{"version":1,"lectureId":"01M4P4FGFR9SABN17RRXBVQM12","attempt":0,"publication":{"slug":"meccanica-dei-fluidi-statica-cinematica-e-dinamica","title":"Meccanica dei Fluidi: Statica, Cinematica e Dinamica","subject":"physics","summary":"Una lezione universitaria completa di meccanica dei fluidi. Si parte dalla definizione di fluido, dalla comprimibilità e dal modello del mezzo continuo; si dimostra che la pressione è uno scalare e si ricava l'equazione fondamentale della statica, da cui seguono la legge di Stevino, il paradosso idrostatico, il barometro di Torricelli, i manometri, il principio di Archimede, l'asta oscillante, il secchio rotante e il torchio idraulico. Poi la cinematica: fluido ideale, descrizioni euleriana e lagrangiana, continuità e la derivazione energetica del teorema di Bernoulli. Infine le applicazioni (Torricelli, Venturi, pompe, Pitot) e i fluidi reali: profilo di Poiseuille, legge di Hagen e Poiseuille, numero di Reynolds ed effetto Magnus.","metaDescription":"Meccanica dei fluidi per Fisica 1: pressione, Stevino, Archimede, continuità, Bernoulli, Torricelli, Poiseuille e numero di Reynolds.","transcript":"Benvenuti. In questa lezione costruiamo la meccanica dei fluidi dalle fondamenta: prima i fluidi in quiete, poi il loro moto ideale, infine i fluidi reali, con la viscosità e la turbolenza. Ecco le due equazioni verso cui camminiamo. La prima governa ogni fluido in equilibrio: il gradiente della pressione è uguale alla densità per la forza di volume per unità di massa. La seconda è il teorema di Bernoulli, che lega pressione, velocità e quota in un fluido ideale in moto. Le ricaveremo entrambe, un passo alla volta. Partiamo dalla definizione. Un fluido è una sostanza priva di forma propria: prende la forma del recipiente che lo contiene, e si deforma con una facilità grandissima rispetto a un solido. Quanto si lascia comprimere lo misura il modulo di comprimibilità K: il rapporto tra un aumento di pressione e la diminuzione relativa di volume che esso produce. Per i liquidi questo modulo vale da dieci alla dieci a dieci alla undici pascal, come per i solidi. I liquidi sono praticamente incomprimibili. Gas e vapori hanno invece un modulo dell'ordine di dieci alla cinque pascal, pari alla pressione esterna. Si comprimono facilmente, e questa differenza ci accompagnerà per tutta la lezione. Un fluido non ha punti fissi a cui applicare le forze, quindi lo descriviamo in un altro modo. Scegliamo un punto r, e attorno a esso un piccolo volumetto. Così ogni grandezza diventa una funzione continua del punto e del tempo. La densità, ad esempio, è il limite della massa delta m divisa per il volume delta V, quando delta V tende a zero. Allo stesso modo si definiscono la pressione e la velocità. Sono questi i tre campi con cui lavoreremo. Ma la materia è discreta: gli atomi misurano circa dieci alla meno dieci metri, i nuclei dieci alla meno quindici. Se restringo troppo il volumetto, dentro non trovo più nulla. Fisicamente il volumetto va pensato grande rispetto agli atomi e minuscolo rispetto al recipiente. Il limite per delta V che tende a zero è un'idealizzazione matematica, indispensabile per usare l'analisi differenziale senza discontinuità. C'è un'ultima proprietà decisiva. Prendiamo uno strato di fluido, appoggiato su un fondo fermo, e applichiamo in alto una forza tangente, piccola quanto vogliamo. Lo strato non resiste: scorre rispetto a quello sottostante, e continua a scorrere finché la forza agisce. Nei fluidi non esiste nulla di simile all'attrito radente statico dei solidi. Ne segue che in un fluido in equilibrio non ci sono forze parallele alle superfici. Restano soltanto forze perpendicolari, ed è da qui che nasce la pressione. Definiamo la pressione come il rapporto tra la forza perpendicolare a una superficie e l'area della superficie stessa. Si misura in pascal, un newton al metro quadro. Ma dipende da come orientiamo la superficie? Isoliamo con il pensiero un prisma infinitesimo di fluido, a base triangolare A B C e spessore h. Su ciascuna faccia agisce soltanto una forza normale. Lungo x, la forza sulla faccia A B bilancia la componente orizzontale della forza sull'ipotenusa A C. Lungo l'asse verticale, la faccia C B bilancia la componente verticale, più il peso del prisma. Ora la geometria: l'ipotenusa per il seno di theta è il cateto A B, per il coseno è il cateto C B. E il peso è proporzionale all'area del triangolo: è un infinitesimo di ordine superiore, e nel limite scompare. Restano due uguaglianze, e insieme dicono che le tre pressioni coincidono. La pressione in un punto non dipende dall'orientazione della superficie: è una grandezza scalare. Prendiamo ora un elemento di volume d V, uguale a d S per d z, in un fluido soggetto a una forza di volume f per unità di massa. Guardiamo le forze lungo z. Sotto agisce la pressione in z, sopra quella in z più d z, e su tutto l'elemento la forza di volume rho f d V. All'equilibrio la loro somma è zero. Dividendo per d V otteniamo la derivata parziale di P rispetto a z, uguale a rho f z. Ripetendo il conto lungo x e lungo y troviamo l'equazione fondamentale della statica: nabla P uguale a rho f. Se la forza è conservativa, f è meno il gradiente di un potenziale phi, e l'equazione diventa nabla P uguale a meno rho nabla phi. Allora i due gradienti sono paralleli. Le superfici isobare coincidono con le superfici equipotenziali, e poiché la densità è il rapporto tra le due variazioni, è costante anch'essa su quelle stesse superfici. Mettiamoci nel campo della gravità, con l'asse z rivolto verso l'alto. La forza per unità di massa è meno g lungo z, e l'equazione della statica si riduce a d P su d z uguale a meno rho g. Per un liquido incomprimibile la densità è costante. Integriamo fino alla superficie libera, a quota h, dove agisce la pressione atmosferica: è la legge di Stevino. Scendiamo con una sonda: un metro, poi due, poi giù fino al fondo. La pressione cresce di rho g per ogni metro di profondità. Quanto bisogna scendere in acqua per raddoppiare la pressione atmosferica? Basta che rho g h valga un'atmosfera: mille per nove virgola otto per h, uguale a circa centomila pascal. Dunque circa dieci metri. Ogni dieci metri di profondità, la pressione cresce di un'atmosfera. Ecco una conseguenza sorprendente. Tre recipienti di forma diversa, con la stessa area di base, riempiti dello stesso liquido fino alla stessa altezza h. Contengono masse molto diverse, eppure la pressione sul fondo è identica in tutti e tre, perché conta soltanto la profondità. È il paradosso idrostatico. Se colleghiamo i recipienti dal fondo otteniamo dei vasi comunicanti: il liquido incomprimibile si porta ovunque allo stesso livello, qualunque sia la forma dei rami. Come si misura la pressione atmosferica? Torricelli riempì di mercurio un tubo chiuso a un'estremità e lo capovolse in una vaschetta piena dello stesso liquido. La colonna scende un poco e si ferma. Sopra resta il vuoto, a pressione praticamente nulla, mentre sulla vaschetta preme l'atmosfera. Sulla isobara del pelo libero, la pressione atmosferica equilibra il peso della colonna. Con i numeri, l'altezza risulta di settantasei centimetri: settecentosessanta millimetri di mercurio. Perché il mercurio? Perché è tredici virgola sei volte più denso dell'acqua. Con l'acqua servirebbe un tubo alto più di dieci metri. Per misurare una differenza di pressione si usa il manometro a U. Il dislivello h del liquido nei due rami dà subito delta P uguale a rho g h. E se nel tubo ci sono due liquidi immiscibili? Il più leggero, di densità rho uno, sta nel ramo di sinistra, sopra il più pesante. Il trucco è scegliere l'isobara giusta: quella che passa esattamente per la superficie di separazione. Allo stesso livello, nell'altro ramo, c'è lo stesso liquido pesante, quindi la stessa pressione. Sopra quella linea, le due colonne pesano lo stesso: rho uno g z uno uguale a rho due g z due. Dal rapporto delle altezze si legge il rapporto delle densità. Immergiamo ora un corpo in un liquido. Su ogni faccia il liquido preme in direzione normale, e preme di più sotto che sopra, perché sotto è più profondo. Per calcolare la risultante usiamo un'idea elegante: sostituiamo il corpo con una porzione dello stesso liquido, di forma identica. Quella porzione era in equilibrio, quindi le forze di superficie bilanciano esattamente il suo peso. Ma le forze di superficie dipendono solo dal liquido esterno. Rimettiamo il corpo al suo posto: la spinta resta la stessa, diretta verso l'alto e pari al peso del liquido spostato. Se il corpo è meno denso del liquido, galleggia, con una frazione immersa pari al rapporto tra le densità. A densità uguali resta in equilibrio in ogni punto, e se è più denso affonda. Così una nave d'acciaio galleggia grazie all'aria racchiusa nello scafo, e una mongolfiera sale scaldando l'aria interna, o con l'elio, perché l'aria al suolo ha densità di circa uno virgola tre chilogrammi al metro cubo. Un esempio dinamico. Un'asta di sezione S e lunghezza L galleggia verticale: all'equilibrio il suo peso uguaglia la spinta sulla parte immersa, lunga L meno h. Spingiamola in giù di un tratto z. La parte immersa cresce, e la spinta in eccesso la riporta indietro con una forza proporzionale allo spostamento e di verso opposto. È una forza elastica. Lasciata andare, l'asta sale, scende, risale ancora: oscilla di moto armonico semplice, con pulsazione al quadrato uguale a rho l g diviso rho s L. Mettiamo in rotazione un secchio d'acqua con velocità angolare omega, e osserviamolo dal riferimento che ruota con esso. A riposo, la superficie è piana. Nel riferimento rotante, oltre al peso, ogni elemento sente la forza centrifuga d m omega quadro r. Le equazioni della statica valgono ancora, con questa forza in più. Integrando, le superfici isobare, e quindi la superficie libera, diventano paraboloidi di rotazione: z uguale h zero più omega quadro su due g per r quadro. Le ultracentrifughe sfruttano lo stesso effetto a circa cinquantamila radianti al secondo: l'enorme gradiente radiale di pressione separa sostanze che differiscono in densità anche solo dell'uno per cento. Infine il principio di Pascal: una variazione di pressione applicata a un fluido incomprimibile si trasmette inalterata in ogni suo punto. Nel torchio idraulico premo con una piccola forza f sul pistone stretto. La stessa pressione agisce sul pistone largo, che riceve una forza più grande nel rapporto delle sezioni. Non si crea energia dal nulla, però. Il volume spostato è lo stesso, quindi il pistone stretto scende molto mentre quello largo sale poco, e il lavoro si conserva. Passiamo ai fluidi in moto. Nei fluidi reali, strati adiacenti che scorrono a velocità diverse si frenano a vicenda: è la viscosità. La forza tra due strati è proporzionale all'area S e al gradiente di velocità nella direzione normale. Il coefficiente eta si misura in pascal per secondo, oppure in poise. Un fluido ideale è un'astrazione molto utile: incomprimibile, quindi a densità costante, e privo di viscosità. È il modello in cui varrà il teorema di Bernoulli. Per descrivere il moto abbiamo due punti di vista. Nella descrizione lagrangiana seguiamo la singola particella di fluido lungo il suo cammino. Nella descrizione euleriana, invece, restiamo fermi in un punto dello spazio e guardiamo come cambiano lì densità, pressione e velocità nel tempo. Se in ogni punto le grandezze non dipendono dal tempo, il regime è stazionario. Allora le linee di corrente coincidono con le traiettorie, non si intersecano mai, e prendono il nome di linee di flusso. Un fascio di linee di flusso forma un tubo di flusso: il fluido non ne attraversa mai le pareti, come se fosse una condotta. Ora la conservazione della massa. In regime stazionario, la massa che entra da una sezione del tubo nell'unità di tempo è uguale a quella che esce dall'altra. Per un fluido incomprimibile la densità si semplifica, e resta la portata volumetrica Q, uguale a sezione per velocità, costante lungo tutta la condotta. È il teorema di continuità, già intuito da Leonardo. L'effetto è puramente cinematico: dove il tubo si stringe la velocità aumenta, e le linee di flusso si addensano. Ecco il cuore della dinamica dei fluidi ideali. Seguiamo, in regime stazionario e irrotazionale, il fluido contenuto in un tratto di tubo di flusso tra le sezioni uno e due. In un tempo d t la sezione uno avanza di d s uno, la sezione due di d s due. Le forze di pressione compiono un lavoro, e per continuità i due volumi spostati sono lo stesso d V. La gravità compie invece un lavoro negativo, perché la massa rho d V sale dalla quota z uno alla quota z due. Per il teorema dell'energia cinetica la somma dei lavori uguaglia la variazione di energia cinetica di quella massa. Dividiamo per d V e raccogliamo i termini con lo stesso indice. Il risultato è il teorema di Bernoulli: la somma di pressione, di un mezzo rho v quadro e di rho g z è costante lungo il tubo di flusso. Ogni termine è una densità di energia: la pressione statica, l'energia cinetica per unità di volume, e l'energia potenziale per unità di volume. Bernoulli è la conservazione dell'energia, scritta per metro cubo di fluido. E se il fluido è fermo, con v uguale a zero, resta P più rho g z costante: ritroviamo esattamente la legge di Stevino. Prima applicazione: un serbatoio aperto con un piccolo foro a