Hooke, e la costante di proporzionalità è il modulo di Young E, che si misura come una pressione. Qualche valore dà le proporzioni. Acciaio e ferro stanno attorno a duecento gigapascal, alluminio a settanta, rame a centoventi, piombo a sedici. La gomma, invece, è circa ventimila volte più cedevole. Ora una sbarra lunga, di densità rho, sezione S e modulo E, colpita a un estremo da un martelletto. Il colpo comprime lo strato vicino, che spinge il successivo: una perturbazione comincia a viaggiare lungo la sbarra. Chiamiamo s di x e t lo spostamento della sezione che a riposo si trova in x. Uno spostamento uniforme non deforma nulla: conta quanto lo spostamento varia da una sezione alla successiva. La deformazione locale è quindi la derivata parziale di s rispetto a x, e per la legge di Hooke la forza interna attraverso la sezione in x vale E S per questa derivata. Isoliamo un volumetto compreso fra x e x più d x. La sua massa è d m uguale a rho S d x. Sulla faccia sinistra agisce meno F di x, sulla destra F di x più d x. La risultante è la loro differenza, cioè la derivata di F per d x: E S per la derivata seconda di s rispetto a x, per d x. Il secondo principio chiede d m per l'accelerazione uguale a questa forza, e l'accelerazione della sezione è la derivata seconda di s rispetto al tempo. Semplifichiamo S e d x, che compaiono da entrambe le parti, e portiamo tutto a sinistra. Ecco l'equazione di d'Alembert, con il coefficiente rho su E davanti alla derivata temporale. Confrontando con la forma promessa all'inizio, rho su E deve valere uno su v quadro: la velocità delle onde longitudinali nella sbarra è la radice di E su rho. Rigidità e inerzia competono: un mezzo rigido e leggero trasmette in fretta. Per alluminio e ferro si superano i cinquemila metri al secondo, per il rame circa tremilasettecento, per il piombo appena milleduecento. Infine la soluzione generale: qualunque profilo che trasli rigidamente verso destra o verso sinistra con velocità v soddisfa l'equazione. E derivando la legge di Hooke si vede che anche la forza interna, cioè l'onda di pressione, obbedisce alla stessa equazione con la stessa velocità."},{"title":"Onde armoniche e analisi di Fourier","startSeconds":645.0433958333332,"narration":"Ora che sappiamo che un profilo qualsiasi trasla con velocità v, scegliamone uno particolare, il più importante: il coseno. È l'onda armonica progressiva, y uguale ad A per il coseno di k x meno omega t. A tempo fissato è una sinusoide nello spazio: si ripete dopo una lunghezza d'onda lambda, e k, il numero d'onda, vale due pi greco su lambda. In un punto fissato, invece, oscilla nel tempo con periodo T uguale a due pi greco su omega. Dopo un piccolo intervallo delta t, la curva blu, ogni cresta si è spostata di v delta t. Una cresta è un punto di fase costante: imponendo k x meno omega t costante si trova v uguale a omega su k, cioè lambda su T. Perché proprio il coseno? Perché l'equazione è lineare, e Fourier ci dice che ogni segnale periodico di periodo T è una somma di armoniche: la fondamentale omega e i suoi multipli interi. I coefficienti si ottengono proiettando il segnale su ciascuna armonica, cioè integrando su un periodo il prodotto con il seno o il coseno corrispondente. Per un'onda quadra sopravvivono solo i seni dispari, con ampiezza quattro su n pi greco. Vediamolo. La sola fondamentale è una sinusoide grossolana, che dell'onda quadra ricorda appena il segno. Aggiungendo la terza e la quinta armonica, gli spigoli cominciano a formarsi. Con molti termini la somma riproduce l'onda quadra, salvo un piccolo eccesso vicino ai salti: il fenomeno di Gibbs. E un sistema elastico, essendo lineare, risponde a ciascuna armonica separatamente: la risposta totale è la sovrapposizione delle singole risposte. Un segnale localizzato, come un singolo colpo, non è periodico. Pensiamolo periodico con un periodo che tende all'infinito: le armoniche discrete si infittiscono sempre di più, e la somma diventa un integrale. Il segnale diventa l'integrale su tutte le pulsazioni di f tilde di omega per e alla i omega t. La funzione f tilde è la trasformata di Fourier, e si ottiene invertendo: uno su due pi greco per l'integrale di f di t per e alla meno i omega t. Tempo e pulsazione sono due descrizioni equivalenti dello stesso fenomeno: la trasformata ci porta nello spazio duale delle frequenze, dove leggiamo lo spettro della sollecitazione e capiamo a quali frequenze un sistema risponderà, per esempio vicino alla sua risonanza."