{"version":1,"lectureId":"01M4QR4MC0F0FGTY96Y5PTZTRE","attempt":0,"publication":{"slug":"istituzioni-di-termodinamica-dai-principi-alle-macchine-termiche","title":"Istituzioni di Termodinamica: dai Principi alle Macchine Termiche","subject":"physics","summary":"Una lezione universitaria completa di termodinamica classica, in italiano. Si parte dallo stato macroscopico, dal Principio Zero e dal gas ideale nel piano di Clapeyron; si ricavano il lavoro isotermo, il Primo Principio dall'esperimento di Joule, la relazione di Mayer e la legge dell'adiabatica. Il ciclo di Carnot conduce al Secondo Principio, all'equivalenza degli enunciati di Kelvin e Clausius, alla disuguaglianza di Clausius e all'entropia, calcolata per il gas ideale e per lo scambio tra corpi finiti. Chiudono i gas reali di Van der Waals e i cicli Otto, Diesel e Stirling, con frigorifero e pompa di calore.","metaDescription":"Termodinamica per ingegneria e fisica: principi, gas ideale, Primo e Secondo Principio, Carnot, entropia e cicli Otto, Diesel e Stirling.","transcript":"Benvenuti. In questa lezione costruiamo la termodinamica classica dalle fondamenta, dallo stato di un sistema fino al rendimento dei motori reali. Lungo il percorso incontreremo i principi. Il Principio Zero definisce la temperatura, il Primo introduce l'energia interna, il Secondo l'entropia e la direzione spontanea dei processi. Il Terzo, che qui solo citiamo, fissa lo zero assoluto come limite irraggiungibile. La termodinamica descrive lo stato macroscopico di un sistema con poche variabili: pressione, volume, temperatura, quantità di sostanza. Non si occupa delle singole molecole. Un gas in un palloncino, un blocco di ferro, acqua in equilibrio con il suo vapore: sono tutti sistemi termodinamici. Li classifichiamo in base a ciò che scambiano con l'ambiente. Un sistema aperto scambia materia ed energia. Un sistema chiuso scambia soltanto energia. Un sistema isolato non scambia nulla. Anche il confine conta. Una parete diatermica permette il passaggio di calore, una parete adiabatica lo impedisce. Un sistema è in equilibrio termodinamico quando non evolve più nel tempo. Servono tre condizioni insieme: equilibrio meccanico, equilibrio termico ed equilibrio chimico. Il Principio Zero riguarda l'equilibrio termico. Se A è in equilibrio con B, e C è in equilibrio con B, allora A e C sono in equilibrio tra loro. Questa transitività rende possibile il termometro. Il corpo B fa da termometro, e la grandezza che i corpi in equilibrio condividono si chiama temperatura. La scala assoluta si fissa con un solo punto: il punto triplo dell'acqua, dove ghiaccio, liquido e vapore coesistono, che vale per definizione duecentosettantatré virgola sedici kelvin. La scala Celsius è la stessa scala traslata: la temperatura in kelvin è quella in gradi Celsius più duecentosettantatré virgola quindici. Il modello più semplice è il gas ideale: un gas rarefatto e caldo, le cui molecole non interagiscono a distanza e hanno volume proprio trascurabile. Lo rappresentiamo nel piano di Clapeyron, con il volume in ascissa e la pressione in ordinata. A temperatura costante vale la legge di Boyle: il prodotto P V resta costante. Nel piano questa legge disegna una iperbole, cioè una isoterma. Temperature più alte danno iperboli più lontane dall'origine. Le leggi di Gay-Lussac descrivono isobara e isocora: il volume a pressione costante, e la pressione a volume costante, crescono linearmente con la temperatura Celsius, con lo stesso coefficiente, uno su duecentosettantatré virgola quindici. Nel piano, la isobara è un segmento orizzontale e la isocora un segmento verticale. Combinando le tre leggi si ottiene la equazione di stato: P V uguale n R T, oppure N k B T, dove k B è la costante di Boltzmann, R diviso il numero di Avogadro. In condizioni standard, zero gradi Celsius e una atmosfera, una mole di gas ideale occupa ventidue virgola quattro litri. Ultima convenzione grafica. Una trasformazione reversibile è una successione continua di stati di equilibrio e si disegna con una linea continua. Una irreversibile passa per stati non definiti: ne conosciamo solo gli estremi, e la tracciamo tratteggiata. Cominciamo dal lavoro. Un gas in un cilindro spinge un pistone senza attrito: se il volume cresce di d V, il gas compie il lavoro elementare P per d V. Seguiamo una espansione isoterma reversibile da V i a V f. Lungo la curva la pressione vale n R T su V, e possiamo integrare. L'integrale di uno su V è il logaritmo: il lavoro vale n R T per il logaritmo naturale di V f su V i. È positivo in espansione, negativo in compressione. Geometricamente, il lavoro è l'area sotto la curva nel piano di Clapeyron. Spostiamo lo stato finale, e la regione cresce insieme al volume. Confrontiamo una espansione irreversibile tra gli stessi estremi, contro una pressione esterna costante pari a quella finale. Il suo lavoro è il rettangolo grigio, più piccolo. A parità di stati estremi, la trasformazione reversibile produce il lavoro massimo. Come si introduce l'energia interna? Con l'esperimento di Joule. Due masse cadono di una altezza h e fanno girare delle palette immerse nell'acqua, in un recipiente adiabatico. Il lavoro meccanico vale m uno più m due, per g, per h. L'acqua non acquista alcun moto collettivo: alla fine è ferma, ma più calda. Lo stesso aumento di temperatura si ottiene facendo passare una corrente I in una resistenza per un tempo delta t, con lavoro elettrico R I quadro delta t. Il risultato cruciale è che, in condizioni adiabatiche, il lavoro necessario dipende solo dagli stati iniziale e finale. Esiste quindi una funzione di stato, l'energia interna U, la cui variazione è meno il lavoro adiabatico. Prendiamo due stati di equilibrio, A e B, e due percorsi reversibili che li collegano: il rosso, prima isobaro poi isocoro, e il blu, prima isocoro poi isobaro. Il lavoro lungo ciascun percorso è l'area sottesa: grande per il rosso, piccola per il blu. Quindi il lavoro dipende dal percorso. Se il sistema scambia anche calore vale il Primo Principio: la variazione di energia interna è il calore assorbito meno il lavoro compiuto dal sistema. È la conservazione dell'energia estesa ai moti microscopici. Poiché U è funzione di stato, la sua variazione da A a B è la stessa lungo i due percorsi. Dunque anche il calore deve differire, esattamente quanto il lavoro. Calore e lavoro sono modi di scambiare energia, non proprietà dello stato. In termini differenziali, d U è un differenziale esatto, mentre delta Q e delta W non lo sono. Su un ciclo chiuso la variazione di energia interna è nulla, quindi il calore netto assorbito eguaglia il lavoro netto. Per riscaldare un corpo di un grado serve una quantità di calore detta capacità termica, grandezza estensiva. Divisa per la massa, o per il numero di moli, diventa il calore specifico, intensivo. Per un gas però il valore dipende dalla trasformazione. A volume costante il lavoro è nullo, quindi tutto il calore va in energia interna: delta Q v uguale d U uguale n C v d T. Per un gas ideale U dipende solo da T, e questa relazione vale per qualunque trasformazione. A pressione costante, invece, il gas si espande e compie lavoro: delta Q p è d U più P d V. Differenziando la equazione di stato a pressione costante, P d V è uguale a n R d T. Sostituendo, il calore a pressione costante è n C v d T più n R d T. Confrontando con la definizione di C p otteniamo la relazione di Mayer: C p uguale C v più R. Parte del calore fornito a pressione costante se ne va in lavoro di espansione. Il rapporto tra i due calori specifici si chiama gamma. Passiamo alla adiabatica reversibile, senza scambi di calore. Il Primo Principio dà d U uguale meno P d V, cioè n C v d T uguale meno n R T su V, per d V. Dividiamo per n C v T. Poiché R su C v è gamma meno uno, otteniamo d T su T uguale meno gamma meno uno, per d V su V. Integrando, il logaritmo di T più gamma meno uno volte il logaritmo di V è costante: T V alla gamma meno uno è costante. Con la equazione di stato diventa P V alla gamma costante. Confrontiamo le due curve dallo stesso stato. La isoterma ha pendenza meno P su V, la adiabatica meno gamma P su V. Poiché gamma supera uno, la adiabatica è più ripida: in espansione il gas si raffredda, perché lavora a spese della propria energia interna. Raccogliamo i bilanci delle quattro trasformazioni notevoli del gas ideale. In una isocora il lavoro è nullo, e il calore coincide con la variazione di energia interna. In una isobara il lavoro vale n R delta T, e il calore n C p delta T. In una isoterma l'energia interna non cambia, e calore e lavoro coincidono. In una adiabatica il calore è nullo, e il lavoro si compie a spese dell'energia interna. Resta un esperimento decisivo, l'espansione libera di Joule. Un gas in un recipiente rigido e adiabatico si espande nel vuoto: non scambia calore e non compie lavoro, quindi la sua energia interna non cambia. Per un gas ideale la temperatura finale risulta uguale a quella iniziale. Il volume è cambiato, la temperatura no: dunque l'energia interna dipende soltanto dalla temperatura. Ora possiamo costruire una macchina termica. Il ciclo di Carnot è reversibile e lavora tra due sole sorgenti: una calda a temperatura T due e una fredda a T uno. Prima fase: espansione isoterma da A a B, a contatto con la sorgente calda. L'energia interna non cambia, e il gas assorbe il calore Q due, pari al lavoro compiuto. Seconda fase: espansione adiabatica da B a C. Il gas lavora senza scambiare calore, e si raffredda fino a T uno. Terza fase: compressione isoterma da C a D. L'ambiente compie lavoro sul gas, che cede alla sorgente fredda il calore Q uno, negativo. Quarta fase: compressione adiabatica da D ad A, che riporta il gas a T due. Il ciclo si chiude, e l'energia interna torna al valore iniziale. Le due adiabatiche legano i