profondità h. Applichiamo Bernoulli tra la superficie libera e il foro, entrambi a pressione atmosferica. Se il serbatoio è molto più largo del foro, la superficie scende lentamente e la sua velocità è trascurabile. Resta v uguale alla radice di due g h: la velocità di un sasso caduto da altezza h. È la legge di Torricelli. Se invece la sezione s del foro non è trascurabile rispetto alla sezione S del serbatoio, la continuità corregge il risultato: al denominatore compare uno meno il quadrato del rapporto tra le sezioni. Quanto lontano arriva il getto? La gittata vale due radice di h per H meno h, ed è massima con il foro a metà altezza. Un foro più alto, o più basso della stessa quantità, arriva meno lontano, e i due getti cadono nello stesso punto. Il tubo di Venturi misura la velocità in una condotta. Nella strozzatura la sezione si riduce da S a s, la velocità cresce e, per Bernoulli, la pressione cala. Due piccoli tubi verticali leggono la depressione delta P come una differenza di livello. Combinando Bernoulli e continuità ricaviamo la velocità a monte, e quindi la portata Q, che è la sezione per la velocità. Bernoulli ci dice anche quanta potenza serve a una pompa. Per sollevare una portata Q di un dislivello H, la potenza è delta P per Q, cioè rho g H Q. Sollevare un metro cubo d'acqua al secondo di un metro richiede circa dieci kilowatt. Nel Regno Unito i contratti elettrici prevedono clausole per gestire il picco delle cinque del pomeriggio, legato all'ora del tè. Il tubo di Pitot misura invece la velocità di un fluido, o di un aereo rispetto all'aria: confronta la pressione di ristagno, dove il fluido si ferma, con quella statica. Infine il paradosso idrodinamico. Avviciniamo un cucchiaio a un getto d'acqua: il flusso si stringe, accelera, la pressione cala, e il cucchiaio viene risucchiato verso il getto. Per lo stesso motivo due camion che si sorpassano in autostrada si attraggono. Passiamo ai fluidi reali. In un tubo cilindrico di raggio R e lunghezza L, la viscosità frena il fluido sulle pareti, dove la velocità si annulla. Isoliamo un cilindro coassiale di raggio r. La differenza di pressione lo spinge avanti, la viscosità sulla superficie laterale lo frena, e in regime stazionario le due forze si bilanciano. Integrando con velocità nulla sulla parete otteniamo un profilo parabolico: massimo sull'asse, zero sul bordo. Sommando le portate di tutti gli anelli sottili troviamo la legge di Hagen e Poiseuille. La portata cresce come la quarta potenza del raggio: dimezzare il raggio riduce il flusso di sedici volte. Il sistema circolatorio ne è un esempio. La pressione arteriosa oscilla tra ottanta e centoventi millimetri di mercurio, ricordando che settecentosessanta fanno un'atmosfera. Un piccolo restringimento di un vaso richiede un grande aumento di pressione per mantenere la stessa portata. Quando un fluido reale scorre abbastanza veloce, il moto ordinato a strati si rompe. Il parametro che decide è il numero di Reynolds: rho per v per D, diviso eta. Sotto un valore critico, tra duemila e diecimila, il moto resta laminare e la perdita di carico cresce linearmente con la velocità. Oltre la velocità critica il moto diventa turbolento, e delta P cresce come v quadro. Un ultimo fenomeno: l'effetto Magnus. Una palla che ruota trascina con sé gli strati di fluido adiacenti: da un lato la velocità relativa aumenta, dall'altro diminuisce. Dove il fluido è più veloce la pressione è più bassa, e nasce una forza perpendicolare alla traiettoria. È la palla tagliata nel tennis, o il tiro a rientrare nel calcio. Riassumiamo. La statica discende da una sola equazione, nabla P uguale a rho f: da essa vengono Stevino, Archimede e il paradosso idrostatico. Per i fluidi ideali in moto valgono la continuità e Bernoulli, cioè massa ed energia conservate. Per i fluidi reali entra la viscosità, con la legge di Poiseuille, finché il numero di Reynolds resta sotto la soglia critica. Le due equazioni promesse all'inizio sono ora davanti a noi, ricavate e comprese. Grazie per l'attenzione.","watch":{"version":1,"scenes":[{"title":"Il Fluido e il Mezzo Continuo","start":0,"end":169.24431249999992,"objects":{"bulk":"a Math [text] that says \"$K = - V frac(dif P, dif V)$\"","card":"a Title that says \"Fisica 1 — Meccanica dei Fluidi: Statica, Cinematica e Dinamica\"","cell":"a Polygon [yellow] drawn in grain (vertices=(((2.5 - (side / 2.0)), (2.0 - (side / 2.0))), ((2.5 + (side / …, fill_opacity=0.15)","centre":"a Point [red] labelled \"bold(r)\" drawn in grain (location=(2.5, 2.0))","cont_def":"a Panel that says \"Densità, pressione e velocità sono funzioni continue di punto e di tempo.\"","drift":"a VariableNumber","fields":"a Math [text] that says \"$rho(bold(r), t), quad P(bold(r), t), quad bold(v)(bold(r), t)$\"","floor":"a Line [gray] drawn in slab (start=(-0.3, 0.0), end=(5.3, 0.0))","fluid_def":"a Panel that says \"Un fluido non ha forma propria: assume la forma del recipiente e cambia forma con grandissima facilità.\"","goal_bern":"a Math [text] that says \"$P + frac(1, 2) rho v^2 + rho g z = upright(\"costante\")$\"","goal_note":"a Text [text] that says \"Statica, cinematica e dinamica: tre capitoli, due equazioni guida.\"","goal_static":"a Math [text] that says \"$nabla P = rho bold(f)$\"","grain":"a Figure (x_range=(0.0, 5.0), y_range=(0.0, 4.0))","head_cont":"a Heading that says \"Il Modello del Mezzo Continuo\"","head_def":"a Heading that says \"Che Cos'è un Fluido\"","head_goal":"a Heading that says \"Dove Arriveremo\"","head_shear":"a Heading that says \"Nessun Attrito Statico\"","layer":"a Polygon [blue] drawn in slab (vertices=((0.5, 0.0), (3.5, 0.0), ((3.5 + drift), 1.6), ((0.5 + drift), …)","limit":"a Math [text] that says \"$rho(bold(r), t) = lim_(Delta V -> 0) frac(Delta m, Delta V)$\"","moduli":"a Table [text] that says \"Mezzo $K$ (Pa) liquidi $10^(10) - 10^(11)$ solidi $10^(10) - 10^(11)$ gas $approx 10^5$\" (rows=(('Mezzo', '$K$ (Pa)'), ('liquidi', '$10^(10) - 10^(11)$'), ('s…, header=True)","molecules":"a Point [blue] drawn in grain (location=(0.5, 0.6), marker_radius=0.05)","molecules_10":"a Point [blue] drawn in grain (location=(3.3, 1.5), marker_radius=0.05)","molecules_11":"a Point [blue] drawn in grain (location=(1.5, 1.8), marker_radius=0.05)","molecules_12":"a Point [blue] drawn in grain (location=(3.9, 2.3), marker_radius=0.05)","molecules_2":"a Point [blue] drawn in grain (location=(1.3, 3.2), marker_radius=0.05)","molecules_3":"a Point [blue] drawn in grain (location=(1.9, 1.1), marker_radius=0.05)","molecules_4":"a Point [blue] drawn in grain (location=(3.4, 2.9), marker_radius=0.05)","molecules_5":"a Point [blue] drawn in grain (location=(4.4, 1.4), marker_radius=0.05)","molecules_6":"a Point [blue] drawn in grain (location=(0.8, 2.2), marker_radius=0.05)","molecules_7":"a Point [blue] drawn in grain (location=(3.0, 0.5), marker_radius=0.05)","molecules_8":"a Point [blue] drawn in grain (location=(4.1, 3.5), marker_radius=0.05)","molecules_9":"a Point [blue] drawn in grain (location=(2.0, 2.9), marker_radius=0.05)","normal_1":"an Arrow [yellow] labelled \"P dif S\" drawn in slab (start=((1.5 + drift), 2.5), end=((1.5 + drift), 1.68))","normal_2":"an Arrow [yellow] drawn in slab (start=((2.9 + drift), 2.5), end=((2.9 + drift), 1.68))","push":"an Arrow [red] labelled \"dif bold(F)_(parallel)\" drawn in slab (start=((1.0 + drift), 2.1), end=((2.6 + drift), 2.1))","shear_note":"a Text [text] that says \"All'equilibrio, sulle superfici di un fluido agiscono solo forze normali.\"","side":"a VariableNumber (initial_value=2.6)","slab":"a Figure (x_range=(-0.5, 5.5), y_range=(-0.5, 3.0), aspect=(6.0, 3.5))"},"beats":[{"start":0,"say":"Benvenuti. 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Il limite per delta V che tende a zero è un'idealizzazione matematica, indispensabile per usare l'analisi differenziale senza discontinuità.","live":["cont_def","limit","fields","grain","head_cont","centre","cell","molecules","molecules_2","molecules_3","molecules_4","molecules_5","molecules_6","molecules_7","molecules_8","molecules_9","molecules_10","molecules_11","molecules_12"],"does":[[122.87999999999998,"cell is redrawn as the numbers it depends on change."],[122.87999999999998,"side ticks to 1.4."],[135.10999999999999,"cont_def is hidden from the screen — left the board."],[135.10999999999999,"fields is hidden from the screen — left the board."],[135.10999999999999,"grain is hidden from the screen — left the board."],[135.10999999999999,"centre is hidden from the screen — grain left the board."],[135.10999999999999,"cell is hidden from the screen — grain left the board."],[135.10999999999999,"molecules is hidden from the screen — grain left the board."],[135.10999999999999,"molecules_2 is hidden from the screen — grain left the board."],[135.10999999999999,"molecules_3 is hidden from the screen — grain left the board."],[135.10999999999999,"molecules_4 is hidden from the screen — grain left the board."],[135.10999999999999,"molecules_5 is hidden from the screen — grain left the board."],[135.10999999999999,"molecules_6 is hidden from the screen — grain left the board."],[135.10999999999999,"molecules_7 is hidden from the screen — grain left the board."],[135.10999999999999,"molecules_8 is hidden from the screen — grain left the board."],[135.10999999999999,"molecules_9 is hidden from the screen — grain left the board."],[135.10999999999999,"molecules_10 is hidden from the screen — grain left the board."],[135.10999999999999,"molecules_11 is hidden from the screen — grain left the board."],[135.10999999999999,"molecules_12 is hidden from the screen — grain left the board."],[135.10999999999999,"head_cont is hidden from the screen — left the board."],[135.10999999999999,"limit is hidden from the screen — left the board."]]},{"start":136.30999999999997,"say":"C'è un'ultima proprietà decisiva. Prendiamo uno strato di fluido, appoggiato su un fondo fermo, e applichiamo in alto una forza tangente, piccola quanto vogliamo.","live":[],"does":[[136.30999999999997,"head_shear is shown on the screen, written out."],[136.30999999999997,"slab is shown on the screen, written out."],[136.30999999999997,"floor is shown on the screen, written out."],[139.35999999999996,"layer is shown on the screen, written out."],[143.59999999999997,"push is shown on the screen, written out."]]},{"start":146.36549999999997,"say":"Lo strato non resiste: scorre rispetto a quello sottostante, e continua a scorrere finché la forza agisce. Nei fluidi non esiste nulla di simile all'attrito radente statico dei solidi.","live":["slab","head_shear","floor","layer","push"],"does":[[148.35999999999993,"layer is redrawn as the numbers it depends on change."],[148.35999999999993,"push is redrawn as the numbers it depends on change."],[148.35999999999993,"normal_1 is redrawn as the numbers it depends on change."],[148.35999999999993,"normal_2 is redrawn as the numbers it depends on change."],[148.35999999999993,"drift ticks to 1.2."]]},{"start":158.18499999999997,"say":"Ne segue che in un fluido in equilibrio non ci sono forze parallele alle superfici. Restano soltanto forze perpendicolari, ed è da qui che nasce la pressione.","live":null,"does":[[158.55999999999997,"push is hidden from the screen."],[159.99999999999994,"slab moves to a new place on the board."],[159.99999999999994,"shear_note is shown on the screen, written out."],[164.87999999999997,"normal_1 is shown on the screen, written out."],[165.13884523551113,"normal_2 is shown on the screen, written out."],[168.2026458333333,"head_shear is hidden from the screen — left the board."],[168.2026458333333,"shear_note is hidden from the screen — left the board."],[168.2026458333333,"slab is hidden from the screen — left the board."],[168.2026458333333,"floor is hidden from the screen — slab left the board."],[168.2026458333333,"layer is hidden from the screen — slab left the board."],[168.2026458333333,"normal_1 is hidden from the screen — slab left the board."],[168.2026458333333,"normal_2 is hidden from the screen — slab left the board."]]