{"version":1,"lectureId":"01M4QV3V09E7HYA2S9HS115S7S","attempt":0,"publication":{"slug":"sistemi-di-coordinate-in-fisica-cartesiane-polari-cilindriche-e-sferiche","title":"Sistemi di Coordinate in Fisica: Cartesiane, Polari, Cilindriche e Sferiche","subject":"physics","summary":"Una lezione animata sui quattro sistemi di coordinate che ogni studente di fisica e ingegneria usa ogni giorno. Si parte dalle coordinate cartesiane, con i versori di base e il vettore posizione nel piano e nello spazio; si passa alle polari, ricavando x = r cos theta e y = r sin theta e mostrando come i versori radiale e trasverso ruotino con il punto. Le cilindriche estendono le polari lungo z e si applicano ai problemi a simmetria assiale, come il filo carico; le sferiche si ottengono riconoscendo che r sin theta è il rho cilindrico, e descrivono i problemi a simmetria centrale. Ogni formula nasce dalla geometria tridimensionale che la giustifica.","metaDescription":"Coordinate cartesiane, polari, cilindriche e sferiche: formule di trasformazione, versori e simmetrie, con animazioni 3D per fisica e ingegneria.","transcript":"Per descrivere qualunque fenomeno fisico dobbiamo prima rispondere a una domanda semplice: dove si trova il punto che stiamo studiando? Esistono diversi modi di rispondere. In questa lezione ne vedremo quattro: le coordinate cartesiane, le polari nel piano, le cilindriche e le sferiche nello spazio. Ciascuno si adatta a una diversa simmetria del problema, e impareremo a passare dall'uno all'altro con formule esatte. Cominciamo dal piano. Scegliamo un'origine e due assi perpendicolari, e su ciascun asse un versore, cioè un vettore di lunghezza uno: i cappello lungo x, j cappello lungo y. Un punto P si raggiunge spostandosi di x lungo il primo asse e di y lungo il secondo. Qui x vale tre e y vale due. Il vettore posizione è quindi la combinazione dei versori: r è uguale a x per i cappello, più y per j cappello. Nello spazio teniamo i due versori del piano e aggiungiamo un terzo asse, z, perpendicolare ai primi due, con il suo versore k cappello. I tre versori sono ortogonali tra loro e formano una terna destrorsa: i vettore j è uguale a k. Per raggiungere P ci spostiamo di x, poi di y, poi di z, e la posizione diventa x per i più y per j più z per k. Questi versori hanno una proprietà preziosa: sono gli stessi in ogni punto dello spazio. Vedremo che negli altri sistemi non sarà così. Nel piano un punto si può descrivere anche in un altro modo: con la sua distanza dall'origine e con una direzione. La distanza è r, che non è mai negativa. La direzione è data dall'angolo theta, misurato a partire dall'asse x in verso antiorario. Proiettiamo P sugli assi. Il cateto orizzontale vale r coseno di theta, quello verticale r seno di theta. Al contrario, il teorema di Pitagora restituisce r come radice di x quadro più y quadro, mentre il rapporto y su x è la tangente di theta. Attenzione però: per scegliere l'angolo giusto bisogna guardare il quadrante. Ora i versori. Il versore radiale punta lontano dall'origine, lungo r. Il versore trasverso è perpendicolare a lui, nel verso in cui theta cresce. Ecco la differenza decisiva rispetto alle cartesiane. Se il punto si sposta lungo la circonferenza, i due versori ruotano con lui: dipendono da theta. Derivando questi versori rispetto al tempo nascono i termini centripeti dei moti circolari. È il prezzo, e insieme il vantaggio, di una base che si muove con il punto. Passiamo allo spazio. Le coordinate cilindriche sono le polari del piano x y, a cui aggiungiamo semplicemente la quota z. Proiettiamo il punto P sul piano