quattro volumi. Lungo B C, T due per V B alla gamma meno uno è uguale a T uno per V C alla gamma meno uno. Lungo D A vale la stessa relazione, tra V A e V D. Dividendo membro a membro, le temperature si elidono: V B su V A è uguale a V C su V D. I due logaritmi sono quindi uguali in valore assoluto. Il lavoro netto è Q due più Q uno, perché in un ciclo delta U è nullo. Il rendimento è il lavoro diviso il calore assorbito, e diventa uno meno T uno su T due. Dipende soltanto dalle temperature assolute delle sorgenti. Poiché il ciclo è reversibile, possiamo percorrerlo al contrario, in senso antiorario. Il lavoro è fornito dall'esterno, il gas preleva Q uno dalla sorgente fredda e cede calore a quella calda: è un frigorifero. La sua efficienza è il coefficiente di prestazione, T uno su T due meno T uno. Il Secondo Principio ha due enunciati classici. Kelvin e Planck: non esiste un processo ciclico il cui unico risultato sia trasformare integralmente in lavoro il calore preso da una sola sorgente. Una espansione isoterma converte tutto il calore in lavoro, ma non viola l'enunciato, perché il gas non torna allo stato iniziale. La macchina monoterma ciclica è impossibile. Clausius: non esiste un processo il cui unico risultato sia il passaggio di calore da un corpo più freddo a uno più caldo. Il frigorifero esiste, ma richiede lavoro. I due enunciati sono equivalenti. Se esistesse la macchina monoterma, ne useremmo il lavoro per azionare un frigorifero: il risultato netto sarebbe calore che passa dal freddo al caldo senza lavoro esterno, contro Clausius. Viceversa, se il calore passasse spontaneamente dal freddo al caldo, lo restituiremmo con una macchina termica reale: la sorgente fredda tornerebbe com'era, e avremmo una macchina monoterma, contro Kelvin. I flussi si bilanciano scegliendo il numero di moli, perché calore e lavoro sono grandezze estensive. Dal Secondo Principio segue il teorema di Carnot: nessuna macchina tra le stesse due sorgenti ha rendimento maggiore di una reversibile, e tutte le reversibili hanno lo stesso rendimento, quello di Carnot. Scriviamo la disuguaglianza con i calori presi con il loro segno. Riordinando, la somma di Q uno su T uno e Q due su T due è minore o uguale a zero, con l'uguale per i cicli reversibili. Un ciclo qualsiasi si può scomporre in tanti cicli di Carnot elementari, con molte sorgenti. Si ottiene la disuguaglianza di Clausius: l'integrale ciclico di delta Q su T è minore o uguale a zero, dove T è la temperatura della sorgente. Per un ciclo reversibile l'integrale è nullo. Allora l'integrale di delta Q reversibile su T tra due stati non dipende dal percorso: definisce una funzione di stato, l'entropia S, estensiva, misurata in joule al kelvin. Attenzione: il calore da usare è quello scambiato lungo un percorso reversibile. Per un processo reale basta immaginare un cammino reversibile qualsiasi tra gli stessi stati estremi. Calcoliamo ora la variazione di entropia del gas ideale nei casi notevoli. Lungo una isoterma il calore reversibile è uguale al lavoro, n R T per il logaritmo del rapporto dei volumi. Dividendo per T resta n R logaritmo di V due su V uno. In una isobara il calore elementare è n C p d T: dividendo per T e integrando compare il logaritmo delle temperature. In una isocora vale lo stesso, con C v al posto di C p. In una adiabatica reversibile delta Q è nullo, e l'entropia resta costante: la trasformazione è isoentropica. Ed ecco un caso istruttivo, l'espansione libera da V a due V. È irreversibile e adiabatica, eppure l'entropia aumenta. Poiché S è funzione di stato, la calcoliamo lungo la isoterma reversibile tra gli stessi estremi: delta S vale n R logaritmo di due, positivo. Infine, in una transizione di fase a temperatura costante, il calore latente lambda per la massa m, diviso T, dà la variazione di entropia. Tutti i casi del gas ideale discendono da una sola formula, ottenuta integrando d U più P d V, diviso T. Consideriamo due corpi di capacità termica C uno e C due, a temperature T uno e T due, posti a contatto dentro un involucro isolato. Raggiungono una temperatura di equilibrio, la media pesata dalle capacità. Ciascun corpo si scalda o si raffredda, e lungo un percorso reversibile la sua variazione di entropia è la capacità per il logaritmo del rapporto tra temperatura finale e iniziale. Con capacità uguali la temperatura finale è la media aritmetica, e la somma diventa C per il logaritmo di T equilibrio al quadrato su T uno T due. La media aritmetica supera sempre quella geometrica: l'entropia totale aumenta. Il sistema insieme al suo ambiente forma un universo isolato, e la sua entropia non diminuisce mai: resta costante nei processi reversibili e cresce in tutti quelli reali. Violare Kelvin o Clausius significherebbe farla diminuire. Questo aumento ha un prezzo concreto. La differenza tra il lavoro reversibile massimo e il lavoro reale è il lavoro perso, ed è uguale alla temperatura T zero della sorgente più fredda per l'aumento di entropia dell'universo. Torniamo al ciclo di Carnot, ora nel piano T S. Le isoterme sono segmenti orizzontali, le adiabatiche reversibili, isoentropiche, segmenti verticali: il ciclo è un rettangolo. L'area sotto ogni tratto è il calore scambiato, perché delta Q reversibile è T d S. L'area racchiusa è il calore netto, cioè il lavoro: T due meno T uno per delta S. Dividendo per il calore assorbito, T due delta S, ritroviamo il rendimento di Carnot. Il gas ideale funziona a bassa pressione e alta temperatura. Fuori da quel regime servono due correzioni, che Van der Waals introduce nella equazione di stato. Il covolume b sottrae dal volume del recipiente quello occupato dalle molecole. Il termine a n quadro su V quadro è la pressione interna: le attrazioni riducono la pressione sulle pareti, in proporzione al quadrato della densità molare. Ecco tre isoterme di Van der Waals. Sopra la temperatura critica la curva somiglia a una iperbole, e il gas non condensa per sola compressione. La isoterma critica ha un flesso orizzontale, nel punto critico. Sotto la temperatura critica compare una ansa. In realtà il sistema la sostituisce con un pianerottolo orizzontale: liquido e vapore coesistono a pressione e temperatura costanti. Lungo il pianerottolo il calore fornito non alza la temperatura ma cambia la fase: è il calore latente, Q uguale m lambda. Per l'acqua il calore latente di ebollizione vale più di cinquecento volte il calore specifico per grado. Veniamo ai motori. Il ciclo Otto modella il motore a benzina: dopo l'aspirazione, la miscela viene compressa adiabaticamente da A a B. La scintilla provoca una combustione così rapida da avvenire quasi a volume costante: da B a C il gas assorbe il calore Q due. Segue l'espansione adiabatica da C a D, la fase utile. Poi, all'apertura della valvola, una decompressione isocora riporta il gas in A, cedendo il calore Q uno, prima dello scarico. Il rendimento è uno più Q uno su Q due. I calori sono n C v per le differenze di temperatura lungo le isocore, e i fattori n C v si semplificano. Ora usiamo le adiabatiche e il rapporto di compressione r, volume massimo diviso volume minimo: T B è T A per r alla gamma meno uno, e T C è T D per lo stesso fattore. Il denominatore è r alla gamma meno uno volte il numeratore, e il rapporto si semplifica. Il rendimento dipende solo da r: uno meno uno su r alla gamma meno uno. Più si comprime, più si guadagna. Raccogliamo i cicli applicativi. Il ciclo Otto ha due adiabatiche e due isocore. Nel motore Diesel non c'è la candela: l'aria viene compressa fino ad accendere spontaneamente il gasolio, e la combustione si modella come isobara. Il rapporto di compressione arriva a circa quindici, e il rendimento reale supera quello del motore a benzina. Il ciclo Stirling usa due isoterme e due isocore. Con un rigeneratore ideale, il calore ceduto in una isocora viene restituito nell'altra, e il rendimento raggiunge quello di Carnot tra le stesse sorgenti. Il frigorifero reale usa un fluido che cambia fase. Il compressore, azionato da un motore elettrico, fornisce il lavoro W e porta il vapore ad alta pressione. Nel condensatore il fluido cede il calore Q due all'ambiente e si liquefa. La valvola di laminazione lo fa espandere bruscamente, e la sua temperatura crolla. Infine, nell'evaporatore, il fluido freddo assorbe il calore Q uno dal vano da refrigerare e torna al compressore. La pompa di calore è la stessa macchina con uno scopo diverso: conta il calore ceduto alla casa. Il suo coefficiente ideale è T due su T due meno T uno, e il lavoro elettrico è solo una piccola frazione del calore trasferito. Abbiamo percorso la termodinamica dal Principio Zero fino ai motori. 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Una irreversibile passa per stati non definiti: ne conosciamo solo gli estremi, e la tracciamo tratteggiata.","live":["boyle","gay","coeff","state","kb","stp","pv","head_gas","iso_cold","iso_hot","isobar","isochore"],"does":[[211.39999999999995,"state_a is shown on the screen, written out."],[211.6562962676614,"state_b is shown on the screen, written out."],[215.23999999999995,"irreversible is shown on the screen, written out."],[217.67939583333336,"boyle is hidden from the screen — left the board."],[217.67939583333336,"coeff is hidden from the screen — left the board."],[217.67939583333336,"gay is hidden from the screen — left the board."],[217.67939583333336,"head_gas is hidden from the screen — left the board."],[217.67939583333336,"kb is hidden from the screen — left the board."],[217.67939583333336,"pv is hidden from the screen — left the board."],[217.67939583333336,"iso_cold is hidden from the screen — pv left the board."],[217.67939583333336,"iso_hot is hidden from the screen — pv left the board."],[217.67939583333336,"isobar is hidden from the screen — pv left the board."],[217.67939583333336,"isochore is hidden from the screen — pv left the board."],[217.67939583333336,"state_a is hidden from the screen — pv left the board."],[217.67939583333336,"state_b is hidden from the screen — pv left the board."],[217.67939583333336,"irreversible is hidden from the screen — pv left the board."],[217.67939583333336,"state is hidden from the screen — left the board."],[217.67939583333336,"stp is hidden from the screen — left the board."]]