}]},{"title":"Pressione ed Equazione della Statica","start":169.24431249999992,"end":379.13352083333325,"objects":{"base_probe":"a Point [red] labelled \"P_(upright(\"base\"))\" drawn in vessels (location=(<VariableNumber base_x = 5.6>, 0.6))","base_x":"a VariableNumber (initial_value=1.1)","boxfig":"a Figure (x_range=(0.0, 5.0), y_range=(0.0, 4.0))","channel":"a Polygon [blue] drawn in vessels (vertices=((0.5, 0.0), (6.2, 0.0), (6.2, 0.6), (0.5, 0.6)))","depth":"a VariableNumber (initial_value=0.5, format_spec='.1f')","drop":"a Line [yellow] drawn in tank (start=(2.0, 3.0), end=(2.0, (3.0 - depth)), dashed=True)","elem":"a Polygon [yellow] drawn in boxfig (vertices=((1.6, 1.3), (3.4, 1.3), (3.4, 2.5), (1.6, 2.5)))","f_ab":"an Arrow [red] labelled \"F_(A B)\" drawn in tri (start=(-1.0, 1.0), end=(-0.08, 1.0))","f_ac":"an Arrow [red] labelled \"F_(A C)\" drawn in tri (start=(2.0, 1.75), end=(1.54, 1.07))","f_cb":"an Arrow [red] labelled \"F_(C B)\" drawn in tri (start=(1.5, -0.95), end=(1.5, -0.08))","f_res":"a Math [text] that says \"$bold(f) = - nabla phi quad arrow.r.double quad nabla P = - rho nabla phi$\"","fund_work":"a Derivation [text] that says \"$[P(z) - P(z + dif z)] dif S + rho f_z dif S dif z &= 0 \\ frac(partial P, partial z) &= rho f_z \\ nabla P &= rho bold(f)$\"","h_mark":"a Line [yellow] labelled \"h\" drawn in vessels (start=(6.7, 0.6), end=(6.7, 3.0))","head_fund":"a Heading that says \"L'Equazione Fondamentale della Statica\"","head_prism":"a Heading that says \"La Pressione è uno Scalare\"","head_stev":"a Heading that says \"La Legge di Stevino\"","head_ves":"a Heading that says \"Paradosso Idrostatico e Vasi Comunicanti\"","level":"a Line [gray] drawn in vessels (start=(0.2, 3.0), end=(6.9, 3.0), dashed=True)","p_def":"a Math [text] that says \"$P = frac(dif F_(perp), dif S)$\"","pa":"a Point [text] labelled \"A\" drawn in tri (location=(0.0, 2.0))","paradox":"a Math [text] that says \"$P_(upright(\"base\")) = P_(upright(\"atm\")) + rho g h$\"","patm":"a Math [text] that says \"$P_(upright(\"atm\"))$\" drawn in tank","pb":"a Point [text] labelled \"B\" drawn in tri","pc":"a Point [text] labelled \"C\" drawn in tri (location=(3.0, 0.0))","prism":"a Polygon [blue] drawn in tri (vertices=((0.0, 2.0), (0.0, 0.0), (3.0, 0.0)), fill_opacity=0.25)","prism_work":"a Derivation [text] that says \"$P_(A B) overline(A B) &= P_(A C) overline(A C) sin theta \\ P_(C B) overline(C B) &= P_(A C) overline(A C) cos theta + dif m thin g \\ overline(A C) sin theta &= overline(A B) \\ overline(A C) cos theta &= overline(C B) \\ P_(A C) &= P_(A B) =…$\"","probe":"a Point [red] labelled \"h = 0.5\" drawn in tank (location=(2.0, (3.0 - depth)))","push_down":"an Arrow [red] labelled \"P(z + dif z) dif S\" drawn in boxfig (start=(2.5, 3.75), end=(2.5, 2.55))","push_up":"an Arrow [red] labelled \"P(z) dif S\" drawn in boxfig (start=(2.5, 0.2), end=(2.5, 1.25))","s0":"a Math [text] that says \"$bold(f) = - g hat(bold(k)) quad arrow.r.double quad frac(dif P, dif z) = - rho g$\"","s1":"a Math [text] that says \"$P(z) = P_(upright(\"atm\")) + rho g (h - z)$\"","s2":"a Math [text] that says \"$rho g h_(upright(\"prof\")) = P_(upright(\"atm\"))$\"","s3":"a Math [text] that says \"$h_(upright(\"prof\")) = frac(1.013 times 10^5, 10^3 dot 9.8) approx 10 thin upright(\"m\")$\"","surface":"a Line [text] drawn in tank (start=(-0.2, 3.0), end=(4.2, 3.0))","tank":"a Figure (x_range=(-0.4, 5.6), y_range=(-0.3, 3.6), aspect=(6.0, 3.9))","theta":"a Math [text] that says \"$theta$\" drawn in tri","tri":"a Figure (x_range=(-1.3, 3.8), y_range=(-1.1, 2.7), aspect=(5.1, 3.8))","vessel_1":"a Polygon [blue] drawn in vessels (vertices=((0.5, 0.6), (1.7, 0.6), (1.7, 3.0), (0.5, 3.0)))","vessel_2":"a Polygon [blue] drawn in vessels (vertices=((2.6, 0.6), (3.8, 0.6), (4.4, 3.0), (2.0, 3.0)))","vessel_3":"a Polygon [blue] drawn in vessels (vertices=((5.0, 0.6), (6.2, 0.6), (5.9, 3.0), (5.3, 3.0)))","vessels":"a Figure (x_range=(0.0, 7.2), y_range=(-0.4, 3.6), aspect=(7.2, 4.0))","water":"a Polygon [blue] drawn in tank (vertices=((0.0, 0.0), (4.0, 0.0), (4.0, 3.0), (0.0, 3.0)))","z_high":"a Math [text] that says \"$z + dif z$\" drawn in boxfig","z_low":"a Math [text] that says \"$z$\" drawn in boxfig"},"beats":[{"start":169.24431249999992,"say":"Definiamo la pressione come il rapporto tra la forza perpendicolare a una superficie e l'area della superficie stessa. Si misura in pascal, un newton al metro quadro. Ma dipende da come orientiamo la superficie?","live":[],"does":[[169.24431249999992,"head_prism is shown on the screen, written out."],[170.96431249999992,"p_def is shown on the screen, written out."]]},{"start":182.8493124999999,"say":"Isoliamo con il pensiero un prisma infinitesimo di fluido, a base triangolare A B C e spessore h. Su ciascuna faccia agisce soltanto una forza normale.","live":["p_def","head_prism"],"does":[[184.68431249999992,"tri is shown on the screen, written out."],[184.68431249999992,"prism is shown on the screen, written out."],[186.80431249999992,"pa is shown on the screen, written out."],[186.91935942703594,"pb is shown on the screen, written out."],[187.03440635407196,"pc is shown on the screen, written out."],[188.48431249999993,"theta is shown on the screen, written out."],[192.48431249999993,"f_ab is shown on the screen, written out."],[192.6837783808361,"f_cb is shown on the screen, written out."],[192.88324426167227,"f_ac is shown on the screen, written out."]]},{"start":193.84431249999992,"say":"Lungo x, la forza sulla faccia A B bilancia la componente orizzontale della forza sull'ipotenusa A C. Lungo l'asse verticale, la faccia C B bilancia la componente verticale, più il peso del prisma.","live":["p_def","tri","head_prism","prism","pa","pb","pc","theta","f_ab","f_cb","f_ac"],"does":[[196.60431249999993,"prism_work is shown on the screen, written out."],[201.48431249999993,"prism_work is shown on the screen, written out."]]},{"start":207.33681249999992,"say":"Ora la geometria: l'ipotenusa per il seno di theta è il cateto A B, per il coseno è il cateto C B. E il peso è proporzionale all'area del triangolo: è un infinitesimo di ordine superiore, e nel limite scompare.","live":null,"does":[[210.08431249999992,"prism_work is shown on the screen, written out."],[212.56431249999991,"prism_work is shown on the screen, written out."],[220.48431249999993,"prism_work (the \"dif m thin g\" part) is slashed through — it cancels."]]},{"start":221.93181249999992,"say":"Restano due uguaglianze, e insieme dicono che le tre pressioni coincidono. La pressione in un punto non dipende dall'orientazione della superficie: è una grandezza scalare.","live":null,"does":[[223.0043124999999,"prism_work is shown on the screen, written out."],[228.08431249999992,"prism_work is indicated — a transient flash."],[232.52431249999992,"head_prism is hidden from the screen — left the board."],[232.52431249999992,"p_def is hidden from the screen — left the board."],[232.52431249999992,"prism_work is hidden from the screen — left the board."],[232.52431249999992,"tri is hidden from the screen — left the board."],[232.52431249999992,"prism is hidden from the screen — tri left the board."],[232.52431249999992,"pa is hidden from the screen — tri left the board."],[232.52431249999992,"pb is hidden from the screen — tri left the board."],[232.52431249999992,"pc is hidden from the screen — tri left the board."],[232.52431249999992,"theta is hidden from the screen — tri left the board."],[232.52431249999992,"f_ab is hidden from the screen — tri left the board."],[232.52431249999992,"f_cb is hidden from the screen — tri left the board."],[232.52431249999992,"f_ac is hidden from the screen — tri left the board."]]},{"start":233.72431249999994,"say":"Prendiamo ora un elemento di volume d V, uguale a d S per d z, in un fluido soggetto a una forza di volume f per unità di massa. Guardiamo le forze lungo z.","live":[],"does":[[233.72431249999994,"head_fund is shown on the screen, written out."],[233.72431249999994,"boxfig is shown on the screen, written out."],[233.72431249999994,"elem is shown on the screen, written out."],[235.24431249999992,"z_low is shown on the screen, written out."],[235.30566908630703,"z_high is shown on the screen, written out."],[243.00431249999994,"push_up is shown on the screen, written out."],[243.08714389151456,"push_down is shown on the screen, written out."]]},{"start":245.14181249999993,"say":"Sotto agisce la pressione in z, sopra quella in z più d z, e su tutto l'elemento la forza di volume rho f d V. All'equilibrio la loro somma è zero.","live":["boxfig","head_fund","elem","z_low","z_high","push_up","push_down"],"does":[[255.20431249999996,"boxfig moves to a new place on the board."],[255.20431249999996,"fund_work is shown on the screen, written out."]]},{"start":256.71431249999995,"say":"Dividendo per d V otteniamo la derivata parziale di P rispetto a z, uguale a rho f z. Ripetendo il conto lungo x e lungo y troviamo l'equazione fondamentale della statica: nabla P uguale a rho f.","live":null,"does":[[257.16431249999994,"fund_work is shown on the screen, written out."],[266.9243125,"fund_work is shown on the screen, written out."],[268.6843125,"A box is drawn around fund_work."]]},{"start":271.3668124999999,"say":"Se la forza è conservativa, f è meno il gradiente di un potenziale phi, e l'equazione diventa nabla P uguale a meno rho nabla phi.","live":null,"does":[[272.40431249999995,"f_res is shown on the screen, written out."]]},{"start":280.8818124999999,"say":"Allora i due gradienti sono paralleli. Le superfici isobare coincidono con le superfici equipotenziali, e poiché la densità è il rapporto tra le due variazioni, è costante anch'essa su quelle stesse superfici.","live":["f_res","boxfig","head_fund","elem","z_low","z_high","push_up","push_down"],"does":[[283.0843125,"f_res (the \"nabla P = - rho nabla phi\" part) is emphasized."],[288.9243125,"f_res (the \"nabla P = - rho nabla phi\" part) is no longer emphasized."],[293.33181249999996,"boxfig is hidden from the screen — left the board."],[293.33181249999996,"elem is hidden from the screen — boxfig left the board."],[293.33181249999996,"z_low is hidden from the screen — boxfig left the board."],[293.33181249999996,"z_high is hidden from the screen — boxfig left the board."],[293.33181249999996,"push_up is hidden from the screen — boxfig left the board."],[293.33181249999996,"push_down is hidden from the screen — boxfig left the board."],[293.33181249999996,"f_res is hidden from the screen — left the board."],[293.33181249999996,"fund_work is hidden from the screen — left the board."],[293.33181249999996,"head_fund is hidden from the screen — left the board."]]},{"start":294.53181249999994,"say":"Mettiamoci nel campo della gravità, con l'asse z rivolto verso l'alto. La forza per unità di massa è meno g lungo z, e l'equazione della statica si riduce a d P su d z uguale a meno rho g.","live":[],"does":[[294.53181249999994,"head_stev is shown on the screen, written out."],[294.53181249999994,"tank is shown on the screen, written out."],[294.53181249999994,"water is shown on the screen, written out."],[294.53181249999994,"surface is shown on the screen, written out."],[303.8043125,"tank moves to a new place on the board."],[303.8043125,"s0 is shown on the screen, written out."]]},{"start":308.09431249999994,"say":"Per un liquido incomprimibile la densità è costante. Integriamo fino alla superficie libera, a quota h, dove agisce la pressione atmosferica: è la legge di Stevino.","live":["s0","tank","head_stev","water","surface"],"does":[[311.76431249999996,"s1 is shown on the screen, written out."],[315.76431249999996,"patm is shown on the screen, written out."]]},{"start":318.85181249999994,"say":"Scendiamo con una sonda: un metro, poi due, poi giù fino al fondo. La pressione cresce di rho g per ogni metro di profondità.","live":["s0","s1","tank","head_stev","water","surface","patm"],"does":[[320.1243125,"probe is shown on the screen, written out."],[320.1243125,"drop is shown on the screen, written out."],[321.16431249999994,"probe is redrawn as the numbers it depends on change."],[321.16431249999994,"drop is redrawn as the numbers it depends on change."],[321.16431249999994,"depth ticks to 1.0."],[321.88431249999996,"probe is redrawn as the numbers it depends on change."],[321.88431249999996,"drop is redrawn as the numbers it depends on change."],[321.88431249999996,"depth ticks to 2.0."],[323.2443125,"probe is redrawn as the numbers it depends on change."],[323.2443125,"drop is redrawn as the numbers it depends on change."],[323.2443125,"depth ticks to 2.8."]]},{"start":327.82681249999996,"say":"Quanto bisogna scendere in acqua per raddoppiare la pressione atmosferica? Basta che rho g h valga un'atmosfera: mille per nove virgola otto per h, uguale a circa centomila pascal. Dunque circa dieci metri.","live":["s0","s1","tank","head_stev","water","surface","patm","probe","drop"],"does":[[332.0043124999999,"s2 is shown on the screen, written out."],[339.6043124999999,"s3 is shown on the screen, written out."]]},{"start":341.6793124999999,"say":"Ogni dieci metri di profondità, la pressione cresce di un'atmosfera.","live":["s0","s1","s2","s3","tank","head_stev","water","surface","patm","probe","drop"],"does":[[344.52431249999984,"s3 is indicated — a transient flash."],[346.0118124999999,"head_stev is hidden from the screen — left the board."],[346.0118124999999,"s0 is hidden from the screen — left the board."],[346.0118124999999,"s1 is hidden from the screen — left the board."],[346.0118124999999,"s2 is hidden from the screen — left the board."],[346.0118124999999,"s3 is hidden from the screen — left the board."],[346.0118124999999,"tank is hidden from the screen — left the board."],[346.0118124999999,"water is hidden from the screen — tank left the board."],[346.0118124999999,"surface is hidden from the screen — tank left the board."],[346.0118124999999,"patm is hidden from the screen — tank left the board."],[346.0118124999999,"probe is hidden from the screen — tank left the board."],[346.0118124999999,"drop is hidden from the screen — tank left the board."]]},{"start":347.21181249999995,"say":"Ecco una conseguenza sorprendente. Tre recipienti di forma diversa, con la stessa area di base, riempiti dello stesso liquido fino alla stessa altezza h.","live":[],"does":[[347.21181249999995,"head_ves is shown on the screen, written out."],[347.21181249999995,"vessels is shown on the screen, written out."],[349.9643124999999,"vessel_1 is shown on the screen, written out."],[350.3439628809949,"vessel_2 is shown on the screen, written out."],[350.4993110738151,"vessel_3 is shown on the screen, written out."],[356.1643124999999,"level is shown on the screen, written out."],[356.1643124999999,"h_mark is shown on the screen, written out."]]