x y. La distanza della proiezione dall'asse z è rho, l'angolo con l'asse x è l'azimut phi, e la quota del punto è z. Dalla proiezione leggiamo subito le formule: x è rho per coseno di phi, y è rho per seno di phi, e z resta z. Le formule inverse sono quelle delle polari. Che cosa descrive rho costante? Teniamo rho fisso e facciamo ruotare phi: il punto gira attorno all'asse. Poi facciamo variare z: il punto scorre in verticale. Insieme, i due movimenti disegnano un cilindro. In ogni punto i versori sono il radiale e rho, che punta lontano dall'asse, il trasverso e phi, tangente alla circonferenza, e il versore k dell'asse z. Questo sistema è naturale quando c'è simmetria assiale: un filo carico, un solenoide, un fluido in un tubo. Per un filo infinito, il campo elettrico dipende soltanto da rho e punta sempre lungo e rho, lontano dal filo. Infine le coordinate sferiche, pensate per problemi con un centro privilegiato. Il punto si individua con la distanza r dall'origine e con due angoli. Il primo è l'angolo polare theta, detto anche colatitudine, misurato dal semiasse z positivo. Il secondo è l'azimut phi, lo stesso angolo delle cilindriche, misurato nel piano x y a partire dall'asse x. Ora il passaggio chiave. La proiezione di r sul piano x y è lunga r seno di theta: è esattamente il rho delle cilindriche. E la quota è r coseno di theta. Basta allora sostituire nelle formule cilindriche. x diventa r seno theta coseno phi, e y diventa r seno theta seno phi. Gli intervalli completano la definizione: r non è mai negativo, theta va da zero a pi greco, phi copre un giro intero. Teniamo fisso r e facciamo variare theta: il punto scende lungo un meridiano. Variamo phi: si muove lungo un parallelo. Tutti i punti raggiungibili formano una sfera. Questo è il sistema naturale per la simmetria centrale: il campo di una carica puntiforme, la gravità di un pianeta. Il campo dipende solo da r e punta lungo il versore radiale, in ogni direzione. Riassumiamo. Le cartesiane hanno versori fissi e sono ideali per geometrie rettangolari. Le polari descrivono rotazioni nel piano, le cilindriche la simmetria assiale, le sferiche quella centrale. La regola pratica è semplice: si sceglie il sistema che rispecchia la simmetria del problema, e le formule di trasformazione permettono sempre di tornare alle cartesiane.","watch":{"version":1,"scenes":[{"title":"Coordinate cartesiane","start":0,"end":101.40920833333332,"objects":{"card":"a Title that says \"Metodi Matematici per la Fisica — Sistemi di Coordinate in Fisica: Cartesiane, Polari, Cilindriche e Sferiche\"","head_map":"a Heading that says \"Quattro modi per dire dove\"","head_plane":"a Heading that says \"Il piano cartesiano\"","head_space":"a Heading that says \"Lo spazio cartesiano\"","line":"a Line [blue] drawn in plane (end=(3.0, 0.0), dashed=True)","line_2":"a Line [blue] drawn in plane (start=(3.0, 0.0), end=(3.0, 2.0), dashed=True)","line_3":"a Line [blue] drawn in space (start=(0.0, 0.0, 0.0), end=(2.0, 0.0, 0.0), dashed=True)","line_4":"a Line [blue] drawn in space (start=(2.0, 0.0, 0.0), end=(2.0, 2.0, 0.0), dashed=True)","line_5":"a Line [blue] drawn in space (start=(2.0, 2.0, 0.0), end=(2.0, 2.0, 2.5), dashed=True)","ortho2":"a Math [text] that says \"$hat(i) perp hat(j), quad abs(hat(i)) = abs(hat(j)) = 1$\"","ortho3":"a Math [text] that says \"$hat(i) times hat(j) = hat(k)$\"","p2":"a Point [yellow] labelled \"P\" drawn in plane (location=(3.0, 2.0))","p3":"a Point [yellow] labelled \"P\" drawn in space (location=(2.0, 2.0, 2.5))","plane":"an Axes (x_range=(-0.5, 4.0), y_range=(-0.5, 