}]},{"title":"Lavoro e Primo Principio","start":218.7210625,"end":388.7000833333333,"objects":{"area":"an AreaUnder [red] drawn in pv (x_range=(1.0, <VariableNumber vf = 3.0>), target='iso')","conv":"a Math [text] that says \"$Q > 0 thin upright(\"assorbito\"), quad W > 0 thin upright(\"compiuto\")$\"","exact":"a Math [text] that says \"$dif U = delta Q - delta W, quad integral.cont dif U = 0$\"","head_first":"a Heading that says \"Primo Principio\"","head_joule":"a Heading that says \"Esperimento di Joule\"","head_work":"a Heading that says \"Lavoro di Espansione\"","irr_work":"a Polygon [gray] drawn in pv (vertices=((1.0, 1.0), (3.0, 1.0), (3.0, 0.0), (1.0, 0.0)), fill_opacity=0.5)","iso":"a FunctionPlot [blue] drawn in pv (function=<function>, x_range=(0.9, 4.5))","j0":"a Math [text] that says \"$W_upright(\"mecc\") = (m_1 + m_2) g h$\"","j1":"a Math [text] that says \"$W_upright(\"el\") = R_e I^2 Delta t$\"","j2":"a Math [text] that says \"$Delta U = U_B - U_A = - W_upright(\"ad\")$\"","law":"a Math [text] that says \"$Delta U = Q - W$\"","p_f":"a PlotPoint [yellow] labelled \"f\" drawn in pv (target='iso', x=<VariableNumber vf = 3.0>)","p_i":"a PlotPoint [yellow] labelled \"i\" drawn in pv (target='iso', x=1.0)","pa":"a Point [text] labelled \"A\" drawn in paths (location=(1.0, 3.0))","paths":"an Axes (x_range=(0.0, 4.0), y_range=(0.0, 4.0), x_label='V')","pb":"a Point [text] labelled \"B\" drawn in paths (location=(3.0, 1.0))","pv":"an Axes (x_range=(0.0, 4.5), y_range=(0.0, 3.5), x_label='V')","r1a":"a Line [red] drawn in paths (start=(1.0, 3.0), end=(3.0, 3.0))","r1b":"a Line [red] drawn in paths (start=(3.0, 3.0), end=(3.0, 1.0))","r2a":"a Line [blue] drawn in paths (start=(1.0, 3.0), end=(1.0, 1.0))","r2b":"a Line [blue] drawn in paths (start=(1.0, 1.0), end=(3.0, 1.0))","shade1":"a Polygon [red] drawn in paths (vertices=((1.0, 3.0), (3.0, 3.0), (3.0, 0.0), (1.0, 0.0)), fill_opacity=0.2)","shade2":"a Polygon [blue] drawn in paths (vertices=((1.0, 1.0), (3.0, 1.0), (3.0, 0.0), (1.0, 0.0)), fill_opacity=0.35)","vf":"a VariableNumber (initial_value=1.6)","work_steps":"a Derivation [text] that says \"$delta W &= P thin dif V \\ W &= integral_(V_i)^(V_f) frac(n R T, V) thin dif V \\ &= n R T ln frac(V_f, V_i)$\""},"beats":[{"start":218.7210625,"say":"Cominciamo dal lavoro. Un gas in un cilindro spinge un pistone senza attrito: se il volume cresce di d V, il gas compie il lavoro elementare P per d V.","live":[],"does":[[218.7210625,"head_work is shown on the screen, written out."],[220.9610625,"pv is shown on the screen, written out."],[226.8010625,"pv moves to a new place on the board."],[226.8010625,"work_steps is shown on the screen, written out."]]},{"start":229.32856249999998,"say":"Seguiamo una espansione isoterma reversibile da V i a V f. Lungo la curva la pressione vale n R T su V, e possiamo integrare.","live":["pv","head_work"],"does":[[229.64106249999998,"iso is shown on the screen, written out."],[231.4010625,"p_i is shown on the screen, written out."],[231.71174743150684,"p_f is shown on the screen, written out."],[238.2810625,"work_steps is shown on the screen, written out."]]},{"start":239.63856249999998,"say":"L'integrale di uno su V è il logaritmo: il lavoro vale n R T per il logaritmo naturale di V f su V i. È positivo in espansione, negativo in compressione.","live":["pv","head_work","iso","p_i","p_f"],"does":[[241.6810625,"work_steps is shown on the screen, written out."]]},{"start":251.5335625,"say":"Geometricamente, il lavoro è l'area sotto la curva nel piano di Clapeyron. Spostiamo lo stato finale, e la regione cresce insieme al volume.","live":null,"does":[[254.04106249999998,"area is shown on the screen, written out."],[256.40106249999997,"p_f is redrawn as the numbers it depends on change."],[256.40106249999997,"area is redrawn as the numbers it depends on change."],[256.40106249999997,"vf ticks to 3.0."]]},{"start":260.6435625,"say":"Confrontiamo una espansione irreversibile tra gli stessi estremi, contro una pressione esterna costante pari a quella finale. Il suo lavoro è il rettangolo grigio, più piccolo. A parità di stati estremi, la trasformazione reversibile produce il lavoro massimo.","live":["pv","head_work","iso","p_i","p_f","area"],"does":[[269.04106249999995,"irr_work is shown on the screen, written out."],[275.90356249999996,"head_work is hidden from the screen — left the board."],[275.90356249999996,"pv is hidden from the screen — left the board."],[275.90356249999996,"iso is hidden from the screen — pv left the board."],[275.90356249999996,"p_i is hidden from the screen — pv left the board."],[275.90356249999996,"p_f is hidden from the screen — pv left the board."],[275.90356249999996,"area is hidden from the screen — pv left the board."],[275.90356249999996,"irr_work is hidden from the screen — pv left the board."],[275.90356249999996,"work_steps is hidden from the screen — left the board."]]},{"start":277.1035625,"say":"Come si introduce l'energia interna? Con l'esperimento di Joule. Due masse cadono di una altezza h e fanno girare delle palette immerse nell'acqua, in un recipiente adiabatico. Il lavoro meccanico vale m uno più m due, per g, per h.","live":[],"does":[[277.1035625,"head_joule is shown on the screen, written out."],[288.4810625,"j0 is shown on the screen, written out."]]},{"start":292.91606249999995,"say":"L'acqua non acquista alcun moto collettivo: alla fine è ferma, ma più calda. Lo stesso aumento di temperatura si ottiene facendo passare una corrente I in una resistenza per un tempo delta t, con lavoro elettrico R I quadro delta t.","live":["j0","head_joule"],"does":[[304.8410625,"j1 is shown on the screen, written out."]]},{"start":307.8285625,"say":"Il risultato cruciale è che, in condizioni adiabatiche, il lavoro necessario dipende solo dagli stati iniziale e finale. Esiste quindi una funzione di stato, l'energia interna U, la cui variazione è meno il lavoro adiabatico.","live":["j0","j1","head_joule"],"does":[[316.7610625,"j2 is shown on the screen, written out."],[322.5685625,"head_joule is hidden from the screen — left the board."],[322.5685625,"j0 is hidden from the screen — left the board."],[322.5685625,"j1 is hidden from the screen — left the board."],[322.5685625,"j2 is hidden from the screen — left the board."]]},{"start":323.7685625,"say":"Prendiamo due stati di equilibrio, A e B, e due percorsi reversibili che li collegano: il rosso, prima isobaro poi isocoro, e il blu, prima isocoro poi isobaro.","live":[],"does":[[323.7685625,"head_first is shown on the screen, written out."],[323.7685625,"paths is shown on the screen, written out."],[326.0010625,"pa is shown on the screen, written out."],[326.4010625,"pb is shown on the screen, written out."],[329.6010625,"r1a is shown on the screen, written out."],[330.1335383842444,"r1b is shown on the screen, written out."],[332.4810625,"r2a is shown on the screen, written out."],[332.97049443997855,"r2b is shown on the screen, written out."]]},{"start":335.48856249999994,"say":"Il lavoro lungo ciascun percorso è l'area sottesa: grande per il rosso, piccola per il blu. Quindi il lavoro dipende dal percorso.","live":["paths","head_first","pa","pb","r1a","r1b","r2a","r2b"],"does":[[338.8810625,"shade1 is shown on the screen, written out."],[340.1210625,"shade2 is shown on the screen, written out."]]},{"start":344.34606249999996,"say":"Se il sistema scambia anche calore vale il Primo Principio: la variazione di energia interna è il calore assorbito meno il lavoro compiuto dal sistema. È la conservazione dell'energia estesa ai moti microscopici.","live":["paths","head_first","pa","pb","r1a","r1b","r2a","r2b","shade1","shade2"],"does":[[347.0410625,"paths moves to a new place on the board."],[347.0410625,"law is shown on the screen, written out."],[350.56106250000005,"conv is shown on the screen, written out."]]},{"start":357.83606249999997,"say":"Poiché U è funzione di stato, la sua variazione da A a B è la stessa lungo i due percorsi. Dunque anche il calore deve differire, esattamente quanto il lavoro. Calore e lavoro sono modi di scambiare energia, non proprietà dello stato.","live":["law","conv","paths","head_first","pa","pb","r1a","r1b","r2a","r2b","shade1","shade2"],"does":[[362.44106250000004,"law is indicated — a transient flash."]]},{"start":373.3860625,"say":"In termini differenziali, d U è un differenziale esatto, mentre delta Q e delta W non lo sono. Su un ciclo chiuso la variazione di energia interna è nulla, quindi il calore netto assorbito eguaglia il lavoro netto.","live":null,"does":[[374.1610625,"exact is shown on the screen, written out."],[387.65841666666665,"conv is hidden from the screen — left the board."],[387.65841666666665,"exact is hidden from the screen — left the board."],[387.65841666666665,"head_first is hidden from the screen — left the board."],[387.65841666666665,"law is hidden from the screen — left the board."],[387.65841666666665,"paths is hidden from the screen — left the board."],[387.65841666666665,"pa is hidden from the screen — paths left the board."],[387.65841666666665,"pb is hidden from the screen — paths left the board."],[387.65841666666665,"r1a is hidden from the screen — paths left the board."],[387.65841666666665,"r1b is hidden from the screen — paths left the board."],[387.65841666666665,"r2a is hidden from the screen — paths left the board."],[387.65841666666665,"r2b is hidden from the screen — paths left the board."],[387.65841666666665,"shade1 is hidden from the screen — paths left the board."],[387.65841666666665,"shade2 is hidden from the screen — paths left the board."]]