},{"start":357.7193124999999,"say":"Contengono masse molto diverse, eppure la pressione sul fondo è identica in tutti e tre, perché conta soltanto la profondità. È il paradosso idrostatico.","live":["vessels","head_ves","vessel_1","vessel_2","vessel_3","level","h_mark"],"does":[[361.00431249999986,"base_probe is shown on the screen, written out."],[361.92431249999987,"paradox is shown on the screen, written out."],[362.61731249999985,"base_probe is redrawn as the numbers it depends on change."],[362.61731249999985,"base_x ticks to 3.2."],[364.0843124999999,"base_probe is redrawn as the numbers it depends on change."],[364.0843124999999,"base_x ticks to 5.6."]]},{"start":368.2018124999999,"say":"Se colleghiamo i recipienti dal fondo otteniamo dei vasi comunicanti: il liquido incomprimibile si porta ovunque allo stesso livello, qualunque sia la forma dei rami.","live":["vessels","paradox","head_ves","vessel_1","vessel_2","vessel_3","level","h_mark","base_probe"],"does":[[368.6843124999998,"channel is shown on the screen, written out."],[375.3243124999998,"level is indicated — a transient flash."],[378.0918541666666,"head_ves is hidden from the screen — left the board."],[378.0918541666666,"paradox is hidden from the screen — left the board."],[378.0918541666666,"vessels is hidden from the screen — left the board."],[378.0918541666666,"vessel_1 is hidden from the screen — vessels left the board."],[378.0918541666666,"vessel_2 is hidden from the screen — vessels left the board."],[378.0918541666666,"vessel_3 is hidden from the screen — vessels left the board."],[378.0918541666666,"level is hidden from the screen — vessels left the board."],[378.0918541666666,"h_mark is hidden from the screen — vessels left the board."],[378.0918541666666,"base_probe is hidden from the screen — vessels left the board."],[378.0918541666666,"channel is hidden from the screen — vessels left the board."]]}]},{"title":"Misure, Archimede e Casi Estesi","start":379.13352083333325,"end":638.8325416666665,"objects":{"a0":"a Math [text] that says \"$bold(F)_(upright(\"sup\")) = - m_(upright(\"fl\")) bold(g)$\"","a1":"a Math [text] that says \"$F_A = rho_(upright(\"fl\")) V_(upright(\"imm\")) g$\"","a2":"a Math [text] that says \"$frac(V_(upright(\"imm\")), V_(upright(\"tot\"))) = frac(rho_s, rho_(upright(\"fl\")))$\"","air_1":"an Arrow [blue] labelled \"P_(upright(\"atm\"))\" drawn in baro (start=(1.0, 1.8), end=(1.0, 0.95))","air_2":"an Arrow [blue] drawn in baro (start=(4.0, 1.8), end=(4.0, 0.95))","apps":"a Text [text] that says \"Navi e mongolfiere galleggiano perché la loro densità media è minore di quella del fluido.\"","arch":"a Figure (x_range=(-0.3, 4.3), y_range=(-0.3, 3.4), aspect=(4.6, 3.7))","b0":"a Math [text] that says \"$P_(upright(\"atm\")) = rho_(upright(\"Hg\")) g h$\"","b1":"a Math [text] that says \"$h = frac(1.013 times 10^5, 13.6 times 10^3 dot 9.8) approx 0.76 thin upright(\"m\")$\"","baro":"a Figure (x_range=(0.0, 5.0), y_range=(0.0, 4.2), aspect=(5.0, 4.2))","basin":"a Polygon [blue] drawn in rodfig (vertices=((0.0, 0.0), (4.0, 0.0), (4.0, 2.6), (0.0, 2.6)))","body":"a Polygon [red] drawn in arch (vertices=((1.5, 1.0), (2.5, 1.0), (2.5, 2.0), (1.5, 2.0)), fill_opacity=0.7)","bowl":"a FunctionPlot [blue] drawn in bucket (function=<function>, x_range=(-1.2, 1.2))","bowl_water":"an AreaUnder [blue] drawn in bucket (x_range=(-1.2, 1.2), target='bowl')","bucket":"an Axes (x_range=(-1.4, 1.4), y_range=(0.0, 2.6), x_label='r')","buoy":"an Arrow [green] labelled \"F_A\" drawn in arch (start=(2.0, 1.5), end=(2.0, 2.7))","c0":"a Math [text] that says \"$dif P = rho (omega^2 r dif r - g dif z)$\"","c1":"a Math [text] that says \"$z = h_0 + frac(omega^2, 2 g) r^2$\"","c2":"a Math [text] that says \"$omega approx 5 times 10^4 thin upright(\"rad/s\")$\"","cap":"a Line [gray] drawn in baro (start=(2.2, 3.8), end=(2.8, 3.8))","column":"a Polygon [red] drawn in baro (vertices=((2.2, 0.5), (2.8, 0.5), (2.8, 3.0), (2.2, 3.0)), fill_opacity=0.7)","dd":"a VariableNumber","dish":"a Polygon [red] drawn in baro (vertices=((0.5, 0.2), (4.5, 0.2), (4.5, 0.9), (0.5, 0.9)), fill_opacity=0.5)","flat":"a FunctionPlot [gray] drawn in bucket (function=<function>, x_range=(-1.2, 1.2))","force_F":"an Arrow [red] labelled \"F\" drawn in press (start=(3.0, (1.85 + (dd / 5.0))), end=(3.0, (2.85 + (dd / 5.0))))","force_f":"an Arrow [red] labelled \"f\" drawn in press (start=(0.8, (3.0 - dd)), end=(0.8, (2.35 - dd)))","ghost":"a Polygon [blue] drawn in arch (vertices=((1.5, 1.0), (2.5, 1.0), (2.5, 2.0), (1.5, 2.0)), fill_opacity=0.65)","h_col":"a Line [yellow] labelled \"h\" drawn in baro (start=(3.3, 0.9), end=(3.3, 3.0), dashed=True)","head_arch":"a Heading that says \"Il Principio di Archimede\"","head_baro":"a Heading that says \"Il Barometro di Torricelli\"","head_man":"a Heading that says \"Il Manometro ad U\"","head_pas":"a Heading that says \"Pascal e il Torchio Idraulico\"","head_rod":"a Heading that says \"L'Asta che Oscilla\"","head_rot":"a Heading that says \"Il Secchio Rotante\"","heavy":"a Polygon [red] drawn in utube (vertices=((1.0, 0.0), (3.6, 0.0), (3.6, 2.0), (3.0, 2.0), (3.0, 0.6), (1…, fill_opacity=0.5)","isobar":"a Line [green] drawn in utube (start=(0.5, 1.2), end=(4.1, 1.2), dashed=True)","light":"a Polygon [yellow] drawn in utube (vertices=((1.0, 1.2), (1.6, 1.2), (1.6, 3.2), (1.0, 3.2)), fill_opacity=0.5)","m0":"a Math [text] that says \"$Delta P = P_1 - P_2 = rho g h$\"","m1":"a Math [text] that says \"$rho_1 g z_1 = rho_2 g z_2$\"","oil":"a Polygon [blue] drawn in press (vertices=((0.6, 0.0), (4.0, 0.0), (4.0, (1.5 + (dd / 5.0))), (2.0, (1.5 …)","p_bot":"an Arrow [yellow] drawn in arch (start=(2.0, 0.1), end=(2.0, 0.92))","p_left":"an Arrow [yellow] drawn in arch (start=(0.7, 1.5), end=(1.42, 1.5))","p_right":"an Arrow [yellow] drawn in arch (start=(3.3, 1.5), end=(2.58, 1.5))","p_top":"an Arrow [yellow] drawn in arch (start=(2.0, 2.7), end=(2.0, 2.08))","piston_b":"a Polygon [gray] drawn in press (vertices=((2.0, (1.5 + (dd / 5.0))), (4.0, (1.5 + (dd / 5.0))), (4.0, (1…, fill_opacity=0.8)","piston_s":"a Polygon [gray] drawn in press (vertices=((0.6, (2.0 - dd)), (1.0, (2.0 - dd)), (1.0, (2.3 - dd)), (0.6,…, fill_opacity=0.8)","pool":"a Polygon [blue] drawn in arch (vertices=((0.0, 0.0), (4.0, 0.0), (4.0, 3.0), (0.0, 3.0)), fill_opacity=0.2)","press":"a Figure (x_range=(0.2, 4.4), y_range=(-0.2, 3.4), aspect=(4.2, 3.6))","q0":"a Math [text] that says \"$F = f thin frac(S, s)$\"","q1":"a Math [text] that says \"$s h = S H$\"","r0":"a Math [text] that says \"$rho_s L S g = rho_l (L - h) S g$\"","r1":"a Math [text] that says \"$F = - rho_l S g z$\"","r2":"a Math [text] that says \"$omega^2 = frac(rho_l g, rho_s L)$\"","rod":"a Polygon [red] drawn in rodfig (vertices=((1.8, (0.6 + zz)), (2.2, (0.6 + zz)), (2.2, (3.6 + zz)), (1.8,…, fill_opacity=0.7)","rodfig":"a Figure (x_range=(0.0, 4.0), y_range=(-0.2, 4.4), aspect=(4.0, 4.6))","utube":"a Figure (x_range=(0.0, 4.6), y_range=(-0.2, 3.6), aspect=(4.6, 3.8))","vacuum":"a Math [text] that says \"$upright(\"vuoto\")$\" drawn in baro","wall_l":"a Line [gray] drawn in baro (start=(2.2, 0.5), end=(2.2, 3.8))","wall_r":"a Line [gray] drawn in baro (start=(2.8, 0.5), end=(2.8, 3.8))","z1_mark":"a Line [yellow] labelled \"z_1\" drawn in utube (start=(0.7, 1.2), end=(0.7, 3.2))","z2_mark":"a Line [red] labelled \"z_2\" drawn in utube (start=(3.9, 1.2), end=(3.9, 2.0))","zz":"a VariableNumber"},"beats":[{"start":379.13352083333325,"say":"Come si misura la pressione atmosferica? Torricelli riempì di mercurio un tubo chiuso a un'estremità e lo capovolse in una vaschetta piena dello stesso liquido.","live":[],"does":[[379.13352083333325,"head_baro is shown on the screen, written out."],[379.13352083333325,"baro is shown on the screen, written out."],[383.69352083333325,"wall_l is shown on the screen, written out."],[383.69352083333325,"wall_r is shown on the screen, written out."],[383.69352083333325,"cap is shown on the screen, written out."],[385.45352083333324,"column is shown on the screen, written out."],[386.25352083333325,"dish is shown on the screen, written out."]]},{"start":388.98852083333327,"say":"La colonna scende un poco e si ferma. Sopra resta il vuoto, a pressione praticamente nulla, mentre sulla vaschetta preme l'atmosfera.","live":["baro","head_baro","wall_l","wall_r","cap","column","dish"],"does":[[392.69352083333325,"vacuum is shown on the screen, written out."],[396.37352083333326,"air_1 is shown on the screen, written out."],[396.4943348467284,"air_2 is shown on the screen, written out."]]},{"start":398.18352083333326,"say":"Sulla isobara del pelo libero, la pressione atmosferica equilibra il peso della colonna. Con i numeri, l'altezza risulta di settantasei centimetri: settecentosessanta millimetri di mercurio.","live":["baro","head_baro","wall_l","wall_r","cap","column","dish","vacuum","air_1","air_2"],"does":[[401.2935208333333,"baro moves to a new place on the board."],[401.2935208333333,"b0 is shown on the screen, written out."],[402.49352083333326,"h_col is shown on the screen, written out."],[403.61352083333327,"b1 is shown on the screen, written out."]]},{"start":410.05352083333327,"say":"Perché il mercurio? Perché è tredici virgola sei volte più denso dell'acqua. Con l'acqua servirebbe un tubo alto più di dieci metri.","live":["b0","b1","baro","head_baro","wall_l","wall_r","cap","column","dish","vacuum","air_1","air_2","h_col"],"does":[[413.81352083333326,"b0 (the \"rho_(upright(\"Hg\"))\" part) is emphasized."],[415.8535208333333,"b0 (the \"rho_(upright(\"Hg\"))\" part) is no longer emphasized."],[418.45102083333325,"b0 is hidden from the screen — left the board."],[418.45102083333325,"b1 is hidden from the screen — left the board."],[418.45102083333325,"baro is hidden from the screen — left the board."],[418.45102083333325,"wall_l is hidden from the screen — baro left the board."],[418.45102083333325,"wall_r is hidden from the screen — baro left the board."],[418.45102083333325,"cap is hidden from the screen — baro left the board."],[418.45102083333325,"column is hidden from the screen — baro left the board."],[418.45102083333325,"dish is hidden from the screen — baro left the board."],[418.45102083333325,"vacuum is hidden from the screen — baro left the board."],[418.45102083333325,"air_1 is hidden from the screen — baro left the board."],[418.45102083333325,"air_2 is hidden from the screen — baro left the board."],[418.45102083333325,"h_col is hidden from the screen — baro left the board."],[418.45102083333325,"head_baro is hidden from the screen — left the board."]]},{"start":419.65102083333323,"say":"Per misurare una differenza di pressione si usa il manometro a U. Il dislivello h del liquido nei due rami dà subito delta P uguale a rho g h.","live":[],"does":[[419.65102083333323,"head_man is shown on the screen, written out."],[419.65102083333323,"utube is shown on the screen, written out."],[422.37352083333326,"heavy is shown on the screen, written out."],[423.7335208333333,"m0 is shown on the screen, written out."]]},{"start":429.7285208333333,"say":"E se nel tubo ci sono due liquidi immiscibili? Il più leggero, di densità rho uno, sta nel ramo di sinistra, sopra il più pesante.","live":["m0","utube","head_man","heavy"],"does":[[433.21352083333323,"light is shown on the screen, written out."]]},{"start":438.56852083333325,"say":"Il trucco è scegliere l'isobara giusta: quella che passa esattamente per la superficie di separazione. Allo stesso livello, nell'altro ramo, c'è lo stesso liquido pesante, quindi la stessa pressione.","live":["m0","utube","head_man","heavy","light"],"does":[[440.45352083333324,"isobar is shown on the screen, written out."]]},{"start":450.87852083333325,"say":"Sopra quella linea, le due colonne pesano lo stesso: rho uno g z uno uguale a rho due g z due. Dal rapporto delle altezze si legge il rapporto delle densità.","live":["m0","utube","head_man","heavy","light","isobar"],"does":[[452.49352083333326,"z1_mark is shown on the screen, written out."],[452.7523674912625,"z2_mark is shown on the screen, written out."],[455.77352083333324,"m1 is shown on the screen, written out."],[461.3460208333332,"head_man is hidden from the screen — left the board."],[461.3460208333332,"m0 is hidden from the screen — left the board."],[461.3460208333332,"m1 is hidden from the screen — left the board."],[461.3460208333332,"utube is hidden from the screen — left the board."],[461.3460208333332,"heavy is hidden from the screen — utube left the board."],[461.3460208333332,"light is hidden from the screen — utube left the board."],[461.3460208333332,"isobar is hidden from the screen — utube left the board."],[461.3460208333332,"z1_mark is hidden from the screen — utube left the board."],[461.3460208333332,"z2_mark is hidden from the screen — utube left the board."]]