3.0), x_ticks_every=1.0)","pos2":"a Math [text] that says \"$arrow(r) = x hat(i) + y hat(j)$\"","pos3":"a Math [text] that says \"$arrow(r) = x hat(i) + y hat(j) + z hat(k)$\"","r2":"a Vector [blue] labelled \"arrow(r)\" drawn in plane (end=(3.0, 2.0))","r3":"a Vector [blue] labelled \"arrow(r)\" drawn in space (start=(0.0, 0.0, 0.0), end=(2.0, 2.0, 2.5))","space":"an Axes3D (x_range=(0.0, 3.0), y_range=(0.0, 3.0), z_range=(0.0, 3.0))","systems":"a Table [text] that says \"Sistema Coordinate Cartesiane $(x, y, z)$ Polari $(r, theta)$ Cilindriche $(rho, phi, z)$ Sferiche $(r, theta, phi)$\" (rows=(('Sistema', 'Coordinate'), ('Cartesiane', '$(x, y, z)$'), ('Po…, header=True)","ui":"a Vector [red] labelled \"hat(i)\" drawn in space (start=(0.0, 0.0, 0.0), end=(1.0, 0.0, 0.0))","uj":"a Vector [green] labelled \"hat(j)\" drawn in space (start=(0.0, 0.0, 0.0), end=(0.0, 1.0, 0.0))","uk":"a Vector [magenta] labelled \"hat(k)\" drawn in space (start=(0.0, 0.0, 0.0), end=(0.0, 0.0, 1.0))","vi":"a Vector [red] labelled \"hat(i)\" drawn in plane","vj":"a Vector [green] labelled \"hat(j)\" drawn in plane (end=(0.0, 1.0))"},"beats":[{"start":0,"say":"Per descrivere qualunque fenomeno fisico dobbiamo prima rispondere a una domanda semplice: dove si trova il punto che stiamo studiando?","live":[],"does":[[0,"card is shown on the screen, written out."],[1.281353637901861,"card: enter:write-left-to-right."],[7.8525,"card is hidden from the screen — left the board."]]},{"start":9.0525,"say":"Esistono diversi modi di rispondere. 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Attenzione però: per scegliere l'angolo giusto bisogna guardare il quadrante.","live":["plane","heading","ray_x","point","radius","angle","foot_x","drop_y"],"does":[[129.00920833333333,"conv is shown on the screen, written out."],[136.04920833333333,"conv is shown on the screen, written out."]]},{"start":142.56420833333334,"say":"Ora i versori. Il versore radiale punta lontano dall'origine, lungo r. Il versore trasverso è perpendicolare a lui, nel verso in cui theta cresce.","live":null,"does":[[142.56420833333334,"foot_x is hidden from the screen."],[142.56420833333334,"drop_y is hidden from the screen."],[144.8492083333333,"e_r is shown on the screen, written out."],[147.16920833333333,"e1 is shown on the screen, written out."],[148.88920833333333,"e_t is shown on the screen, written out."],[149.76920833333332,"e2 is shown on the screen, written out."]]},{"start":153.46670833333332,"say":"Ecco la differenza decisiva rispetto alle cartesiane. Se il punto si sposta lungo la circonferenza, i due versori ruotano con lui: dipendono da theta.","live":["e1","e2","plane","heading","ray_x","point","radius","angle","e_r","e_t"],"does":[[157.60920833333333,"point is redrawn as the numbers it depends on change."],[157.60920833333333,"radius is redrawn as the numbers it depends on change."],[157.60920833333333,"angle is redrawn as the numbers it depends on change."],[157.60920833333333,"e_r is redrawn as the numbers it depends on change."],[157.60920833333333,"e_t is redrawn as the numbers it depends on change."],[157.60920833333333,"path is shown on the screen, written out."],[157.60920833333333,"theta ticks to 1.2."],[160.24920833333334,"point is redrawn as the numbers it depends on change."],[160.24920833333334,"radius is redrawn as the numbers it depends on change."],[160.24920833333334,"angle is redrawn as the numbers it depends on change."],[160.24920833333334,"e_r is redrawn as the numbers it depends on change."],[160.24920833333334,"e_t is redrawn as the numbers it depends on change."],[160.24920833333334,"theta ticks to 0.35."]]