}]},{"title":"Calori Specifici e Adiabatica","start":388.7000833333333,"end":568.5525624999999,"objects":{"adi":"a FunctionPlot [red] labelled \"upright(\"adiabatica\")\" drawn in pv (function=<function>, x_range=(0.6, 4.0))","adi_steps":"a Derivation [text] that says \"$n C_V thin dif T &= - frac(n R T, V) thin dif V \\ frac(dif T, T) &= -(gamma - 1) frac(dif V, V) \\ T V^(gamma - 1) &= upright(\"cost\") \\ P V^gamma &= upright(\"cost\")$\"","balances":"a Table [text] that says \"Trasformazione $W$ $Q$ $Delta U$ isocora $0$ $n C_V Delta T$ $n C_V Delta T$ isobara $n R Delta T$ $n C_P Delta T$ $n C_V Delta T$ isoterma $n R T ln(V_f/V_i)$ $n R T ln(V_f/V_i)$ $0$ adiabatica $-n C_V Delta T$ $0$ $n C_V Delta T$\" (rows=(('Trasformazione', '$W$', '$Q$', '$Delta U$'), ('isocora', '$0…, header=True)","cdef":"a Math [text] that says \"$C = frac(delta Q, n thin dif T)$\"","free":"a Math [text] that says \"$Q = 0, thin W = 0 thin arrow.r.double thin Delta U = 0, quad T_f = T_i thin arrow.r.double thin U = U(T)$\"","head_adi":"a Heading that says \"Adiabatica Reversibile\"","head_mayer":"a Heading that says \"Calori Specifici e Relazione di Mayer\"","head_table":"a Heading that says \"Bilanci del Gas Ideale\"","iso":"a FunctionPlot [blue] labelled \"upright(\"isoterma\")\" drawn in pv (function=<function>, x_range=(0.6, 4.0))","mayer":"a Math [text] that says \"$C_P = C_V + R, quad gamma = frac(C_P, C_V)$\"","mayer_steps":"a Derivation [text] that says \"$delta Q_V &= dif U = n C_V thin dif T \\ delta Q_P &= dif U + P thin dif V \\ &= n C_V thin dif T + n R thin dif T \\ n C_P thin dif T &= n (C_V + R) thin dif T$\"","p0":"a Point [yellow] drawn in pv (location=(1.0, 2.0))","pv":"an Axes (x_range=(0.5, 4.0), y_range=(0.0, 4.5), x_label='V')"},"beats":[{"start":388.7000833333333,"say":"Per riscaldare un corpo di un grado serve una quantità di calore detta capacità termica, grandezza estensiva. Divisa per la massa, o per il numero di moli, diventa il calore specifico, intensivo. Per un gas però il valore dipende dalla trasformazione.","live":[],"does":[[388.7000833333333,"head_mayer is shown on the screen, written out."],[397.66008333333326,"cdef is shown on the screen, written out."]]},{"start":405.3350833333333,"say":"A volume costante il lavoro è nullo, quindi tutto il calore va in energia interna: delta Q v uguale d U uguale n C v d T. Per un gas ideale U dipende solo da T, e questa relazione vale per qualunque trasformazione.","live":["cdef","head_mayer"],"does":[[406.0200833333333,"mayer_steps is shown on the screen, written out."]]},{"start":421.5600833333333,"say":"A pressione costante, invece, il gas si espande e compie lavoro: delta Q p è d U più P d V.","live":null,"does":[[424.22008333333326,"mayer_steps is shown on the screen, written out."]]},{"start":429.6375833333333,"say":"Differenziando la equazione di stato a pressione costante, P d V è uguale a n R d T. Sostituendo, il calore a pressione costante è n C v d T più n R d T.","live":null,"does":[[436.1400833333333,"mayer_steps is shown on the screen, written out."]]},{"start":442.7000833333333,"say":"Confrontando con la definizione di C p otteniamo la relazione di Mayer: C p uguale C v più R. Parte del calore fornito a pressione costante se ne va in lavoro di espansione. Il rapporto tra i due calori specifici si chiama gamma.","live":null,"does":[[442.9400833333333,"mayer_steps is shown on the screen, written out."],[446.42008333333325,"mayer is shown on the screen, written out."],[453.1800833333333,"A box is drawn around mayer."],[457.52758333333327,"cdef is hidden from the screen — left the board."],[457.52758333333327,"head_mayer is hidden from the screen — left the board."],[457.52758333333327,"mayer is hidden from the screen — left the board."],[457.52758333333327,"mayer_steps is hidden from the screen — left the board."]]},{"start":458.7275833333333,"say":"Passiamo alla adiabatica reversibile, senza scambi di calore. Il Primo Principio dà d U uguale meno P d V, cioè n C v d T uguale meno n R T su V, per d V.","live":[],"does":[[458.7275833333333,"head_adi is shown on the screen, written out."],[459.0200833333333,"pv is shown on the screen, written out."],[463.10008333333326,"pv moves to a new place on the board."],[463.10008333333326,"adi_steps is shown on the screen, written out."]]},{"start":472.1925833333333,"say":"Dividiamo per n C v T. Poiché R su C v è gamma meno uno, otteniamo d T su T uguale meno gamma meno uno, per d V su V.","live":["pv","head_adi"],"does":[[477.3000833333333,"adi_steps is shown on the screen, written out."]]},{"start":482.6725833333333,"say":"Integrando, il logaritmo di T più gamma meno uno volte il logaritmo di V è costante: T V alla gamma meno uno è costante. Con la equazione di stato diventa P V alla gamma costante.","live":null,"does":[[482.9400833333333,"adi_steps is shown on the screen, written out."],[492.4600833333333,"adi_steps is shown on the screen, written out."]]},{"start":495.6200833333333,"say":"Confrontiamo le due curve dallo stesso stato. La isoterma ha pendenza meno P su V, la adiabatica meno gamma P su V. Poiché gamma supera uno, la adiabatica è più ripida: in espansione il gas si raffredda, perché lavora a spese della propria energia interna.","live":null,"does":[[497.7000833333333,"p0 is shown on the screen, written out."],[499.4600833333333,"iso is shown on the screen, written out."],[502.7400833333333,"adi is shown on the screen, written out."],[506.7800833333333,"adi is indicated — a transient flash."],[512.7525833333333,"adi_steps is hidden from the screen — left the board."],[512.7525833333333,"head_adi is hidden from the screen — left the board."],[512.7525833333333,"pv is hidden from the screen — left the board."],[512.7525833333333,"p0 is hidden from the screen — pv left the board."],[512.7525833333333,"iso is hidden from the screen — pv left the board."],[512.7525833333333,"adi is hidden from the screen — pv left the board."]]},{"start":513.9525833333333,"say":"Raccogliamo i bilanci delle quattro trasformazioni notevoli del gas ideale.","live":[],"does":[[513.9525833333333,"head_table is shown on the screen, written out."],[514.9000833333333,"balances is shown on the screen, written out."]]},{"start":519.0100833333333,"say":"In una isocora il lavoro è nullo, e il calore coincide con la variazione di energia interna. In una isobara il lavoro vale n R delta T, e il calore n C p delta T.","live":["head_table"],"does":[[519.5800833333333,"balances is shown on the screen, written out."],[525.3400833333333,"balances is shown on the screen, written out."]]},{"start":531.3025833333332,"say":"In una isoterma l'energia interna non cambia, e calore e lavoro coincidono. In una adiabatica il calore è nullo, e il lavoro si compie a spese dell'energia interna.","live":null,"does":[[531.9400833333333,"balances is shown on the screen, written out."],[537.1000833333333,"balances is shown on the screen, written out."]]},{"start":542.6225833333333,"say":"Resta un esperimento decisivo, l'espansione libera di Joule. Un gas in un recipiente rigido e adiabatico si espande nel vuoto: non scambia calore e non compie lavoro, quindi la sua energia interna non cambia.","live":null,"does":[[550.2600833333333,"free is shown on the screen, written out."]]},{"start":556.4325833333332,"say":"Per un gas ideale la temperatura finale risulta uguale a quella iniziale. Il volume è cambiato, la temperatura no: dunque l'energia interna dipende soltanto dalla temperatura.","live":["free","head_table"],"does":[[565.5400833333333,"free is indicated — a transient flash."],[567.5108958333333,"balances is hidden from the screen — left the board."],[567.5108958333333,"free is hidden from the screen — left the board."],[567.5108958333333,"head_table is hidden from the screen — left the board."]]}]},{"title":"Carnot e il Secondo Principio","start":568.5525624999999,"end":749.7119791666665,"objects":{"ab":"a FunctionPlot [red] drawn in pv (function=<function>, x_range=(1.0, 2.0))","bc":"a FunctionPlot [yellow] drawn in pv (function=<function>, x_range=(2.0, 4.303314829119351))","c0":"a Math [text] that says \"$Q_2 = n R T_2 ln frac(V_B, V_A) > 0$\"","c1":"a Math [text] that says \"$Q_1 = n R T_1 ln frac(V_D, V_C) < 0$\"","c2":"a Math [text] that says \"$T_2 V_B^(gamma - 1) = T_1 V_C^(gamma - 1)$\"","c3":"a Math [text] that says \"$T_2 V_A^(gamma - 1) = T_1 V_D^(gamma - 1)$\"","c4":"a Math [text] that says \"$frac(V_B, V_A) = frac(V_C, V_D)$\"","c5":"a Math [text] that says \"$eta = frac(W, Q_2) = 1 + frac(Q_1, Q_2) = 1 - frac(T_1, T_2)$\"","c6":"a Math [text] that says \"$xi = frac(abs(Q_1), abs(W)) = frac(T_1, T_2 - T_1)$\"","c_eq":"a Math [text] that says \"$upright(\"Clausius violato\") arrow.r.double upright(\"Kelvin violato\")$\"","c_label":"a Tex [text] that says \"Clausius\"","c_math":"a Math [text] that says \"$Q thin (T_1 arrow.r T_2), quad W = 0$\"","c_text":"a Text [text] that says \"Nessun processo ha come unico risultato il passaggio di calore da un corpo più freddo a uno più caldo.\"","cd":"a FunctionPlot [blue] drawn in pv (function=<function>, x_range=(2.1516574145596756, 4.303314829119351))","da":"a FunctionPlot [yellow] drawn in pv (function=<function>, x_range=(1.0, 2.1516574145596756))","head":"a Heading that says \"Il Ciclo di Carnot\"","head2":"a Heading that says \"Enunciati del Secondo Principio\"","k_eq":"a Math [text] that says \"$upright(\"Kelvin violato\") arrow.r.double upright(\"Clausius violato\")$\"","k_label":"a Tex [text] that says \"Kelvin-Planck\"","k_math":"a Math [text] that says \"$Q_2 arrow.r W, quad Q_1 = 0$\"","k_text":"a Text [text] that says \"Nessun processo ciclico ha come unico risultato la conversione integrale in lavoro del calore assorbito da una sola sorgente.