},{"start":462.5460208333333,"say":"Immergiamo ora un corpo in un liquido. Su ogni faccia il liquido preme in direzione normale, e preme di più sotto che sopra, perché sotto è più profondo.","live":[],"does":[[462.5460208333333,"head_arch is shown on the screen, written out."],[462.5460208333333,"arch is shown on the screen, written out."],[462.5460208333333,"pool is shown on the screen, written out."],[463.7735208333333,"body is shown on the screen, written out."],[467.5735208333333,"p_top is shown on the screen, written out."],[467.7115755173315,"p_bot is shown on the screen, written out."],[467.84963020132966,"p_left is shown on the screen, written out."],[467.9876848853279,"p_right is shown on the screen, written out."]]},{"start":472.67602083333327,"say":"Per calcolare la risultante usiamo un'idea elegante: sostituiamo il corpo con una porzione dello stesso liquido, di forma identica. Quella porzione era in equilibrio, quindi le forze di superficie bilanciano esattamente il suo peso.","live":["arch","head_arch","pool","body","p_top","p_bot","p_left","p_right"],"does":[[476.0935208333333,"body is hidden from the screen."],[476.0935208333333,"ghost is shown on the screen, written out."],[483.9735208333333,"arch moves to a new place on the board."],[483.9735208333333,"a0 is shown on the screen, written out."]]},{"start":486.71602083333323,"say":"Ma le forze di superficie dipendono solo dal liquido esterno. Rimettiamo il corpo al suo posto: la spinta resta la stessa, diretta verso l'alto e pari al peso del liquido spostato.","live":["a0","arch","head_arch","pool","p_top","p_bot","p_left","p_right","ghost"],"does":[[490.5335208333333,"ghost is hidden from the screen."],[490.5335208333333,"body is shown on the screen, written out."],[492.49352083333326,"p_top is hidden from the screen."],[492.49352083333326,"p_bot is hidden from the screen."],[492.49352083333326,"p_left is hidden from the screen."],[492.49352083333326,"p_right is hidden from the screen."],[494.0935208333333,"buoy is shown on the screen, written out."],[495.7735208333333,"a1 is shown on the screen, written out."]]},{"start":497.9110208333333,"say":"Se il corpo è meno denso del liquido, galleggia, con una frazione immersa pari al rapporto tra le densità. A densità uguali resta in equilibrio in ogni punto, e se è più denso affonda.","live":["a0","a1","arch","head_arch","pool","body","buoy"],"does":[[501.25352083333325,"a2 is shown on the screen, written out."]]},{"start":509.6610208333333,"say":"Così una nave d'acciaio galleggia grazie all'aria racchiusa nello scafo, e una mongolfiera sale scaldando l'aria interna, o con l'elio, perché l'aria al suolo ha densità di circa uno virgola tre chilogrammi al metro cubo.","live":["a0","a1","a2","arch","head_arch","pool","body","buoy"],"does":[[510.4535208333333,"apps is shown on the screen, written out."],[522.3210208333333,"a0 is hidden from the screen — left the board."],[522.3210208333333,"a1 is hidden from the screen — left the board."],[522.3210208333333,"a2 is hidden from the screen — left the board."],[522.3210208333333,"apps is hidden from the screen — left the board."],[522.3210208333333,"arch is hidden from the screen — left the board."],[522.3210208333333,"pool is hidden from the screen — arch left the board."],[522.3210208333333,"body is hidden from the screen — arch left the board."],[522.3210208333333,"buoy is hidden from the screen — arch left the board."],[522.3210208333333,"head_arch is hidden from the screen — left the board."]]},{"start":523.5210208333333,"say":"Un esempio dinamico. Un'asta di sezione S e lunghezza L galleggia verticale: all'equilibrio il suo peso uguaglia la spinta sulla parte immersa, lunga L meno h.","live":[],"does":[[523.5210208333333,"head_rod is shown on the screen, written out."],[523.5210208333333,"rodfig is shown on the screen, written out."],[523.5210208333333,"basin is shown on the screen, written out."],[525.7735208333332,"rod is shown on the screen, written out."],[530.2935208333333,"rodfig moves to a new place on the board."],[530.2935208333333,"r0 is shown on the screen, written out."]]},{"start":534.7960208333333,"say":"Spingiamola in giù di un tratto z. La parte immersa cresce, e la spinta in eccesso la riporta indietro con una forza proporzionale allo spostamento e di verso opposto.","live":["r0","rodfig","head_rod","basin","rod"],"does":[[535.0135208333332,"rod is redrawn as the numbers it depends on change."],[535.0135208333332,"zz ticks to -0.5."],[541.4935208333332,"r1 is shown on the screen, written out."]]},{"start":545.4935208333333,"say":"È una forza elastica. Lasciata andare, l'asta sale, scende, risale ancora: oscilla di moto armonico semplice, con pulsazione al quadrato uguale a rho l g diviso rho s L.","live":["r0","r1","rodfig","head_rod","basin","rod"],"does":[[549.1335208333333,"rod is redrawn as the numbers it depends on change."],[549.1335208333333,"zz ticks to 0.45."],[549.7735208333332,"rod is redrawn as the numbers it depends on change."],[549.7735208333332,"zz ticks to -0.35."],[550.4935208333332,"rod is redrawn as the numbers it depends on change."],[550.4935208333332,"zz ticks to 0.25."],[551.8535208333333,"rod is redrawn as the numbers it depends on change."],[551.8535208333333,"zz ticks to 0.0."],[554.1335208333333,"r2 is shown on the screen, written out."],[558.7260208333332,"head_rod is hidden from the screen — left the board."],[558.7260208333332,"r0 is hidden from the screen — left the board."],[558.7260208333332,"r1 is hidden from the screen — left the board."],[558.7260208333332,"r2 is hidden from the screen — left the board."],[558.7260208333332,"rodfig is hidden from the screen — left the board."],[558.7260208333332,"basin is hidden from the screen — rodfig left the board."],[558.7260208333332,"rod is hidden from the screen — rodfig left the board."]]},{"start":559.9260208333333,"say":"Mettiamo in rotazione un secchio d'acqua con velocità angolare omega, e osserviamolo dal riferimento che ruota con esso. A riposo, la superficie è piana.","live":[],"does":[[559.9260208333333,"head_rot is shown on the screen, written out."],[559.9260208333333,"bucket is shown on the screen, written out."],[567.0535208333332,"flat is shown on the screen, written out."]]},{"start":569.7130208333333,"say":"Nel riferimento rotante, oltre al peso, ogni elemento sente la forza centrifuga d m omega quadro r. Le equazioni della statica valgono ancora, con questa forza in più.","live":["bucket","head_rot","flat"],"does":[[577.3335208333332,"bucket moves to a new place on the board."],[577.3335208333332,"c0 is shown on the screen, written out."]]},{"start":581.2435208333333,"say":"Integrando, le superfici isobare, e quindi la superficie libera, diventano paraboloidi di rotazione: z uguale h zero più omega quadro su due g per r quadro.","live":["c0","bucket","head_rot","flat"],"does":[[581.6135208333332,"flat is hidden from the screen."],[586.1735208333332,"bowl is shown on the screen, written out."],[586.1735208333332,"bowl_water is shown on the screen, written out."],[588.5735208333332,"c1 is shown on the screen, written out."]]},{"start":593.5035208333333,"say":"Le ultracentrifughe sfruttano lo stesso effetto a circa cinquantamila radianti al secondo: l'enorme gradiente radiale di pressione separa sostanze che differiscono in densità anche solo dell'uno per cento.","live":["c0","c1","bucket","head_rot","bowl","bowl_water"],"does":[[594.1335208333331,"c2 is shown on the screen, written out."],[605.8360208333332,"bucket is hidden from the screen — left the board."],[605.8360208333332,"bowl is hidden from the screen — bucket left the board."],[605.8360208333332,"bowl_water is hidden from the screen — bucket left the board."],[605.8360208333332,"c0 is hidden from the screen — left the board."],[605.8360208333332,"c1 is hidden from the screen — left the board."],[605.8360208333332,"c2 is hidden from the screen — left the board."],[605.8360208333332,"head_rot is hidden from the screen — left the board."]]},{"start":607.0360208333332,"say":"Infine il principio di Pascal: una variazione di pressione applicata a un fluido incomprimibile si trasmette inalterata in ogni suo punto.","live":[],"does":[[607.0360208333332,"head_pas is shown on the screen, written out."],[607.0360208333332,"press is shown on the screen, written out."],[607.0360208333332,"oil is shown on the screen, written out."],[607.0360208333332,"piston_s is shown on the screen, written out."],[607.0360208333332,"piston_b is shown on the screen, written out."]]},{"start":616.2660208333332,"say":"Nel torchio idraulico premo con una piccola forza f sul pistone stretto. La stessa pressione agisce sul pistone largo, che riceve una forza più grande nel rapporto delle sezioni.","live":["press","head_pas","oil","piston_s","piston_b"],"does":[[617.853520833333,"force_f is shown on the screen, written out."],[623.2135208333331,"force_F is shown on the screen, written out."],[625.613520833333,"press moves to a new place on the board."],[625.613520833333,"q0 is shown on the screen, written out."]]},{"start":627.5885208333332,"say":"Non si crea energia dal nulla, però. Il volume spostato è lo stesso, quindi il pistone stretto scende molto mentre quello largo sale poco, e il lavoro si conserva.","live":["q0","press","head_pas","oil","piston_s","piston_b","force_f","force_F"],"does":[[630.2935208333331,"q1 is shown on the screen, written out."],[633.3335208333331,"oil is redrawn as the numbers it depends on change."],[633.3335208333331,"piston_s is redrawn as the numbers it depends on change."],[633.3335208333331,"piston_b is redrawn as the numbers it depends on change."],[633.3335208333331,"force_f is redrawn as the numbers it depends on change."],[633.3335208333331,"force_F is redrawn as the numbers it depends on change."],[633.3335208333331,"dd ticks to 1.0."],[637.7908749999999,"head_pas is hidden from the screen — left the board."],[637.7908749999999,"press is hidden from the screen — left the board."],[637.7908749999999,"oil is hidden from the screen — press left the board."],[637.7908749999999,"piston_s is hidden from the screen — press left the board."],[637.7908749999999,"piston_b is hidden from the screen — press left the board."],[637.7908749999999,"force_f is hidden from the screen — press left the board."],[637.7908749999999,"force_F is hidden from the screen — press left the board."],[637.7908749999999,"q0 is hidden from the screen — left the board."],[637.7908749999999,"q1 is hidden from the screen — left the board."]]}]},{"title":"Cinematica e Teorema di Bernoulli","start":638.8325416666665,"end":816.6703333333332,"objects":{"bern_res":"a Math [text] that says \"$P + frac(1, 2) rho v^2 + rho g z = upright(\"costante\")$\"","bern_work":"a Derivation [text] that says \"$dif W_P &= P_1 S_1 dif s_1 - P_2 S_2 dif s_2 \\ &= (P_1 - P_2) dif V \\ dif W_g &= - rho dif V thin g (z_2 - z_1) \\ dif W_P + dif W_g &= frac(1, 2) rho dif V (v_2^2 - v_1^2)$\"","cut_1":"a Line [green] labelled \"S_1\" drawn in pipe (start=(0.5, 0.42), end=(0.5, 1.48))","cut_2":"a Line [green] labelled \"S_2\" drawn in pipe (start=(4.5, 1.92), end=(4.5, 2.48))","flow":"a Figure (x_range=(-3.4, 3.4), y_range=(-1.5, 1.5), aspect=(6.8, 3.0))","head_bern":"a Heading that says \"Il Teorema di Bernoulli\"","head_cont":"a Heading that says \"L'Equazione di Continuità\"","head_kin":"a Heading that says \"Due Modi di Guardare il Moto\"","head_visc":"a Heading that says \"Viscosità e Fluido Ideale\"","ideal_def":"a Panel that says \"Incomprimibile, con $rho$ costante, e non viscoso, con $eta = 0$.\"","k0":"a Math [text] that says \"$rho_1 S_1 v_1 = rho_2 S_2 v_2$\"","k1":"a Math [text] that says \"$Q = S v = upright(\"costante\") quad [upright(\"m\")^3 / upright(\"s\")]$\"","layers":"a Figure (x_range=(-0.5, 5.0), y_range=(-0.4, 3.0), aspect=(5.5, 3.4))","pipe":"a Figure (x_range=(-0.7, 5.7), y_range=(0.0, 2.9), aspect=(6.4, 2.9))","plate":"a Line [gray] drawn in layers (start=(0.0, 2.3), end=(4.6, 2.3))","probe":"a Vector [red] labelled \"bold(v)(bold(r), t)\" drawn in flow (start=(-2.0, -0.35), end=(-1.45, -0.35))","push_1":"an Arrow [red] labelled \"P_1 S_1\" drawn in pipe (start=(-0.6, 0.95), end=(0.45, 0.95))","push_2":"an Arrow [red] labelled \"P_2 S_2\" drawn in pipe (start=(5.6, 2.2), end=(4.55, 2.2))","rider":"a Point [yellow] drawn in flow (location=(<VariableNumber tp = 3.0>, (0.7 * (1.0 - (0.5 / (1.0 + (tp * t…)","sec_1":"a Line [green] labelled \"S_1\" drawn in flow (start=(-2.8, -1.1), end=(-2.8, 1.1))","sec_2":"a Line [green] labelled \"S_2\" drawn in flow (start=(0.0, -0.58), end=(0.0, 0.58))","speeds":"an Arrow [blue] drawn in layers (start=(0.3, 0.5), end=(0.675, 0.5))","speeds_2":"an Arrow [blue] drawn in layers (start=(0.3, 1.0), end=(1.05, 1.0))","speeds_3":"an Arrow [blue] drawn in layers (start=(0.3, 1.5), end=(1.425, 1.5))","speeds_4":"an Arrow [blue] drawn in layers (start=(0.3, 2.0), end=(1.8, 2.0))","steady":"a Math [text] that says \"$frac(partial bold(v), partial t) = 0 quad upright(\"(regime stazionario)\")$\"","stream_bot":"a ParametricCurve [blue] drawn in flow (function=<function>, t_range=(-3.2, 3.2))","stream_mid":"a ParametricCurve [blue] drawn in flow (function=<function>, t_range=(-3.2, 3.2))","stream_top":"a ParametricCurve [blue] drawn in flow (function=<function>, t_range=(-3.2, 3.2))","tp":"a VariableNumber (initial_value=-3.0)","tube":"a Polygon [blue] drawn in pipe (vertices=((0.0, 0.4), (1.5, 0.4), (3.5, 1.9), (5.0, 1.9), (5.0, 2.5), (3…)","vel_1":"a Vector [yellow] labelled \"v_1\" drawn in flow (start=(-2.8, 0.0), end=(-2.3, 0.0))","vel_2":"a Vector [yellow] labelled \"v_2\" drawn in flow (end=(0.94, 0.0))","visc":"a Math [text] that says \"$dif F = eta S frac(dif v, dif n)$\"","wall":"a Line [gray] drawn in layers (end=(4.6, 0.0))","wall_bot":"a ParametricCurve [gray] drawn in flow (function=<function>, t_range=(-3.2, 3.2))","wall_top":"a ParametricCurve [gray] drawn in flow (function=<function>, t_range=(-3.2, 3.2))"},"beats":[{"start":638.8325416666665,"say":"Passiamo ai fluidi in moto. Nei fluidi reali, strati adiacenti che scorrono a velocità diverse si frenano a vicenda: è la viscosità.","live":[],"does":[[638.8325416666665,"head_visc is shown on the screen, written out."],[638.8325416666665,"layers is shown on the screen, written out."],[638.8325416666665,"wall is shown on the screen, written out."],[638.8325416666665,"plate is shown on the screen, written out."],[641.9525416666665,"speeds is shown on the screen, written out."],[642.100478339389,"speeds_2 is shown on the screen, written out."],[642.2484150121116,"speeds_3 is shown on the screen, written out."],[642.3954754844708,"speeds_4 is shown on the screen, written out."]]