},{"start":163.22920833333333,"say":"Derivando questi versori rispetto al tempo nascono i termini centripeti dei moti circolari. È il prezzo, e insieme il vantaggio, di una base che si muove con il punto.","live":["e1","e2","plane","heading","ray_x","point","radius","angle","e_r","e_t","path"],"does":[[163.48920833333335,"point is redrawn as the numbers it depends on change."],[163.48920833333335,"radius is redrawn as the numbers it depends on change."],[163.48920833333335,"angle is redrawn as the numbers it depends on change."],[163.48920833333335,"e_r is redrawn as the numbers it depends on change."],[163.48920833333335,"e_t is redrawn as the numbers it depends on change."],[163.48920833333335,"theta ticks to 0.8."],[171.48920833333335,"e2 is indicated — a transient flash."],[173.54329166666668,"conv is hidden from the screen — left the board."],[173.54329166666668,"e1 is hidden from the screen — left the board."],[173.54329166666668,"e2 is hidden from the screen — left the board."],[173.54329166666668,"heading is hidden from the screen — left the board."],[173.54329166666668,"plane is hidden from the screen — left the board."],[173.54329166666668,"ray_x is hidden from the screen — plane left the board."],[173.54329166666668,"point is hidden from the screen — plane left the board."],[173.54329166666668,"radius is hidden from the screen — plane left the board."],[173.54329166666668,"angle is hidden from the screen — plane left the board."],[173.54329166666668,"e_r is hidden from the screen — plane left the board."],[173.54329166666668,"e_t is hidden from the screen — plane left the board."],[173.54329166666668,"path is hidden from the screen — plane left the board."]]}]},{"title":"Coordinate cilindriche","start":174.58495833333333,"end":248.07416666666666,"objects":{"angle":"an Angle [yellow] labelled \"phi\" drawn in space (vertex=(0.0, 0.0, 0.0), sides=((1.0, 0.0, 0.0), ((1.3 * cos(phi)), (1.3 * sin(phi)), 0.0)), radius=0.5)","basis":"a Math [text] that says \"$hat(e)_rho, quad hat(e)_phi, quad hat(k)$\"","cyl":"a Derivation [text] that says \"$x &= rho cos phi \\ y &= rho sin phi \\ z &= z \\ rho &= sqrt(x^2 + y^2)$\"","e_phi":"a Vector [green] labelled \"hat(e)_phi\" drawn in space (start=((1.3 * cos(phi)), (1.3 * sin(phi)), <VariableNumber height = 3…, end=(((1.3 * cos(phi)) - (0.6 * sin(phi))), ((1.3 * sin(phi)) + (0.…)","e_rho":"a Vector [red] labelled \"hat(e)_rho\" drawn in space (start=((1.3 * cos(phi)), (1.3 * sin(phi)), <VariableNumber height = 3…, end=(((1.3 * cos(phi)) + (0.6 * cos(phi))), ((1.3 * sin(phi)) + (0.…)","e_z":"a Vector [magenta] labelled \"hat(k)\" drawn in space (start=((1.3 * cos(phi)), (1.3 * sin(phi)), <VariableNumber height = 3…, end=((1.3 * cos(phi)), (1.3 * sin(phi)), (height + 0.6)))","field":"a Math [text] that says \"$arrow(E) = frac(lambda, 2 pi epsilon_0 rho) thin hat(e)_rho$\"","heading":"a Heading that says \"Coordinate cilindriche\"","height":"a VariableNumber (initial_value=1.8)","phi":"a VariableNumber (initial_value=0.8)","point":"a Point [yellow] labelled \"P\" drawn in space (location=((1.3 * cos(phi)), (1.3 * sin(phi)), <VariableNumber height = 3…)","ray_x":"a Line [gray] drawn in space (start=(0.0, 0.0, 0.0), end=(1.8, 0.0, 0.0))","rho_line":"a Line [red] labelled \"rho\" drawn in space (start=(0.0, 0.0, 0.0), end=((1.3 * cos(phi)), (1.3 * sin(phi)), 0.0))","riser":"a Line [green] labelled \"z\" drawn in space (start=((1.3 * cos(phi)), (1.3 * sin(phi)), 0.0), end=((1.3 * cos(phi)), (1.3 * sin(phi)), <VariableNumber height = 3…, dashed=True)","space":"an Axes3D (x_range=(-2.0, 2.0), y_range=(-2.0, 2.0), z_range=(0.0, 4.0))","tube":"a Cylinder [blue] drawn in space (end=(0.0, 0.0, 3.6), radius=1.3, fill_end_circles=False)"},"beats":[{"start":174.58495833333333,"say":"Passiamo allo spazio. Le coordinate cilindriche sono le polari del piano x y, a cui aggiungiamo semplicemente la quota z.","live":[],"does":[[174.58495833333333,"heading is shown on the screen, written out."],[174.58495833333333,"space is shown on the screen, written out."],[176.98495833333334,"space turns in its own slot."]]