\"","p_a":"a Point [text] labelled \"A\" drawn in pv (location=(1.0, 3.0))","p_b":"a Point [text] labelled \"B\" drawn in pv (location=(2.0, 1.5))","p_c":"a Point [text] labelled \"C\" drawn in pv (location=(4.303314829119351, 0.4182822013904011))","p_d":"a Point [text] labelled \"D\" drawn in pv (location=(2.1516574145596756, 0.8365644027808022))","pv":"an Axes (x_range=(0.0, 5.0), y_range=(0.0, 3.5), x_label='V')"},"beats":[{"start":568.5525624999999,"say":"Ora possiamo costruire una macchina termica. Il ciclo di Carnot è reversibile e lavora tra due sole sorgenti: una calda a temperatura T due e una fredda a T uno.","live":[],"does":[[568.5525624999999,"head is shown on the screen, written out."],[569.4325624999999,"pv is shown on the screen, written out."]]},{"start":580.2775624999999,"say":"Prima fase: espansione isoterma da A a B, a contatto con la sorgente calda. L'energia interna non cambia, e il gas assorbe il calore Q due, pari al lavoro compiuto.","live":["pv","head"],"does":[[582.2725624999999,"ab is shown on the screen, written out."],[583.0725624999999,"p_a is shown on the screen, written out."],[583.4725624999999,"p_b is shown on the screen, written out."],[588.4725624999999,"pv moves to a new place on the board."],[588.4725624999999,"c0 is shown on the screen, written out."]]},{"start":592.1725624999999,"say":"Seconda fase: espansione adiabatica da B a C. Il gas lavora senza scambiare calore, e si raffredda fino a T uno.","live":["c0","pv","head","ab","p_a","p_b"],"does":[[594.3525624999999,"bc is shown on the screen, written out."],[595.6725624999999,"p_c is shown on the screen, written out."]]},{"start":601.2075624999999,"say":"Terza fase: compressione isoterma da C a D. L'ambiente compie lavoro sul gas, che cede alla sorgente fredda il calore Q uno, negativo.","live":["c0","pv","head","ab","p_a","p_b","bc","p_c"],"does":[[603.2325624999999,"cd is shown on the screen, written out."],[604.5925624999999,"p_d is shown on the screen, written out."],[607.3925624999999,"c1 is shown on the screen, written out."]]},{"start":611.3575624999999,"say":"Quarta fase: compressione adiabatica da D ad A, che riporta il gas a T due. Il ciclo si chiude, e l'energia interna torna al valore iniziale.","live":["c0","c1","pv","head","ab","p_a","p_b","bc","p_c","cd","p_d"],"does":[[613.3525624999999,"da is shown on the screen, written out."]]},{"start":621.6800624999998,"say":"Le due adiabatiche legano i quattro volumi. Lungo B C, T due per V B alla gamma meno uno è uguale a T uno per V C alla gamma meno uno. Lungo D A vale la stessa relazione, tra V A e V D.","live":["c0","c1","pv","head","ab","p_a","p_b","bc","p_c","cd","p_d","da"],"does":[[624.8725625,"c2 is shown on the screen, written out."],[631.6725624999999,"c3 is shown on the screen, written out."],[635.4725624999999,"c3 moves to a new place on the board."],[635.4725624999999,"c0 is hidden from the screen — left the board."],[635.4725624999999,"c1 is hidden from the screen — left the board."],[635.4725624999999,"c2 is hidden from the screen — left the board."]]},{"start":636.0725624999999,"say":"Dividendo membro a membro, le temperature si elidono: V B su V A è uguale a V C su V D. I due logaritmi sono quindi uguali in valore assoluto.","live":["c3","pv","head","ab","p_a","p_b","bc","p_c","cd","p_d","da"],"does":[[636.3125624999999,"c4 is shown on the screen, written out."]]},{"start":646.2825624999999,"say":"Il lavoro netto è Q due più Q uno, perché in un ciclo delta U è nullo. Il rendimento è il lavoro diviso il calore assorbito, e diventa uno meno T uno su T due. Dipende soltanto dalle temperature assolute delle sorgenti.","live":["c3","pv","head","ab","p_a","p_b","bc","p_c","cd","p_d","da","c4"],"does":[[651.6325625,"c5 is shown on the screen, written out."],[659.1925624999999,"A box is drawn around c5."]]},{"start":661.2950624999999,"say":"Poiché il ciclo è reversibile, possiamo percorrerlo al contrario, in senso antiorario. Il lavoro è fornito dall'esterno, il gas preleva Q uno dalla sorgente fredda e cede calore a quella calda: è un frigorifero. La sua efficienza è il coefficiente di prestazione, T uno su T due meno T uno.","live":["c3","pv","head","ab","p_a","p_b","bc","p_c","cd","p_d","da","c4","c5"],"does":[[664.4325624999999,"The box around c5 is lifted."],[674.4725625,"c6 is shown on the screen, written out."],[679.5325624999999,"c3 is hidden from the screen — left the board."],[679.5325624999999,"c4 is hidden from the screen — left the board."],[679.5325624999999,"c5 is hidden from the screen — left the board."],[679.5325624999999,"c6 is hidden from the screen — left the board."],[679.5325624999999,"head is hidden from the screen — left the board."],[679.5325624999999,"pv is hidden from the screen — left the board."],[679.5325624999999,"ab is hidden from the screen — pv left the board."],[679.5325624999999,"p_a is hidden from the screen — pv left the board."],[679.5325624999999,"p_b is hidden from the screen — pv left the board."],[679.5325624999999,"bc is hidden from the screen — pv left the board."],[679.5325624999999,"p_c is hidden from the screen — pv left the board."],[679.5325624999999,"cd is hidden from the screen — pv left the board."],[679.5325624999999,"p_d is hidden from the screen — pv left the board."],[679.5325624999999,"da is hidden from the screen — pv left the board."]]},{"start":680.7325624999999,"say":"Il Secondo Principio ha due enunciati classici. Kelvin e Planck: non esiste un processo ciclico il cui unico risultato sia trasformare integralmente in lavoro il calore preso da una sola sorgente.","live":[],"does":[[680.7325624999999,"head2 is shown on the screen, written out."],[684.1925624999999,"k_label is shown on the screen, written out."],[684.7125624999999,"k_text is shown on the screen, written out."]]},{"start":693.9500625,"say":"Una espansione isoterma converte tutto il calore in lavoro, ma non viola l'enunciato, perché il gas non torna allo stato iniziale. La macchina monoterma ciclica è impossibile.","live":["k_label","k_text","head2"],"does":[[695.5525624999999,"k_math is shown on the screen, written out."],[703.3925624999999,"k_math is struck through — it is ruled out."]]},{"start":704.9925624999998,"say":"Clausius: non esiste un processo il cui unico risultato sia il passaggio di calore da un corpo più freddo a uno più caldo. Il frigorifero esiste, ma richiede lavoro.","live":["k_label","k_text","k_math","head2"],"does":[[705.2725624999999,"c_label is shown on the screen, written out."],[706.5525624999999,"c_text is shown on the screen, written out."],[713.1125625,"c_math is shown on the screen, written out."]]},{"start":716.0625624999999,"say":"I due enunciati sono equivalenti. Se esistesse la macchina monoterma, ne useremmo il lavoro per azionare un frigorifero: il risultato netto sarebbe calore che passa dal freddo al caldo senza lavoro esterno, contro Clausius.","live":["k_label","k_text","k_math","c_label","c_text","c_math","head2"],"does":[[717.5525624999999,"c_math is struck through — it is ruled out."],[718.8325624999999,"k_eq is shown on the screen, written out."]]},{"start":729.7900624999999,"say":"Viceversa, se il calore passasse spontaneamente dal freddo al caldo, lo restituiremmo con una macchina termica reale: la sorgente fredda tornerebbe com'era, e avremmo una macchina monoterma, contro Kelvin. I flussi si bilanciano scegliendo il numero di moli, perché calore e lavoro sono grandezze estensive.","live":["k_label","k_text","k_math","k_eq","c_label","c_text","c_math","head2"],"does":[[729.9525624999999,"c_eq is shown on the screen, written out."],[748.6703124999999,"c_eq is hidden from the screen — left the board."],[748.6703124999999,"c_label is hidden from the screen — left the board."],[748.6703124999999,"c_math is hidden from the screen — left the board."],[748.6703124999999,"c_text is hidden from the screen — left the board."],[748.6703124999999,"head2 is hidden from the screen — left the board."],[748.6703124999999,"k_eq is hidden from the screen — left the board."],[748.6703124999999,"k_label is hidden from the screen — left the board."],[748.6703124999999,"k_math is hidden from the screen — left the board."],[748.6703124999999,"k_text is hidden from the screen — left the board."]]}]},{"title":"Entropia","start":749.7119791666665,"end":993.4028333333332,"objects":{"b0":"a Math [text] that says \"$T_upright(\"eq\") = frac(C_1 T_1 + C_2 T_2, C_1 + C_2)$\"","b1":"a Math [text] that says \"$Delta S = C_1 ln frac(T_upright(\"eq\"), T_1) + C_2 ln frac(T_upright(\"eq\"), T_2)$\"","b2":"a Math [text] that says \"$C_1 = C_2: quad Delta S = C ln frac(T_upright(\"eq\")^2, T_1 T_2) > 0$\"","b3":"a Math [text] that says \"$Delta S_upright(\"universo\") = Delta S_upright(\"sist\") + Delta S_upright(\"amb\") >= 0$\"","b4":"a Math [text] that says \"$W_upright(\"perso\") = W_upright(\"rev\") - W_upright(\"irr\") = T_0 Delta S_upright(\"universo\")$\"","ds":"a Math [text] that says \"$dif S = frac(delta Q_upright(\"rev\"), T), quad Delta S = integral_1^2 frac(delta Q_upright(\"rev\"), T)$\"","e0":"a Math [text] that says \"$eta_X = 1 + frac(Q_1, Q_2) <= 1 - frac(T_1, T_2)$\"","e1":"a Math [text] that says \"$frac(Q_1, T_1) + frac(Q_2, T_2) <= 0$\"","e2":"a Math [text] that says \"$sum_(i=1)^N frac(Q_i, T_i) <= 0 quad arrow.r quad integral.cont frac(delta Q, T) <= 0$\"","e3":"a Math [text] that says \"$integral.cont frac(delta Q_upright(\"rev\"), T) = 0$\"","entropy_table":"a Table [text] that says \"Processo $Delta S$ del sistema isoterma $n R ln(V_2/V_1)$ isobara $n C_P ln(T_f/T_i)$ isocora $n C_V ln(T_f/T_i)$ adiabatica reversibile $0$ espansione libera $V arrow.r 2V$ $n R ln 2$ transizione di fase $lambda m / T$\" (rows=(('Processo', '$Delta S$ del sistema'), ('isoterma', '$n R ln(V…, header=True)","general":"a Math [text] that says \"$Delta S = n C_V ln frac(T_f, T_i) + n R ln frac(V_f, V_i)$\"","head1":"a Heading that says \"Dalla Disuguaglianza di Clausius all'Entropia\"","head2":"a Heading that says \"Entropia del Gas Ideale\"","head3":"a Heading that says \"Universo e Lavoro Perso\"","head4":"a Heading that says \"Il Ciclo di Carnot nel Piano T-S\"","rect":"a Polygon [yellow] drawn in ts (vertices=((1.0, 1.0), (3.0, 1.0), (3.0, 3.0), (1.0, 3.0)))","ts":"an Axes (x_range=(0.0, 4.0), y_range=(0.0, 4.0), x_label='S')","w_ts":"a Math [text] that says \"$W = integral.cont T thin dif S = (T_2 - T_1) Delta S$\""},"beats":[{"start":749.7119791666665,"say":"Dal Secondo Principio segue il teorema di Carnot: nessuna macchina tra le stesse due sorgenti ha rendimento maggiore di una reversibile, e tutte le reversibili hanno lo stesso rendimento, quello di Carnot.","live":[],"does":[[749.7119791666665,"head1 is shown on the screen, written out."],[751.6319791666665,"e0 is shown on the screen, written out."]]