},{"start":647.9775416666665,"say":"La forza tra due strati è proporzionale all'area S e al gradiente di velocità nella direzione normale. Il coefficiente eta si misura in pascal per secondo, oppure in poise.","live":["layers","head_visc","wall","plate","speeds","speeds_2","speeds_3","speeds_4"],"does":[[649.7525416666665,"layers moves to a new place on the board."],[649.7525416666665,"visc is shown on the screen, written out."]]},{"start":659.2000416666665,"say":"Un fluido ideale è un'astrazione molto utile: incomprimibile, quindi a densità costante, e privo di viscosità. È il modello in cui varrà il teorema di Bernoulli.","live":["visc","layers","head_visc","wall","plate","speeds","speeds_2","speeds_3","speeds_4"],"does":[[661.5525416666666,"ideal_def is shown on the screen, written out."],[668.9375416666666,"head_visc is hidden from the screen — left the board."],[668.9375416666666,"ideal_def is hidden from the screen — left the board."],[668.9375416666666,"layers is hidden from the screen — left the board."],[668.9375416666666,"wall is hidden from the screen — layers left the board."],[668.9375416666666,"plate is hidden from the screen — layers left the board."],[668.9375416666666,"speeds is hidden from the screen — layers left the board."],[668.9375416666666,"speeds_2 is hidden from the screen — layers left the board."],[668.9375416666666,"speeds_3 is hidden from the screen — layers left the board."],[668.9375416666666,"speeds_4 is hidden from the screen — layers left the board."],[668.9375416666666,"visc is hidden from the screen — left the board."]]},{"start":670.1375416666665,"say":"Per descrivere il moto abbiamo due punti di vista. Nella descrizione lagrangiana seguiamo la singola particella di fluido lungo il suo cammino.","live":[],"does":[[670.1375416666665,"head_kin is shown on the screen, written out."],[670.1375416666665,"flow is shown on the screen, written out."],[670.1375416666665,"wall_top is shown on the screen, written out."],[670.1375416666665,"wall_bot is shown on the screen, written out."],[674.0325416666666,"stream_top is shown on the screen, written out."],[675.9125416666666,"rider is shown on the screen, written out."],[677.5525416666666,"rider is redrawn as the numbers it depends on change."],[677.5525416666666,"tp ticks to 3.0."]]},{"start":678.7625416666665,"say":"Nella descrizione euleriana, invece, restiamo fermi in un punto dello spazio e guardiamo come cambiano lì densità, pressione e velocità nel tempo.","live":["flow","head_kin","wall_top","wall_bot","stream_top","rider"],"does":[[681.7525416666665,"probe is shown on the screen, written out."]]},{"start":688.2200416666666,"say":"Se in ogni punto le grandezze non dipendono dal tempo, il regime è stazionario. Allora le linee di corrente coincidono con le traiettorie, non si intersecano mai, e prendono il nome di linee di flusso.","live":["flow","head_kin","wall_top","wall_bot","stream_top","rider","probe"],"does":[[692.1125416666665,"steady is shown on the screen, written out."],[693.9525416666665,"stream_mid is shown on the screen, written out."],[694.0905669485251,"stream_bot is shown on the screen, written out."]]},{"start":700.8775416666665,"say":"Un fascio di linee di flusso forma un tubo di flusso: il fluido non ne attraversa mai le pareti, come se fosse una condotta.","live":["flow","steady","head_kin","wall_top","wall_bot","stream_top","rider","probe","stream_mid","stream_bot"],"does":[[701.3525416666665,"stream_top is indicated — a transient flash."],[701.3525416666665,"stream_bot is indicated — a transient flash."],[708.4200416666665,"flow moves to a new place on the board."],[708.4200416666665,"head_kin is hidden from the screen — left the board."],[708.4200416666665,"steady is hidden from the screen — left the board."]]},{"start":709.6200416666666,"say":"Ora la conservazione della massa. In regime stazionario, la massa che entra da una sezione del tubo nell'unità di tempo è uguale a quella che esce dall'altra.","live":["flow","wall_top","wall_bot","stream_top","rider","probe","stream_mid","stream_bot"],"does":[[709.6200416666666,"head_cont is shown on the screen, written out."],[711.2725416666665,"k0 is shown on the screen, written out."],[713.9125416666666,"sec_1 is shown on the screen, written out."],[717.5125416666665,"sec_2 is shown on the screen, written out."]]},{"start":719.0850416666665,"say":"Per un fluido incomprimibile la densità si semplifica, e resta la portata volumetrica Q, uguale a sezione per velocità, costante lungo tutta la condotta. È il teorema di continuità, già intuito da Leonardo.","live":["flow","wall_top","wall_bot","stream_top","rider","probe","stream_mid","stream_bot","k0","head_cont","sec_1","sec_2"],"does":[[722.8725416666665,"k1 is shown on the screen, written out."]]},{"start":732.1725416666666,"say":"L'effetto è puramente cinematico: dove il tubo si stringe la velocità aumenta, e le linee di flusso si addensano.","live":["flow","wall_top","wall_bot","stream_top","rider","probe","stream_mid","stream_bot","k0","k1","head_cont","sec_1","sec_2"],"does":[[733.6725416666666,"vel_1 is shown on the screen, written out."],[736.2725416666666,"vel_2 is shown on the screen, written out."],[738.9075416666666,"flow is hidden from the screen — left the board."],[738.9075416666666,"wall_top is hidden from the screen — flow left the board."],[738.9075416666666,"wall_bot is hidden from the screen — flow left the board."],[738.9075416666666,"stream_top is hidden from the screen — flow left the board."],[738.9075416666666,"rider is hidden from the screen — flow left the board."],[738.9075416666666,"probe is hidden from the screen — flow left the board."],[738.9075416666666,"stream_mid is hidden from the screen — flow left the board."],[738.9075416666666,"stream_bot is hidden from the screen — flow left the board."],[738.9075416666666,"sec_1 is hidden from the screen — flow left the board."],[738.9075416666666,"sec_2 is hidden from the screen — flow left the board."],[738.9075416666666,"vel_1 is hidden from the screen — flow left the board."],[738.9075416666666,"vel_2 is hidden from the screen — flow left the board."],[738.9075416666666,"head_cont is hidden from the screen — left the board."],[738.9075416666666,"k0 is hidden from the screen — left the board."],[738.9075416666666,"k1 is hidden from the screen — left the board."]]},{"start":740.1075416666665,"say":"Ecco il cuore della dinamica dei fluidi ideali. Seguiamo, in regime stazionario e irrotazionale, il fluido contenuto in un tratto di tubo di flusso tra le sezioni uno e due.","live":[],"does":[[740.1075416666665,"head_bern is shown on the screen, written out."],[740.1075416666665,"pipe is shown on the screen, written out."],[740.1075416666665,"tube is shown on the screen, written out."],[749.1525416666666,"cut_1 is shown on the screen, written out."],[749.3768574143858,"cut_2 is shown on the screen, written out."]]},{"start":751.2325416666665,"say":"In un tempo d t la sezione uno avanza di d s uno, la sezione due di d s due. Le forze di pressione compiono un lavoro, e per continuità i due volumi spostati sono lo stesso d V.","live":["pipe","head_bern","tube","cut_1","cut_2"],"does":[[757.4725416666665,"push_1 is shown on the screen, written out."],[757.6335859990952,"push_2 is shown on the screen, written out."],[758.8725416666666,"pipe moves to a new place on the board."],[758.8725416666666,"bern_work is shown on the screen, written out."],[760.7125416666665,"bern_work is shown on the screen, written out."]]},{"start":763.6825416666666,"say":"La gravità compie invece un lavoro negativo, perché la massa rho d V sale dalla quota z uno alla quota z due.","live":["pipe","head_bern","tube","cut_1","cut_2","push_1","push_2"],"does":[[765.5925416666666,"bern_work is shown on the screen, written out."]]},{"start":771.5975416666665,"say":"Per il teorema dell'energia cinetica la somma dei lavori uguaglia la variazione di energia cinetica di quella massa. Dividiamo per d V e raccogliamo i termini con lo stesso indice.","live":null,"does":[[773.7925416666666,"bern_work is shown on the screen, written out."]]},{"start":781.9725416666665,"say":"Il risultato è il teorema di Bernoulli: la somma di pressione, di un mezzo rho v quadro e di rho g z è costante lungo il tubo di flusso.","live":null,"does":[[782.3125416666666,"bern_res is shown on the screen, written out."],[789.0325416666666,"A box is drawn around bern_res."]]},{"start":791.5075416666666,"say":"Ogni termine è una densità di energia: la pressione statica, l'energia cinetica per unità di volume, e l'energia potenziale per unità di volume. Bernoulli è la conservazione dell'energia, scritta per metro cubo di fluido.","live":["bern_res","pipe","head_bern","tube","cut_1","cut_2","push_1","push_2"],"does":[[795.3925416666666,"bern_res (the \"P\" part) is emphasized."],[796.5125416666666,"bern_res (the \"P\" part) is no longer emphasized."],[796.5125416666666,"bern_res (the \"frac(1, 2) rho v^2\" part) is emphasized."],[799.0725416666667,"bern_res (the \"frac(1, 2) rho v^2\" part) is no longer emphasized."],[799.0725416666667,"bern_res (the \"rho g z\" part) is emphasized."],[801.3125416666666,"bern_res (the \"rho g z\" part) is no longer emphasized."]]},{"start":806.4925416666665,"say":"E se il fluido è fermo, con v uguale a zero, resta P più rho g z costante: ritroviamo esattamente la legge di Stevino.","live":null,"does":[[813.0325416666666,"bern_res (the \"rho g z\" part) is indicated — a transient flash."],[815.6286666666665,"bern_res is hidden from the screen — left the board."],[815.6286666666665,"bern_work is hidden from the screen — left the board."],[815.6286666666665,"head_bern is hidden from the screen — left the board."],[815.6286666666665,"pipe is hidden from the screen — left the board."],[815.6286666666665,"tube is hidden from the screen — pipe left the board."],[815.6286666666665,"cut_1 is hidden from the screen — pipe left the board."],[815.6286666666665,"cut_2 is hidden from the screen — pipe left the board."],[815.6286666666665,"push_1 is hidden from the screen — pipe left the board."],[815.6286666666665,"push_2 is hidden from the screen — pipe left the board."]]}]},{"title":"Applicazioni e Fluidi Reali","start":816.6703333333332,"end":1089.4828125,"objects":{"H_line":"a Line [gray] labelled \"H\" drawn in tankfig (start=(-0.15, 0.0), end=(-0.15, 3.0), dashed=True)","ball":"a Figure (x_range=(0.0, 5.0), y_range=(0.0, 3.4), aspect=(5.0, 3.4))","col_1":"a Polygon [blue] drawn in venturi (vertices=((0.6, 2.4), (0.9, 2.4), (0.9, 3.6), (0.6, 3.6)), fill_opacity=0.6)","col_2":"a Polygon [blue] drawn in venturi (vertices=((2.85, 2.0), (3.15, 2.0), (3.15, 2.9), (2.85, 2.9)), fill_opacity=0.6)","critical":"a PlotPoint [yellow] labelled \"v_c\" drawn in loss (target='loss_curve', x=1.0)","dh":"a Line [yellow] labelled \"Delta h\" drawn in venturi (start=(3.5, 2.9), end=(3.5, 3.6))","duct":"a Polygon [blue] drawn in venturi (vertices=((0.0, 0.6), (1.5, 0.6), (2.5, 1.0), (3.5, 1.0), (4.5, 0.6), (6…)","e0":"a Math [text] that says \"$nabla P = rho bold(f)$\"","e1":"a Math [text] that says \"$P + frac(1, 2) rho v^2 + rho g z = upright(\"costante\")$\"","e2":"a Math [text] that says \"$Q = frac(pi R^4 Delta P, 8 eta L)$\"","end_note":"a Text [text] that says \"Equilibrio, energia, viscosità.\"","fast":"an Arrow [blue] labelled \"v + Delta v\" drawn in ball (start=(0.3, 2.65), end=(2.0, 2.65))","flow_arrows":"a Vector [blue] drawn in profile (start=(0.0, 0.7), end=(0.51, 0.7))","flow_arrows_2":"a Vector [blue] drawn in profile (start=(0.0, 0.35), end=(0.8775000000000001, 0.35))","flow_arrows_3":"a Vector [blue] drawn in profile","flow_arrows_4":"a Vector [blue] drawn in profile (start=(0.0, -0.35), end=(0.8775000000000001, -0.35))","flow_arrows_5":"a Vector [blue] drawn in profile (start=(0.0, -0.7), end=(0.51, -0.7))","ground":"a Line [gray] drawn in tankfig (start=(-0.2, 0.0), end=(4.9, 0.0))","h_line":"a Line [yellow] labelled \"h\" drawn in tankfig (start=(1.75, 3.0), end=(1.75, 1.5), dashed=True)","head_app":"a Heading that says \"Bernoulli al Lavoro\"","head_end":"a Heading that says \"Riassumendo\"","head_mag":"a Heading that says \"L'Effetto Magnus\"","head_poi":"a Heading that says \"Il Flusso di Poiseuille\"","head_rey":"a Heading that says \"Dal Laminare al Turbolento\"","head_tor":"a Heading that says \"La Legge di Torricelli\"","head_ven":"a Heading that says \"Il Tubo di Venturi\"","hole":"a Point [red] drawn in tankfig (location=(1.5, 1.5))","i0":"a Text [text] that says \"Pompa: $cal(P) = Delta P thin Q = rho g H Q$\"","i1":"a Text [text] that says \"Tubo di Pitot: $v = sqrt(2 (P_0 - P) / rho)$\"","i2":"a Text [text] that says \"Paradosso idrodinamico: dove il flusso si stringe, la pressione cala\"","jet":"a ParametricCurve [blue] drawn in tankfig (function=<function>)","jet_high":"a ParametricCurve [gray] drawn in tankfig (function=<function>)","lam_label":"a Math [text] that says \"$Delta P prop v$\" drawn in loss","lift":"an Arrow [red] labelled \"F\" drawn in ball (start=(2.5, 2.25), end=(2.5, 3.25))","loss":"an Axes (x_range=(0.0, 2.2), y_range=(0.0, 5.0), x_label='v')","loss_curve":"a FunctionPlot [blue] drawn in loss (function=<function>, x_range=(0.0, 2.2))","mag_note":"a Text [text] that says \"La rotazione crea un'asimmetria di velocità, e quindi di pressione.