},{"title":"Battimenti, pacchetti, Doppler e onde d'urto","startSeconds":799.6909791666665,"narration":"Sommiamo ora due onde armoniche della stessa ampiezza, con pulsazioni vicine: delta omega molto più piccolo della pulsazione media. Le formule di prostaferesi trasformano la somma di due coseni in un prodotto: due volte il coseno della semidifferenza per il coseno della semisomma degli argomenti. Applicate ai nostri argomenti, danno un'onda ad alta frequenza, la portante, alla pulsazione media omega segnato, moltiplicata per un fattore lento alla pulsazione delta omega mezzi. In un punto fissato, ecco il segnale: la portante blu oscilla rapidamente dentro l'inviluppo grigio, che sale e scende lentamente. L'intensità pulsa con la differenza delle frequenze: sono i battimenti che si sentono fra due corde quasi intonate. Portante e inviluppo non viaggiano necessariamente insieme. Le creste si muovono con la velocità di fase, omega medio su k medio. L'inviluppo, che trasporta energia e informazione, si muove con la velocità di gruppo, delta omega su delta k, che nel limite diventa d omega su d k. Se omega è proporzionale a k, il mezzo non è dispersivo e le due velocità coincidono, come nella nostra sbarra. In un mezzo dispersivo, invece, il gruppo può essere più lento o più veloce delle creste. Sommando non due, ma un continuo di onde con numeri d'onda distribuiti in una banda delta k, si ottiene un pacchetto: una perturbazione localizzata, larga circa delta x. Il prezzo della localizzazione sta nella trasformata di Fourier: più il pacchetto è stretto nello spazio, più è largo il suo spettro. Vale delta x per delta k dell'ordine di due pi greco, e analogamente delta t per delta omega. Questo è un fatto puramente classico. Ma ora usiamo le relazioni di Planck e de Broglie: l'energia è h nu, cioè h su due pi greco per omega, e la quantità di moto è h su lambda, cioè h su due pi greco per k. Moltiplicando la relazione classica per h su due pi greco, delta x per delta p diventa dell'ordine di h, e lo stesso vale per energia e tempo. È il principio di indeterminazione di Heisenberg, che nella forma rigorosa, per le deviazioni standard, dà almeno h su quattro pi greco. Ultimo fenomeno: l'effetto Doppler. Una sorgente in moto emette fronti d'onda sferici a frequenza nu S. Se si muove più lentamente del suono, i fronti si addensano davanti a lei e si diradano dietro. Davanti alla sorgente la lunghezza d'onda si accorcia e la frequenza percepita sale. Per ricevitore e sorgente in moto lungo la congiungente, con velocità misurate rispetto al mezzo, vale questa formula, con i segni superiori per l'avvicinamento. Prendiamo una sirena da cinquecento hertz, con il suono a trecentoquaranta metri al secondo. Se il ricevitore le corre incontro a centoventiquattro chilometri orari, sente circa cinquecentocinquantuno hertz. Se invece è la sorgente ad avvicinarsi così, il suono sale a circa cinquecentocinquantasei. Le due situazioni non sono equivalenti, perché il mezzo fissa un riferimento privilegiato. Se si muovono entrambi a sessantadue chilometri orari, la frequenza cade in mezzo, circa cinquecentocinquantatré hertz. Applicato alla luce delle galassie lontane, lo stesso spostamento è alla base della legge di Hubble. Se infine la sorgente supera la velocità del suono, i fronti non riescono più a precederla: si accumulano lungo un cono, il cono di Mach, con semiapertura data da seno di theta uguale a v su v S. Lungo il cono viaggia l'onda d'urto. Siamo partiti da una massa e una molla e siamo arrivati alle onde d'urto. Il filo è sempre lo stesso: forze di richiamo lineari producono oscillazioni, e un mezzo continuo le trasmette, con una velocità fissata da rigidità e inerzia."}]}}