},{"start":762.1969791666666,"say":"Scriviamo la disuguaglianza con i calori presi con il loro segno. Riordinando, la somma di Q uno su T uno e Q due su T due è minore o uguale a zero, con l'uguale per i cicli reversibili.","live":["e0","head1"],"does":[[766.1789791666665,"e1 is shown on the screen, written out."]]},{"start":775.0444791666665,"say":"Un ciclo qualsiasi si può scomporre in tanti cicli di Carnot elementari, con molte sorgenti. Si ottiene la disuguaglianza di Clausius: l'integrale ciclico di delta Q su T è minore o uguale a zero, dove T è la temperatura della sorgente.","live":["e0","e1","head1"],"does":[[782.3919791666665,"e2 is shown on the screen, written out."]]},{"start":790.4944791666666,"say":"Per un ciclo reversibile l'integrale è nullo. Allora l'integrale di delta Q reversibile su T tra due stati non dipende dal percorso: definisce una funzione di stato, l'entropia S, estensiva, misurata in joule al kelvin.","live":["e0","e1","e2","head1"],"does":[[792.9519791666665,"e3 is shown on the screen, written out."],[799.6719791666666,"ds is shown on the screen, written out."],[802.6319791666665,"A box is drawn around ds."]]},{"start":806.0269791666665,"say":"Attenzione: il calore da usare è quello scambiato lungo un percorso reversibile. Per un processo reale basta immaginare un cammino reversibile qualsiasi tra gli stessi stati estremi.","live":["e0","e1","e2","e3","ds","head1"],"does":[[816.9119791666666,"ds is hidden from the screen — left the board."],[816.9119791666666,"e0 is hidden from the screen — left the board."],[816.9119791666666,"e1 is hidden from the screen — left the board."],[816.9119791666666,"e2 is hidden from the screen — left the board."],[816.9119791666666,"e3 is hidden from the screen — left the board."],[816.9119791666666,"head1 is hidden from the screen — left the board."]]},{"start":818.1119791666665,"say":"Calcoliamo ora la variazione di entropia del gas ideale nei casi notevoli.","live":[],"does":[[818.1119791666665,"head2 is shown on the screen, written out."],[819.3119791666666,"entropy_table is shown on the screen, written out."]]},{"start":823.0944791666666,"say":"Lungo una isoterma il calore reversibile è uguale al lavoro, n R T per il logaritmo del rapporto dei volumi. Dividendo per T resta n R logaritmo di V due su V uno.","live":["head2"],"does":[[823.9119791666665,"entropy_table is shown on the screen, written out."]]},{"start":835.3994791666665,"say":"In una isobara il calore elementare è n C p d T: dividendo per T e integrando compare il logaritmo delle temperature. In una isocora vale lo stesso, con C v al posto di C p.","live":null,"does":[[835.9519791666665,"entropy_table is shown on the screen, written out."],[844.1119791666665,"entropy_table is shown on the screen, written out."]]},{"start":848.1569791666666,"say":"In una adiabatica reversibile delta Q è nullo, e l'entropia resta costante: la trasformazione è isoentropica.","live":null,"does":[[848.7119791666665,"entropy_table is shown on the screen, written out."]]},{"start":856.3269791666665,"say":"Ed ecco un caso istruttivo, l'espansione libera da V a due V. È irreversibile e adiabatica, eppure l'entropia aumenta. Poiché S è funzione di stato, la calcoliamo lungo la isoterma reversibile tra gli stessi estremi: delta S vale n R logaritmo di due, positivo.","live":null,"does":[[858.9519791666665,"entropy_table is shown on the screen, written out."]]},{"start":874.8619791666665,"say":"Infine, in una transizione di fase a temperatura costante, il calore latente lambda per la massa m, diviso T, dà la variazione di entropia.","live":null,"does":[[876.1119791666665,"entropy_table is shown on the screen, written out."]]},{"start":884.1269791666665,"say":"Tutti i casi del gas ideale discendono da una sola formula, ottenuta integrando d U più P d V, diviso T.","live":null,"does":[[887.1519791666666,"general is shown on the screen, written out."],[891.1494791666665,"entropy_table is hidden from the screen — left the board."],[891.1494791666665,"general is hidden from the screen — left the board."],[891.1494791666665,"head2 is hidden from the screen — left the board."]]},{"start":892.3494791666665,"say":"Consideriamo due corpi di capacità termica C uno e C due, a temperature T uno e T due, posti a contatto dentro un involucro isolato. Raggiungono una temperatura di equilibrio, la media pesata dalle capacità.","live":[],"does":[[892.3494791666665,"head3 is shown on the screen, written out."],[903.4719791666665,"b0 is shown on the screen, written out."]]},{"start":905.7619791666665,"say":"Ciascun corpo si scalda o si raffredda, e lungo un percorso reversibile la sua variazione di entropia è la capacità per il logaritmo del rapporto tra temperatura finale e iniziale.","live":["b0","head3"],"does":[[910.6319791666665,"b1 is shown on the screen, written out."]]},{"start":916.8019791666666,"say":"Con capacità uguali la temperatura finale è la media aritmetica, e la somma diventa C per il logaritmo di T equilibrio al quadrato su T uno T due. La media aritmetica supera sempre quella geometrica: l'entropia totale aumenta.","live":["b0","b1","head3"],"does":[[921.3119791666664,"b2 is shown on the screen, written out."]]},{"start":932.5519791666666,"say":"Il sistema insieme al suo ambiente forma un universo isolato, e la sua entropia non diminuisce mai: resta costante nei processi reversibili e cresce in tutti quelli reali. Violare Kelvin o Clausius significherebbe farla diminuire.","live":["b0","b1","b2","head3"],"does":[[935.3919791666665,"b3 is shown on the screen, written out."]]},{"start":947.7069791666665,"say":"Questo aumento ha un prezzo concreto. 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Le isoterme sono segmenti orizzontali, le adiabatiche reversibili, isoentropiche, segmenti verticali: il ciclo è un rettangolo.","live":[],"does":[[961.8894791666665,"head4 is shown on the screen, written out."],[962.1919791666664,"ts is shown on the screen, written out."],[973.4319791666665,"rect is shown on the screen, written out."]]},{"start":974.6994791666665,"say":"L'area sotto ogni tratto è il calore scambiato, perché delta Q reversibile è T d S. L'area racchiusa è il calore netto, cioè il lavoro: T due meno T uno per delta S. 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Per l'acqua il calore latente di ebollizione vale più di cinquecento volte il calore specifico per grado.","live":["vdw","vdw_note","vd","head1","t12","t10","critical","t09","plateau"],"does":[[1050.6828333333333,"latent is shown on the screen, written out."],[1059.3603333333333,"head1 is hidden from the screen — left the board."],[1059.3603333333333,"latent is hidden from the screen — left the board."],[1059.3603333333333,"vd is hidden from the screen — left the board."],[1059.3603333333333,"t12 is hidden from the screen — vd left the board."],[1059.3603333333333,"t10 is hidden from the screen — vd left the board."],[1059.3603333333333,"critical is hidden from the screen — vd left the board."],[1059.3603333333333,"t09 is hidden from the screen — vd left the board."],[1059.3603333333333,"plateau is hidden from the screen — vd left the board."],[1059.3603333333333,"vdw is hidden from the screen — left the board."],[1059.3603333333333,"vdw_note is hidden from the screen — left the board."]]},{"start":1060.5603333333331,"say":"Veniamo ai motori. Il ciclo Otto modella il motore a benzina: dopo l'aspirazione, la miscela viene compressa adiabaticamente da A a B.","live":[],"does":[[1060.5603333333331,"head2 is shown on the screen, written out."],[1062.8028333333332,"ot is shown on the screen, written out."],[1063.9228333333333,"o_a is shown on the screen, written out."],[1067.0028333333332,"o_ab is shown on the screen, written out."],[1069.0828333333332,"o_b is shown on the screen, written out."]]},{"start":1070.1003333333333,"say":"La scintilla provoca una combustione così rapida da avvenire quasi a volume costante: da B a C il gas assorbe il calore Q due.","live":["ot","head2","o_ab","o_a","o_b"],"does":[[1070.4428333333333,"o_bc is shown on the screen, written out."],[1075.8428333333331,"o_c is shown on the screen, written out."],[1076.8028333333332,"o0 is shown on the screen, written out."]]},{"start":1079.2553333333333,"say":"Segue l'espansione adiabatica da C a D, la fase utile. Poi, all'apertura della valvola, una decompressione isocora riporta il gas in A, cedendo il calore Q uno, prima dello scarico.","live":["o0","ot","head2","o_ab","o_a","o_b","o_bc","o_c"],"does":[[1080.5228333333332,"o_cd is shown on the screen, written out."],[1081.882833333333,"o_d is shown on the screen, written out."],[1086.4428333333333,"o_da is shown on the screen, written out."],[1088.6028333333331,"o1 is shown on the screen, written out."]]