\"","parabola":"a ParametricCurve [red] drawn in profile (function=<function>, t_range=(-1.0, 1.0))","pipe_bot":"a Line [gray] drawn in profile (start=(0.0, -1.0), end=(1.25, -1.0))","pipe_top":"a Line [gray] drawn in profile (start=(0.0, 1.0), end=(1.25, 1.0))","pois_work":"a Derivation [text] that says \"$Delta P pi r^2 &= - eta thin 2 pi r L frac(dif v, dif r) \\ v(r) &= frac(Delta P, 4 eta L) (R^2 - r^2) \\ Q &= integral_0^R v(r) thin 2 pi r dif r \\ &= frac(pi R^4 Delta P, 8 eta L)$\"","profile":"an Axes (x_range=(0.0, 1.3), y_range=(-1.25, 1.25), x_label='v')","re_def":"a Panel that says \"Sotto un valore critico il moto è laminare; sopra diventa turbolento, con vortici e perdite maggiori.\"","re_eq":"a Math [text] that says \"$upright(\"Re\") = frac(rho v D, eta)$\"","ref":"a Line [gray] drawn in venturi (start=(0.4, 3.6), end=(3.7, 3.6), dashed=True)","reservoir":"a Polygon [blue] drawn in tankfig (vertices=((0.0, 0.0), (1.5, 0.0), (1.5, 3.0), (0.0, 3.0)))","slow":"an Arrow [blue] labelled \"v - Delta v\" drawn in ball (start=(0.3, 0.55), end=(1.2, 0.55))","sphere":"a Circle [yellow] drawn in ball (center=(2.5, 1.6), radius=0.6, filled=True)","spin":"a Math [text] that says \"$omega$\" drawn in ball","t0":"a Math [text] that says \"$v = sqrt(2 g h)$\"","t1":"a Math [text] that says \"$v = sqrt(frac(2 g h, 1 - (s / S)^2))$\"","t2":"a Math [text] that says \"$x_G = 2 sqrt(h (H - h)) quad arrow.r quad h = H / 2$\"","tankfig":"a Figure (x_range=(-0.3, 5.0), y_range=(-0.3, 3.5), aspect=(5.3, 3.8))","turb_label":"a Math [text] that says \"$Delta P prop v^2$\" drawn in loss","vc_eq":"a Math [text] that says \"$v_c = frac(eta thin upright(\"Re\")_c, rho D)$\"","venturi":"a Figure (x_range=(-0.3, 6.3), y_range=(0.2, 4.0), aspect=(6.6, 3.8))","w0":"a Math [text] that says \"$P_1 - P_2 = frac(1, 2) rho (v_2^2 - v_1^2)$\"","w1":"a Math [text] that says \"$v_1 = sqrt(frac(2 Delta P, rho (S^2 / s^2 - 1)))$\"","w2":"a Math [text] that says \"$Q = S v_1$\""},"beats":[{"start":816.6703333333332,"say":"Prima applicazione: un serbatoio aperto con un piccolo foro a profondità h. Applichiamo Bernoulli tra la superficie libera e il foro, entrambi a pressione atmosferica.","live":[],"does":[[816.6703333333332,"head_tor is shown on the screen, written out."],[816.6703333333332,"tankfig is shown on the screen, written out."],[816.6703333333332,"reservoir is shown on the screen, written out."],[816.6703333333332,"ground is shown on the screen, written out."],[820.1103333333333,"hole is shown on the screen, written out."],[822.0303333333333,"h_line is shown on the screen, written out."]]},{"start":827.8828333333332,"say":"Se il serbatoio è molto più largo del foro, la superficie scende lentamente e la sua velocità è trascurabile. Resta v uguale alla radice di due g h: la velocità di un sasso caduto da altezza h. È la legge di Torricelli.","live":["tankfig","head_tor","reservoir","ground","hole","h_line"],"does":[[836.3103333333332,"tankfig moves to a new place on the board."],[836.3103333333332,"t0 is shown on the screen, written out."],[838.8703333333333,"jet is shown on the screen, written out."]]},{"start":843.0703333333332,"say":"Se invece la sezione s del foro non è trascurabile rispetto alla sezione S del serbatoio, la continuità corregge il risultato: al denominatore compare uno meno il quadrato del rapporto tra le sezioni.","live":["t0","tankfig","head_tor","reservoir","ground","hole","h_line","jet"],"does":[[849.9503333333332,"t1 is shown on the screen, written out."]]},{"start":856.5078333333332,"say":"Quanto lontano arriva il getto? La gittata vale due radice di h per H meno h, ed è massima con il foro a metà altezza. Un foro più alto, o più basso della stessa quantità, arriva meno lontano, e i due getti cadono nello stesso punto.","live":["t0","t1","tankfig","head_tor","reservoir","ground","hole","h_line","jet"],"does":[[858.8703333333333,"H_line is shown on the screen, written out."],[859.4303333333332,"t2 is shown on the screen, written out."],[862.6703333333332,"jet is indicated — a transient flash."],[865.6303333333333,"jet_high is shown on the screen, written out."],[871.7278333333333,"head_tor is hidden from the screen — left the board."],[871.7278333333333,"t0 is hidden from the screen — left the board."],[871.7278333333333,"t1 is hidden from the screen — left the board."],[871.7278333333333,"t2 is hidden from the screen — left the board."],[871.7278333333333,"tankfig is hidden from the screen — left the board."],[871.7278333333333,"reservoir is hidden from the screen — tankfig left the board."],[871.7278333333333,"ground is hidden from the screen — tankfig left the board."],[871.7278333333333,"hole is hidden from the screen — tankfig left the board."],[871.7278333333333,"h_line is hidden from the screen — tankfig left the board."],[871.7278333333333,"jet is hidden from the screen — tankfig left the board."],[871.7278333333333,"H_line is hidden from the screen — tankfig left the board."],[871.7278333333333,"jet_high is hidden from the screen — tankfig left the board."]]},{"start":872.9278333333333,"say":"Il tubo di Venturi misura la velocità in una condotta. Nella strozzatura la sezione si riduce da S a s, la velocità cresce e, per Bernoulli, la pressione cala.","live":[],"does":[[872.9278333333333,"head_ven is shown on the screen, written out."],[872.9278333333333,"venturi is shown on the screen, written out."],[872.9278333333333,"duct is shown on the screen, written out."],[882.0303333333333,"venturi moves to a new place on the board."],[882.0303333333333,"w0 is shown on the screen, written out."]]},{"start":884.3603333333333,"say":"Due piccoli tubi verticali leggono la depressione delta P come una differenza di livello. Combinando Bernoulli e continuità ricaviamo la velocità a monte, e quindi la portata Q, che è la sezione per la velocità.","live":["w0","venturi","head_ven","duct"],"does":[[885.3103333333332,"col_1 is shown on the screen, written out."],[885.4759583333332,"col_2 is shown on the screen, written out."],[888.5103333333333,"ref is shown on the screen, written out."],[888.5103333333333,"dh is shown on the screen, written out."],[892.0303333333333,"w1 is shown on the screen, written out."],[894.4303333333332,"w2 is shown on the screen, written out."],[897.1828333333333,"head_ven is hidden from the screen — left the board."],[897.1828333333333,"venturi is hidden from the screen — left the board."],[897.1828333333333,"duct is hidden from the screen — venturi left the board."],[897.1828333333333,"col_1 is hidden from the screen — venturi left the board."],[897.1828333333333,"col_2 is hidden from the screen — venturi left the board."],[897.1828333333333,"ref is hidden from the screen — venturi left the board."],[897.1828333333333,"dh is hidden from the screen — venturi left the board."],[897.1828333333333,"w0 is hidden from the screen — left the board."],[897.1828333333333,"w1 is hidden from the screen — left the board."],[897.1828333333333,"w2 is hidden from the screen — left the board."]]},{"start":898.3828333333332,"say":"Bernoulli ci dice anche quanta potenza serve a una pompa. Per sollevare una portata Q di un dislivello H, la potenza è delta P per Q, cioè rho g H Q.","live":[],"does":[[898.3828333333332,"head_app is shown on the screen, written out."],[900.2703333333333,"i0 is shown on the screen, written out."]]},{"start":909.8578333333332,"say":"Sollevare un metro cubo d'acqua al secondo di un metro richiede circa dieci kilowatt. Nel Regno Unito i contratti elettrici prevedono clausole per gestire il picco delle cinque del pomeriggio, legato all'ora del tè.","live":["i0","head_app"],"does":[]},{"start":922.1003333333332,"say":"Il tubo di Pitot misura invece la velocità di un fluido, o di un aereo rispetto all'aria: confronta la pressione di ristagno, dove il fluido si ferma, con quella statica.","live":null,"does":[[922.9103333333333,"i1 is shown on the screen, written out."]]},{"start":932.3003333333332,"say":"Infine il paradosso idrodinamico. Avviciniamo un cucchiaio a un getto d'acqua: il flusso si stringe, accelera, la pressione cala, e il cucchiaio viene risucchiato verso il getto. Per lo stesso motivo due camion che si sorpassano in autostrada si attraggono.","live":["i0","i1","head_app"],"does":[[933.4703333333332,"i2 is shown on the screen, written out."],[948.1103333333332,"head_app is hidden from the screen — left the board."],[948.1103333333332,"i0 is hidden from the screen — left the board."],[948.1103333333332,"i1 is hidden from the screen — left the board."],[948.1103333333332,"i2 is hidden from the screen — left the board."]]},{"start":949.3103333333332,"say":"Passiamo ai fluidi reali. In un tubo cilindrico di raggio R e lunghezza L, la viscosità frena il fluido sulle pareti, dove la velocità si annulla.","live":[],"does":[[949.3103333333332,"head_poi is shown on the screen, written out."],[949.3103333333332,"profile is shown on the screen, written out."],[956.5903333333332,"pipe_top is shown on the screen, written out."],[956.5903333333332,"pipe_bot is shown on the screen, written out."]]},{"start":959.2328333333332,"say":"Isoliamo un cilindro coassiale di raggio r. La differenza di pressione lo spinge avanti, la viscosità sulla superficie laterale lo frena, e in regime stazionario le due forze si bilanciano.","live":["profile","head_poi","pipe_top","pipe_bot"],"does":[[969.5503333333332,"profile moves to a new place on the board."],[969.5503333333332,"pois_work is shown on the screen, written out."]]},{"start":970.9628333333333,"say":"Integrando con velocità nulla sulla parete otteniamo un profilo parabolico: massimo sull'asse, zero sul bordo.","live":null,"does":[[971.1903333333332,"pois_work is shown on the screen, written out."],[974.4703333333332,"parabola is shown on the screen, written out."],[975.5503333333332,"flow_arrows is shown on the screen, written out."],[975.6435526179366,"flow_arrows_2 is shown on the screen, written out."],[975.7367719025401,"flow_arrows_3 is shown on the screen, written out."],[975.8299911871435,"flow_arrows_4 is shown on the screen, written out."],[975.9332260238464,"flow_arrows_5 is shown on the screen, written out."]]},{"start":978.3478333333333,"say":"Sommando le portate di tutti gli anelli sottili troviamo la legge di Hagen e Poiseuille. 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La seconda è il teorema di Bernoulli, che lega pressione, velocità e quota in un fluido ideale in moto. Le ricaveremo entrambe, un passo alla volta. Partiamo dalla definizione. Un fluido è una sostanza priva di forma propria: prende la forma del recipiente che lo contiene, e si deforma con una facilità grandissima rispetto a un solido. Quanto si lascia comprimere lo misura il modulo di comprimibilità K: il rapporto tra un aumento di pressione e la diminuzione relativa di volume che esso produce. Per i liquidi questo modulo vale da dieci alla dieci a dieci alla undici pascal, come per i solidi. I liquidi sono praticamente incomprimibili. Gas e vapori hanno invece un modulo dell'ordine di dieci alla cinque pascal, pari alla pressione esterna. Si comprimono facilmente, e questa differenza ci accompagnerà per tutta la lezione. Un fluido non ha punti fissi a cui applicare le forze, quindi lo descriviamo in un altro modo. Scegliamo un punto r, e attorno a esso un piccolo volumetto. Così ogni grandezza diventa una funzione continua del punto e del tempo. La densità, ad esempio, è il limite della massa delta m divisa per il volume delta V, quando delta V tende a zero. Allo stesso modo si definiscono la pressione e la velocità. Sono questi i tre campi con cui lavoreremo. Ma la materia è discreta: gli atomi misurano circa dieci alla meno dieci metri, i nuclei dieci alla meno quindici. Se restringo troppo il volumetto, dentro non trovo più nulla. Fisicamente il volumetto va pensato grande rispetto agli atomi e minuscolo rispetto al recipiente. Il limite per delta V che tende a zero è un'idealizzazione matematica, indispensabile per usare l'analisi differenziale senza discontinuità. C'è un'ultima proprietà decisiva. Prendiamo uno strato di fluido, appoggiato su un fondo fermo, e applichiamo in alto una forza tangente, piccola quanto vogliamo. Lo strato non resiste: scorre rispetto a quello sottostante, e continua a scorrere finché la forza agisce. Nei fluidi non esiste nulla di simile all'attrito radente statico dei solidi. Ne segue che in un fluido in equilibrio non ci sono forze parallele alle superfici. Restano soltanto forze perpendicolari, ed è da qui che nasce la pressione."