},{"start":183.25745833333332,"say":"Proiettiamo il punto P sul piano x y. La distanza della proiezione dall'asse z è rho, l'angolo con l'asse x è l'azimut phi, e la quota del punto è z.","live":["space","heading"],"does":[[183.25745833333332,"point is shown on the screen, written out."],[183.25745833333332,"ray_x is shown on the screen, written out."],[189.10495833333334,"rho_line is shown on the screen, written out."],[191.70495833333334,"angle is shown on the screen, written out."],[192.38495833333334,"riser is shown on the screen, written out."]]},{"start":194.72495833333335,"say":"Dalla proiezione leggiamo subito le formule: x è rho per coseno di phi, y è rho per seno di phi, e z resta z. Le formule inverse sono quelle delle polari.","live":["space","heading","point","ray_x","rho_line","angle","riser"],"does":[[198.66495833333335,"space moves to a new place on the board."],[198.66495833333335,"cyl is shown on the screen, written out."],[201.06495833333332,"cyl is shown on the screen, written out."],[202.58495833333333,"cyl is shown on the screen, written out."],[204.42495833333334,"cyl is shown on the screen, written out."]]},{"start":206.76745833333334,"say":"Che cosa descrive rho costante? Teniamo rho fisso e facciamo ruotare phi: il punto gira attorno all'asse.","live":null,"does":[[211.10495833333334,"point is redrawn as the numbers it depends on change."],[211.10495833333334,"rho_line is redrawn as the numbers it depends on change."],[211.10495833333334,"angle is redrawn as the numbers it depends on change."],[211.10495833333334,"riser is redrawn as the numbers it depends on change."],[211.10495833333334,"e_rho is redrawn as the numbers it depends on change."],[211.10495833333334,"e_phi is redrawn as the numbers it depends on change."],[211.10495833333334,"e_z is redrawn as the numbers it depends on change."],[211.10495833333334,"phi ticks to 2.0."]]},{"start":214.72495833333335,"say":"Poi facciamo variare z: il punto scorre in verticale. Insieme, i due movimenti disegnano un cilindro.","live":null,"does":[[215.66495833333335,"point is redrawn as the numbers it depends on change."],[215.66495833333335,"riser is redrawn as the numbers it depends on change."],[215.66495833333335,"e_rho is redrawn as the numbers it depends on change."],[215.66495833333335,"e_phi is redrawn as the numbers it depends on change."],[215.66495833333335,"e_z is redrawn as the numbers it depends on change."],[215.66495833333335,"height ticks to 3.0."],[220.8249583333333,"tube is shown on the screen, written out."]]},{"start":222.19995833333334,"say":"In ogni punto i versori sono il radiale e rho, che punta lontano dall'asse, il trasverso e phi, tangente alla circonferenza, e il versore k dell'asse z.","live":["space","heading","point","ray_x","rho_line","angle","riser","tube"],"does":[[222.19995833333334,"angle is hidden from the screen."],[223.50495833333332,"basis is shown on the screen, written out."],[224.38495833333334,"e_rho is shown on the screen, written out."],[227.38495833333332,"e_phi is shown on the screen, written out."],[231.14495833333334,"e_z is shown on the screen, written out."]]