},{"start":1091.9103333333333,"say":"Il rendimento è uno più Q uno su Q due. I calori sono n C v per le differenze di temperatura lungo le isocore, e i fattori n C v si semplificano.","live":["o0","o1","ot","head2","o_ab","o_a","o_b","o_bc","o_c","o_cd","o_d","o_da"],"does":[[1092.3228333333332,"o2 is shown on the screen, written out."]]},{"start":1103.1878333333332,"say":"Ora usiamo le adiabatiche e il rapporto di compressione r, volume massimo diviso volume minimo: T B è T A per r alla gamma meno uno, e T C è T D per lo stesso fattore.","live":["o0","o1","o2","ot","head2","o_ab","o_a","o_b","o_bc","o_c","o_cd","o_d","o_da"],"does":[[1104.3628333333331,"o3 is shown on the screen, written out."],[1114.3228333333332,"o4 is shown on the screen, written out."]]},{"start":1115.9928333333332,"say":"Il denominatore è r alla gamma meno uno volte il numeratore, e il rapporto si semplifica. Il rendimento dipende solo da r: uno meno uno su r alla gamma meno uno. 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Il ciclo Otto ha due adiabatiche e due isocore.","live":[],"does":[[1130.3528333333331,"head3 is shown on the screen, written out."],[1130.7228333333333,"cycles is shown on the screen, written out."],[1133.0428333333332,"cycles is shown on the screen, written out."]]},{"start":1136.4603333333332,"say":"Nel motore Diesel non c'è la candela: l'aria viene compressa fino ad accendere spontaneamente il gasolio, e la combustione si modella come isobara. Il rapporto di compressione arriva a circa quindici, e il rendimento reale supera quello del motore a benzina.","live":["head3"],"does":[[1137.1628333333333,"cycles is shown on the screen, written out."]]},{"start":1151.4578333333332,"say":"Il ciclo Stirling usa due isoterme e due isocore. 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Il Principio Zero definisce la temperatura, il Primo introduce l'energia interna, il Secondo l'entropia e la direzione spontanea dei processi. Il Terzo, che qui solo citiamo, fissa lo zero assoluto come limite irraggiungibile. La termodinamica descrive lo stato macroscopico di un sistema con poche variabili: pressione, volume, temperatura, quantità di sostanza. Non si occupa delle singole molecole. Un gas in un palloncino, un blocco di ferro, acqua in equilibrio con il suo vapore: sono tutti sistemi termodinamici. Li classifichiamo in base a ciò che scambiano con l'ambiente. Un sistema aperto scambia materia ed energia. Un sistema chiuso scambia soltanto energia. Un sistema isolato non scambia nulla. Anche il confine conta. Una parete diatermica permette il passaggio di calore, una parete adiabatica lo impedisce. Un sistema è in equilibrio termodinamico quando non evolve più nel tempo. Servono tre condizioni insieme: equilibrio meccanico, equilibrio termico ed equilibrio chimico. Il Principio Zero riguarda l'equilibrio termico. Se A è in equilibrio con B, e C è in equilibrio con B, allora A e C sono in equilibrio tra loro. Questa transitività rende possibile il termometro. Il corpo B fa da termometro, e la grandezza che i corpi in equilibrio condividono si chiama temperatura. La scala assoluta si fissa con un solo punto: il punto triplo dell'acqua, dove ghiaccio, liquido e vapore coesistono, che vale per definizione duecentosettantatré virgola sedici kelvin. La scala Celsius è la stessa scala traslata: la temperatura in kelvin è quella in gradi Celsius più duecentosettantatré virgola quindici. Il modello più semplice è il gas ideale: un gas rarefatto e caldo, le cui molecole non interagiscono a distanza e hanno volume proprio trascurabile. Lo rappresentiamo nel piano di Clapeyron, con il volume in ascissa e la pressione in ordinata. A temperatura costante vale la legge di Boyle: il prodotto P V resta costante. Nel piano questa legge disegna una iperbole, cioè una isoterma. Temperature più alte danno iperboli più lontane dall'origine. Le leggi di Gay-Lussac descrivono isobara e isocora: il volume a pressione costante, e la pressione a volume costante, crescono linearmente con la temperatura Celsius, con lo stesso coefficiente, uno su duecentosettantatré virgola quindici. Nel piano, la isobara è un segmento orizzontale e la isocora un segmento verticale. Combinando le tre leggi si ottiene la equazione di stato: P V uguale n R T, oppure N k B T, dove k B è la costante di Boltzmann, R diviso il numero di Avogadro. In condizioni standard, zero gradi Celsius e una atmosfera, una mole di gas ideale occupa ventidue virgola quattro litri. Ultima convenzione grafica. Una trasformazione reversibile è una successione continua di stati di equilibrio e si disegna con una linea continua. Una irreversibile passa per stati non definiti: ne conosciamo solo gli estremi, e la tracciamo tratteggiata."},{"title":"Lavoro e Primo Principio","startSeconds":218.7210625,"narration":"Cominciamo dal lavoro. Un gas in un cilindro spinge un pistone senza attrito: se il volume cresce di d V, il gas compie il lavoro elementare P per d V. Seguiamo una espansione isoterma reversibile da V i a V f. Lungo la curva la pressione vale n R T su V, e possiamo integrare. L'integrale di uno su V è il logaritmo: il lavoro vale n R T per il logaritmo naturale di V f su V i. È positivo in espansione, negativo in compressione. Geometricamente, il lavoro è l'area sotto la curva nel piano di Clapeyron. Spostiamo lo stato finale, e la regione cresce insieme al volume. Confrontiamo una espansione irreversibile tra gli stessi estremi, contro una pressione esterna costante pari a quella finale. Il suo lavoro è il rettangolo grigio, più piccolo. A parità di stati estremi, la trasformazione reversibile produce il lavoro massimo. Come si introduce l'energia interna? Con l'esperimento di Joule. Due masse cadono di una altezza h e fanno girare delle palette immerse nell'acqua, in un recipiente adiabatico. Il lavoro meccanico vale m uno più m due, per g, per h. L'acqua non acquista alcun moto collettivo: alla fine è ferma, ma più calda. Lo stesso aumento di temperatura si ottiene facendo passare una corrente I in una resistenza per un tempo delta t, con lavoro elettrico R I quadro delta t. Il risultato cruciale è che, in condizioni adiabatiche, il lavoro necessario dipende solo dagli stati iniziale e finale. Esiste quindi una funzione di stato, l'energia interna U, la cui variazione è meno il lavoro adiabatico. Prendiamo due stati di equilibrio, A e B, e due percorsi reversibili che li collegano: il rosso, prima isobaro poi isocoro, e il blu, prima isocoro poi isobaro. Il lavoro lungo ciascun percorso è l'area sottesa: grande per il rosso, piccola per il blu. Quindi il lavoro dipende dal percorso. Se il sistema scambia anche calore vale il Primo Principio: la variazione di energia interna è il calore assorbito meno il lavoro compiuto dal sistema. È la conservazione dell'energia estesa ai moti microscopici. Poiché U è funzione di stato, la sua variazione da A a B è la stessa lungo i due percorsi. Dunque anche il calore deve differire, esattamente quanto il lavoro. Calore e lavoro sono modi di scambiare energia, non proprietà dello stato. In termini differenziali, d U è un differenziale esatto, mentre delta Q e delta W non lo sono. Su un ciclo chiuso la variazione di energia interna è nulla, quindi il calore netto assorbito eguaglia il lavoro netto."},{"title":"Calori Specifici e Adiabatica","startSeconds":388.7000833333333,"narration":"Per riscaldare un corpo di un grado serve una quantità di calore detta capacità termica, grandezza estensiva. Divisa per la massa, o per il numero di moli, diventa il calore specifico, intensivo. Per un gas però il valore dipende dalla trasformazione. A volume costante il lavoro è nullo, quindi tutto il calore va in energia interna: delta Q v uguale d U uguale n C v d T. Per un gas ideale U dipende solo da T, e questa relazione vale per qualunque trasformazione. A pressione costante, invece, il gas si espande e compie lavoro: delta Q p è d U più P d V. Differenziando la equazione di stato a pressione costante, P d V è uguale a n R d T. Sostituendo, il calore a pressione costante è n C v d T più n R d T. Confrontando con la definizione di C p otteniamo la relazione di Mayer: C p uguale C v più R. Parte del calore fornito a pressione costante se ne va in lavoro di espansione. Il rapporto tra i due calori specifici si chiama gamma. Passiamo alla adiabatica reversibile, senza scambi di calore. Il Primo Principio dà d U uguale meno P d V, cioè n C v d T uguale meno n R T su V, per d V. Dividiamo per n C v T. Poiché R su C v è gamma meno uno, otteniamo d T su T uguale meno gamma meno uno, per d V su V. Integrando, il logaritmo di T più gamma meno uno volte il logaritmo di V è costante: T V alla gamma meno uno è costante. Con la equazione di stato diventa P V alla gamma costante. Confrontiamo le due curve dallo stesso stato. La isoterma ha pendenza meno P su V, la adiabatica meno gamma P su V. Poiché gamma supera uno, la adiabatica è più ripida: in espansione il gas si raffredda, perché lavora a spese della propria energia interna. Raccogliamo i bilanci delle quattro trasformazioni notevoli del gas ideale. In una isocora il lavoro è nullo, e il calore coincide con la variazione di energia interna. In una isobara il lavoro vale n R delta T, e il calore n C p delta T. In una isoterma l'energia interna non cambia, e calore e lavoro coincidono. In una adiabatica il calore è nullo, e il lavoro si compie a spese dell'energia interna. Resta un esperimento decisivo, l'espansione libera di Joule. Un gas in un recipiente rigido e adiabatico si espande nel vuoto: non scambia calore e non compie lavoro, quindi la sua energia interna non cambia. Per un gas ideale la temperatura finale risulta uguale a quella iniziale. Il volume è cambiato, la temperatura no: dunque l'energia interna dipende soltanto dalla temperatura."