},{"title":"Pressione ed Equazione della Statica","startSeconds":169.24431249999992,"narration":"Definiamo la pressione come il rapporto tra la forza perpendicolare a una superficie e l'area della superficie stessa. Si misura in pascal, un newton al metro quadro. Ma dipende da come orientiamo la superficie? Isoliamo con il pensiero un prisma infinitesimo di fluido, a base triangolare A B C e spessore h. Su ciascuna faccia agisce soltanto una forza normale. Lungo x, la forza sulla faccia A B bilancia la componente orizzontale della forza sull'ipotenusa A C. Lungo l'asse verticale, la faccia C B bilancia la componente verticale, più il peso del prisma. Ora la geometria: l'ipotenusa per il seno di theta è il cateto A B, per il coseno è il cateto C B. E il peso è proporzionale all'area del triangolo: è un infinitesimo di ordine superiore, e nel limite scompare. Restano due uguaglianze, e insieme dicono che le tre pressioni coincidono. La pressione in un punto non dipende dall'orientazione della superficie: è una grandezza scalare. Prendiamo ora un elemento di volume d V, uguale a d S per d z, in un fluido soggetto a una forza di volume f per unità di massa. Guardiamo le forze lungo z. Sotto agisce la pressione in z, sopra quella in z più d z, e su tutto l'elemento la forza di volume rho f d V. All'equilibrio la loro somma è zero. Dividendo per d V otteniamo la derivata parziale di P rispetto a z, uguale a rho f z. Ripetendo il conto lungo x e lungo y troviamo l'equazione fondamentale della statica: nabla P uguale a rho f. Se la forza è conservativa, f è meno il gradiente di un potenziale phi, e l'equazione diventa nabla P uguale a meno rho nabla phi. Allora i due gradienti sono paralleli. Le superfici isobare coincidono con le superfici equipotenziali, e poiché la densità è il rapporto tra le due variazioni, è costante anch'essa su quelle stesse superfici. Mettiamoci nel campo della gravità, con l'asse z rivolto verso l'alto. La forza per unità di massa è meno g lungo z, e l'equazione della statica si riduce a d P su d z uguale a meno rho g. Per un liquido incomprimibile la densità è costante. Integriamo fino alla superficie libera, a quota h, dove agisce la pressione atmosferica: è la legge di Stevino. Scendiamo con una sonda: un metro, poi due, poi giù fino al fondo. La pressione cresce di rho g per ogni metro di profondità. Quanto bisogna scendere in acqua per raddoppiare la pressione atmosferica? Basta che rho g h valga un'atmosfera: mille per nove virgola otto per h, uguale a circa centomila pascal. Dunque circa dieci metri. Ogni dieci metri di profondità, la pressione cresce di un'atmosfera. Ecco una conseguenza sorprendente. Tre recipienti di forma diversa, con la stessa area di base, riempiti dello stesso liquido fino alla stessa altezza h. Contengono masse molto diverse, eppure la pressione sul fondo è identica in tutti e tre, perché conta soltanto la profondità. È il paradosso idrostatico. Se colleghiamo i recipienti dal fondo otteniamo dei vasi comunicanti: il liquido incomprimibile si porta ovunque allo stesso livello, qualunque sia la forma dei rami."},{"title":"Misure, Archimede e Casi Estesi","startSeconds":379.13352083333325,"narration":"Come si misura la pressione atmosferica? Torricelli riempì di mercurio un tubo chiuso a un'estremità e lo capovolse in una vaschetta piena dello stesso liquido. La colonna scende un poco e si ferma. Sopra resta il vuoto, a pressione praticamente nulla, mentre sulla vaschetta preme l'atmosfera. Sulla isobara del pelo libero, la pressione atmosferica equilibra il peso della colonna. Con i numeri, l'altezza risulta di settantasei centimetri: settecentosessanta millimetri di mercurio. Perché il mercurio? Perché è tredici virgola sei volte più denso dell'acqua. Con l'acqua servirebbe un tubo alto più di dieci metri. Per misurare una differenza di pressione si usa il manometro a U. Il dislivello h del liquido nei due rami dà subito delta P uguale a rho g h. E se nel tubo ci sono due liquidi immiscibili? Il più leggero, di densità rho uno, sta nel ramo di sinistra, sopra il più pesante. Il trucco è scegliere l'isobara giusta: quella che passa esattamente per la superficie di separazione. Allo stesso livello, nell'altro ramo, c'è lo stesso liquido pesante, quindi la stessa pressione. Sopra quella linea, le due colonne pesano lo stesso: rho uno g z uno uguale a rho due g z due. Dal rapporto delle altezze si legge il rapporto delle densità. Immergiamo ora un corpo in un liquido. Su ogni faccia il liquido preme in direzione normale, e preme di più sotto che sopra, perché sotto è più profondo. Per calcolare la risultante usiamo un'idea elegante: sostituiamo il corpo con una porzione dello stesso liquido, di forma identica. Quella porzione era in equilibrio, quindi le forze di superficie bilanciano esattamente il suo peso. Ma le forze di superficie dipendono solo dal liquido esterno. Rimettiamo il corpo al suo posto: la spinta resta la stessa, diretta verso l'alto e pari al peso del liquido spostato. Se il corpo è meno denso del liquido, galleggia, con una frazione immersa pari al rapporto tra le densità. A densità uguali resta in equilibrio in ogni punto, e se è più denso affonda. Così una nave d'acciaio galleggia grazie all'aria racchiusa nello scafo, e una mongolfiera sale scaldando l'aria interna, o con l'elio, perché l'aria al suolo ha densità di circa uno virgola tre chilogrammi al metro cubo. Un esempio dinamico. Un'asta di sezione S e lunghezza L galleggia verticale: all'equilibrio il suo peso uguaglia la spinta sulla parte immersa, lunga L meno h. Spingiamola in giù di un tratto z. La parte immersa cresce, e la spinta in eccesso la riporta indietro con una forza proporzionale allo spostamento e di verso opposto. È una forza elastica. Lasciata andare, l'asta sale, scende, risale ancora: oscilla di moto armonico semplice, con pulsazione al quadrato uguale a rho l g diviso rho s L. Mettiamo in rotazione un secchio d'acqua con velocità angolare omega, e osserviamolo dal riferimento che ruota con esso. A riposo, la superficie è piana. Nel riferimento rotante, oltre al peso, ogni elemento sente la forza centrifuga d m omega quadro r. Le equazioni della statica valgono ancora, con questa forza in più. Integrando, le superfici isobare, e quindi la superficie libera, diventano paraboloidi di rotazione: z uguale h zero più omega quadro su due g per r quadro. Le ultracentrifughe sfruttano lo stesso effetto a circa cinquantamila radianti al secondo: l'enorme gradiente radiale di pressione separa sostanze che differiscono in densità anche solo dell'uno per cento. Infine il principio di Pascal: una variazione di pressione applicata a un fluido incomprimibile si trasmette inalterata in ogni suo punto. Nel torchio idraulico premo con una piccola forza f sul pistone stretto. La stessa pressione agisce sul pistone largo, che riceve una forza più grande nel rapporto delle sezioni. Non si crea energia dal nulla, però. Il volume spostato è lo stesso, quindi il pistone stretto scende molto mentre quello largo sale poco, e il lavoro si conserva."},{"title":"Cinematica e Teorema di Bernoulli","startSeconds":638.8325416666665,"narration":"Passiamo ai fluidi in moto. Nei fluidi reali, strati adiacenti che scorrono a velocità diverse si frenano a vicenda: è la viscosità. La forza tra due strati è proporzionale all'area S e al gradiente di velocità nella direzione normale. Il coefficiente eta si misura in pascal per secondo, oppure in poise. Un fluido ideale è un'astrazione molto utile: incomprimibile, quindi a densità costante, e privo di viscosità. È il modello in cui varrà il teorema di Bernoulli. Per descrivere il moto abbiamo due punti di vista. Nella descrizione lagrangiana seguiamo la singola particella di fluido lungo il suo cammino. Nella descrizione euleriana, invece, restiamo fermi in un punto dello spazio e guardiamo come cambiano lì densità, pressione e velocità nel tempo. Se in ogni punto le grandezze non dipendono dal tempo, il regime è stazionario. Allora le linee di corrente coincidono con le traiettorie, non si intersecano mai, e prendono il nome di linee di flusso. Un fascio di linee di flusso forma un tubo di flusso: il fluido non ne attraversa mai le pareti, come se fosse una condotta. Ora la conservazione della massa. In regime stazionario, la massa che entra da una sezione del tubo nell'unità di tempo è uguale a quella che esce dall'altra. Per un fluido incomprimibile la densità si semplifica, e resta la portata volumetrica Q, uguale a sezione per velocità, costante lungo tutta la condotta. È il teorema di continuità, già intuito da Leonardo. L'effetto è puramente cinematico: dove il tubo si stringe la velocità aumenta, e le linee di flusso si addensano. Ecco il cuore della dinamica dei fluidi ideali. Seguiamo, in regime stazionario e irrotazionale, il fluido contenuto in un tratto di tubo di flusso tra le sezioni uno e due. In un tempo d t la sezione uno avanza di d s uno, la sezione due di d s due. Le forze di pressione compiono un lavoro, e per continuità i due volumi spostati sono lo stesso d V. La gravità compie invece un lavoro negativo, perché la massa rho d V sale dalla quota z uno alla quota z due. Per il teorema dell'energia cinetica la somma dei lavori uguaglia la variazione di energia cinetica di quella massa. Dividiamo per d V e raccogliamo i termini con lo stesso indice. Il risultato è il teorema di Bernoulli: la somma di pressione, di un mezzo rho v quadro e di rho g z è costante lungo il tubo di flusso. Ogni termine è una densità di energia: la pressione statica, l'energia cinetica per unità di volume, e l'energia potenziale per unità di volume. Bernoulli è la conservazione dell'energia, scritta per metro cubo di fluido. E se il fluido è fermo, con v uguale a zero, resta P più rho g z costante: ritroviamo esattamente la legge di Stevino."},{"title":"Applicazioni e Fluidi Reali","startSeconds":816.6703333333332,"narration":"Prima applicazione: un serbatoio aperto con un piccolo foro a profondità h. Applichiamo Bernoulli tra la superficie libera e il foro, entrambi a pressione atmosferica. 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Combinando Bernoulli e continuità ricaviamo la velocità a monte, e quindi la portata Q, che è la sezione per la velocità. Bernoulli ci dice anche quanta potenza serve a una pompa. Per sollevare una portata Q di un dislivello H, la potenza è delta P per Q, cioè rho g H Q. Sollevare un metro cubo d'acqua al secondo di un metro richiede circa dieci kilowatt. Nel Regno Unito i contratti elettrici prevedono clausole per gestire il picco delle cinque del pomeriggio, legato all'ora del tè. Il tubo di Pitot misura invece la velocità di un fluido, o di un aereo rispetto all'aria: confronta la pressione di ristagno, dove il fluido si ferma, con quella statica. Infine il paradosso idrodinamico. Avviciniamo un cucchiaio a un getto d'acqua: il flusso si stringe, accelera, la pressione cala, e il cucchiaio viene risucchiato verso il getto. Per lo stesso motivo due camion che si sorpassano in autostrada si attraggono. Passiamo ai fluidi reali. In un tubo cilindrico di raggio R e lunghezza L, la viscosità frena il fluido sulle pareti, dove la velocità si annulla. Isoliamo un cilindro coassiale di raggio r. La differenza di pressione lo spinge avanti, la viscosità sulla superficie laterale lo frena, e in regime stazionario le due forze si bilanciano. Integrando con velocità nulla sulla parete otteniamo un profilo parabolico: massimo sull'asse, zero sul bordo. Sommando le portate di tutti gli anelli sottili troviamo la legge di Hagen e Poiseuille. La portata cresce come la quarta potenza del raggio: dimezzare il raggio riduce il flusso di sedici volte. Il sistema circolatorio ne è un esempio. La pressione arteriosa oscilla tra ottanta e centoventi millimetri di mercurio, ricordando che settecentosessanta fanno un'atmosfera. Un piccolo restringimento di un vaso richiede un grande aumento di pressione per mantenere la stessa portata. Quando un fluido reale scorre abbastanza veloce, il moto ordinato a strati si rompe. Il parametro che decide è il numero di Reynolds: rho per v per D, diviso eta. Sotto un valore critico, tra duemila e diecimila, il moto resta laminare e la perdita di carico cresce linearmente con la velocità. Oltre la velocità critica il moto diventa turbolento, e delta P cresce come v quadro. Un ultimo fenomeno: l'effetto Magnus. Una palla che ruota trascina con sé gli strati di fluido adiacenti: da un lato la velocità relativa aumenta, dall'altro diminuisce. Dove il fluido è più veloce la pressione è più bassa, e nasce una forza perpendicolare alla traiettoria. È la palla tagliata nel tennis, o il tiro a rientrare nel calcio. Riassumiamo. La statica discende da una sola equazione, nabla P uguale a rho f: da essa vengono Stevino, Archimede e il paradosso idrostatico. Per i fluidi ideali in moto valgono la continuità e Bernoulli, cioè massa ed energia conservate. Per i fluidi reali entra la viscosità, con la legge di Poiseuille, finché il numero di Reynolds resta sotto la soglia critica. Le due equazioni promesse all'inizio sono ora davanti a noi, ricavate e comprese. Grazie per l'attenzione."}]}}