},{"title":"Carnot e il Secondo Principio","startSeconds":568.5525624999999,"narration":"Ora possiamo costruire una macchina termica. Il ciclo di Carnot è reversibile e lavora tra due sole sorgenti: una calda a temperatura T due e una fredda a T uno. Prima fase: espansione isoterma da A a B, a contatto con la sorgente calda. L'energia interna non cambia, e il gas assorbe il calore Q due, pari al lavoro compiuto. Seconda fase: espansione adiabatica da B a C. Il gas lavora senza scambiare calore, e si raffredda fino a T uno. Terza fase: compressione isoterma da C a D. L'ambiente compie lavoro sul gas, che cede alla sorgente fredda il calore Q uno, negativo. Quarta fase: compressione adiabatica da D ad A, che riporta il gas a T due. Il ciclo si chiude, e l'energia interna torna al valore iniziale. Le due adiabatiche legano i quattro volumi. Lungo B C, T due per V B alla gamma meno uno è uguale a T uno per V C alla gamma meno uno. Lungo D A vale la stessa relazione, tra V A e V D. Dividendo membro a membro, le temperature si elidono: V B su V A è uguale a V C su V D. I due logaritmi sono quindi uguali in valore assoluto. Il lavoro netto è Q due più Q uno, perché in un ciclo delta U è nullo. Il rendimento è il lavoro diviso il calore assorbito, e diventa uno meno T uno su T due. Dipende soltanto dalle temperature assolute delle sorgenti. Poiché il ciclo è reversibile, possiamo percorrerlo al contrario, in senso antiorario. Il lavoro è fornito dall'esterno, il gas preleva Q uno dalla sorgente fredda e cede calore a quella calda: è un frigorifero. La sua efficienza è il coefficiente di prestazione, T uno su T due meno T uno. Il Secondo Principio ha due enunciati classici. Kelvin e Planck: non esiste un processo ciclico il cui unico risultato sia trasformare integralmente in lavoro il calore preso da una sola sorgente. Una espansione isoterma converte tutto il calore in lavoro, ma non viola l'enunciato, perché il gas non torna allo stato iniziale. La macchina monoterma ciclica è impossibile. Clausius: non esiste un processo il cui unico risultato sia il passaggio di calore da un corpo più freddo a uno più caldo. Il frigorifero esiste, ma richiede lavoro. I due enunciati sono equivalenti. Se esistesse la macchina monoterma, ne useremmo il lavoro per azionare un frigorifero: il risultato netto sarebbe calore che passa dal freddo al caldo senza lavoro esterno, contro Clausius. Viceversa, se il calore passasse spontaneamente dal freddo al caldo, lo restituiremmo con una macchina termica reale: la sorgente fredda tornerebbe com'era, e avremmo una macchina monoterma, contro Kelvin. I flussi si bilanciano scegliendo il numero di moli, perché calore e lavoro sono grandezze estensive."},{"title":"Entropia","startSeconds":749.7119791666665,"narration":"Dal Secondo Principio segue il teorema di Carnot: nessuna macchina tra le stesse due sorgenti ha rendimento maggiore di una reversibile, e tutte le reversibili hanno lo stesso rendimento, quello di Carnot. Scriviamo la disuguaglianza con i calori presi con il loro segno. Riordinando, la somma di Q uno su T uno e Q due su T due è minore o uguale a zero, con l'uguale per i cicli reversibili. Un ciclo qualsiasi si può scomporre in tanti cicli di Carnot elementari, con molte sorgenti. Si ottiene la disuguaglianza di Clausius: l'integrale ciclico di delta Q su T è minore o uguale a zero, dove T è la temperatura della sorgente. Per un ciclo reversibile l'integrale è nullo. Allora l'integrale di delta Q reversibile su T tra due stati non dipende dal percorso: definisce una funzione di stato, l'entropia S, estensiva, misurata in joule al kelvin. Attenzione: il calore da usare è quello scambiato lungo un percorso reversibile. Per un processo reale basta immaginare un cammino reversibile qualsiasi tra gli stessi stati estremi. Calcoliamo ora la variazione di entropia del gas ideale nei casi notevoli. Lungo una isoterma il calore reversibile è uguale al lavoro, n R T per il logaritmo del rapporto dei volumi. Dividendo per T resta n R logaritmo di V due su V uno. In una isobara il calore elementare è n C p d T: dividendo per T e integrando compare il logaritmo delle temperature. In una isocora vale lo stesso, con C v al posto di C p. In una adiabatica reversibile delta Q è nullo, e l'entropia resta costante: la trasformazione è isoentropica. Ed ecco un caso istruttivo, l'espansione libera da V a due V. È irreversibile e adiabatica, eppure l'entropia aumenta. Poiché S è funzione di stato, la calcoliamo lungo la isoterma reversibile tra gli stessi estremi: delta S vale n R logaritmo di due, positivo. Infine, in una transizione di fase a temperatura costante, il calore latente lambda per la massa m, diviso T, dà la variazione di entropia. Tutti i casi del gas ideale discendono da una sola formula, ottenuta integrando d U più P d V, diviso T. Consideriamo due corpi di capacità termica C uno e C due, a temperature T uno e T due, posti a contatto dentro un involucro isolato. Raggiungono una temperatura di equilibrio, la media pesata dalle capacità. Ciascun corpo si scalda o si raffredda, e lungo un percorso reversibile la sua variazione di entropia è la capacità per il logaritmo del rapporto tra temperatura finale e iniziale. Con capacità uguali la temperatura finale è la media aritmetica, e la somma diventa C per il logaritmo di T equilibrio al quadrato su T uno T due. La media aritmetica supera sempre quella geometrica: l'entropia totale aumenta. Il sistema insieme al suo ambiente forma un universo isolato, e la sua entropia non diminuisce mai: resta costante nei processi reversibili e cresce in tutti quelli reali. Violare Kelvin o Clausius significherebbe farla diminuire. Questo aumento ha un prezzo concreto. La differenza tra il lavoro reversibile massimo e il lavoro reale è il lavoro perso, ed è uguale alla temperatura T zero della sorgente più fredda per l'aumento di entropia dell'universo. Torniamo al ciclo di Carnot, ora nel piano T S. Le isoterme sono segmenti orizzontali, le adiabatiche reversibili, isoentropiche, segmenti verticali: il ciclo è un rettangolo. L'area sotto ogni tratto è il calore scambiato, perché delta Q reversibile è T d S. L'area racchiusa è il calore netto, cioè il lavoro: T due meno T uno per delta S. Dividendo per il calore assorbito, T due delta S, ritroviamo il rendimento di Carnot."},{"title":"Gas Reali e Cicli Applicativi","startSeconds":993.4028333333332,"narration":"Il gas ideale funziona a bassa pressione e alta temperatura. Fuori da quel regime servono due correzioni, che Van der Waals introduce nella equazione di stato. Il covolume b sottrae dal volume del recipiente quello occupato dalle molecole. Il termine a n quadro su V quadro è la pressione interna: le attrazioni riducono la pressione sulle pareti, in proporzione al quadrato della densità molare. Ecco tre isoterme di Van der Waals. Sopra la temperatura critica la curva somiglia a una iperbole, e il gas non condensa per sola compressione. La isoterma critica ha un flesso orizzontale, nel punto critico. Sotto la temperatura critica compare una ansa. In realtà il sistema la sostituisce con un pianerottolo orizzontale: liquido e vapore coesistono a pressione e temperatura costanti. Lungo il pianerottolo il calore fornito non alza la temperatura ma cambia la fase: è il calore latente, Q uguale m lambda. Per l'acqua il calore latente di ebollizione vale più di cinquecento volte il calore specifico per grado. Veniamo ai motori. Il ciclo Otto modella il motore a benzina: dopo l'aspirazione, la miscela viene compressa adiabaticamente da A a B. La scintilla provoca una combustione così rapida da avvenire quasi a volume costante: da B a C il gas assorbe il calore Q due. Segue l'espansione adiabatica da C a D, la fase utile. Poi, all'apertura della valvola, una decompressione isocora riporta il gas in A, cedendo il calore Q uno, prima dello scarico. Il rendimento è uno più Q uno su Q due. I calori sono n C v per le differenze di temperatura lungo le isocore, e i fattori n C v si semplificano. Ora usiamo le adiabatiche e il rapporto di compressione r, volume massimo diviso volume minimo: T B è T A per r alla gamma meno uno, e T C è T D per lo stesso fattore. Il denominatore è r alla gamma meno uno volte il numeratore, e il rapporto si semplifica. Il rendimento dipende solo da r: uno meno uno su r alla gamma meno uno. Più si comprime, più si guadagna. Raccogliamo i cicli applicativi. Il ciclo Otto ha due adiabatiche e due isocore. Nel motore Diesel non c'è la candela: l'aria viene compressa fino ad accendere spontaneamente il gasolio, e la combustione si modella come isobara. Il rapporto di compressione arriva a circa quindici, e il rendimento reale supera quello del motore a benzina. Il ciclo Stirling usa due isoterme e due isocore. Con un rigeneratore ideale, il calore ceduto in una isocora viene restituito nell'altra, e il rendimento raggiunge quello di Carnot tra le stesse sorgenti. Il frigorifero reale usa un fluido che cambia fase. Il compressore, azionato da un motore elettrico, fornisce il lavoro W e porta il vapore ad alta pressione. Nel condensatore il fluido cede il calore Q due all'ambiente e si liquefa. La valvola di laminazione lo fa espandere bruscamente, e la sua temperatura crolla. Infine, nell'evaporatore, il fluido freddo assorbe il calore Q uno dal vano da refrigerare e torna al compressore. La pompa di calore è la stessa macchina con uno scopo diverso: conta il calore ceduto alla casa. Il suo coefficiente ideale è T due su T due meno T uno, e il lavoro elettrico è solo una piccola frazione del calore trasferito. Abbiamo percorso la termodinamica dal Principio Zero fino ai motori. Una sola legge, l'entropia dell'universo che non diminuisce, fissa il limite di ogni macchina: nessun motore supera Carnot, e ogni irreversibilità costa lavoro perso."}]}}