},{"start":233.12745833333332,"say":"Questo sistema è naturale quando c'è simmetria assiale: un filo carico, un solenoide, un fluido in un tubo. Per un filo infinito, il campo elettrico dipende soltanto da rho e punta sempre lungo e rho, lontano dal filo.","live":["basis","space","heading","point","ray_x","rho_line","riser","tube","e_rho","e_phi","e_z"],"does":[[240.06495833333335,"field is shown on the screen, written out."],[242.50495833333332,"field (the \"rho\" part) is emphasized."],[244.74495833333333,"field (the \"hat(e)_rho\" part) is emphasized."],[244.74495833333333,"field (the \"rho\" part) is no longer emphasized."],[245.70495833333334,"field (the \"hat(e)_rho\" part) is no longer emphasized."],[247.0325,"basis is hidden from the screen — left the board."],[247.0325,"cyl is hidden from the screen — left the board."],[247.0325,"field is hidden from the screen — left the board."],[247.0325,"heading is hidden from the screen — left the board."],[247.0325,"space is hidden from the screen — left the board."],[247.0325,"point is hidden from the screen — space left the board."],[247.0325,"ray_x is hidden from the screen — space left the board."],[247.0325,"rho_line is hidden from the screen — space left the board."],[247.0325,"riser is hidden from the screen — space left the board."],[247.0325,"tube is hidden from the screen — space left the board."],[247.0325,"e_rho is hidden from the screen — space left the board."],[247.0325,"e_phi is hidden from the screen — space left the board."],[247.0325,"e_z is hidden from the screen — space left the board."]]}]},{"title":"Coordinate sferiche","start":248.07416666666666,"end":354.1348125,"objects":{"azimuth":"an Angle [magenta] labelled \"phi\" drawn in space (vertex=(0.0, 0.0, 0.0), sides=((1.0, 0.0, 0.0), (((1.6 * sin(theta)) * cos(phi)), ((1.6 * sin…)","ball":"a Sphere [blue] drawn in space (radius=1.6, opacity=0.12)","bounds":"a Math [text] that says \"$r >= 0, quad 0 <= theta <= pi, quad 0 <= phi < 2 pi$\"","drop":"a Line [green] drawn in space (start=(((1.6 * sin(theta)) * cos(phi)), ((1.6 * sin(theta)) * sin(phi…, end=(((1.6 * sin(theta)) * cos(phi)), ((1.6 * sin(theta)) * sin(phi…, dashed=True)","field":"a Math [text] that says \"$arrow(E) = frac(q, 4 pi epsilon_0 r^2) thin hat(e)_r$\"","head_sum":"a Heading that says \"Scegliere il sistema giusto\"","heading":"a Heading that says \"Coordinate sferiche\"","ladder":"a Derivation [text] that says \"$rho &= r sin theta \\ z &= r cos theta \\ x &= rho cos phi = r sin theta cos phi \\ y &= rho sin phi = r sin theta sin phi$\"","phi":"a VariableNumber (initial_value=0.7)","point":"a Point [yellow] labelled \"P\" drawn in space (location=(((1.6 * sin(theta)) * cos(phi)), ((1.6 * sin(theta)) * sin(phi…)","polar_angle":"an Angle [yellow] labelled \"theta\" drawn in space (vertex=(0.0, 0.0, 0.0), sides=((0.0, 0.0, 1.0), (((1.6 * sin(theta)) * cos(phi)), ((1.6 * sin…, radius=0.5)","radius":"a Line [red] labelled \"r\" drawn in space (start=(0.0, 0.0, 0.0), end=(((1.6 * sin(theta)) * cos(phi)), ((1.6 * sin(theta)) * sin(phi…)","ray_x":"a Line [gray] drawn in space (start=(0.0, 0.0, 0.0), end=(1.9, 0.0, 0.0))","ray_z":"a Line [gray] drawn in space (start=(0.0, 0.0, 0.0), end=(0.0, 0.0, 1.9))","shadow":"a Line [gray] labelled \"r sin theta\" drawn in space (start=(0.0, 0.0, 0.0), end=(((1.6 * sin(theta)) * cos(phi)), ((1.6 * sin(theta)) * sin(phi…, dashed=True)","space":"an Axes3D (x_range=(-2.0, 2.0), y_range=(-2.0, 2.0), z_range=(-2.0, 2.0))","summary":"a Table [text] that says \"Sistema Coordinate Simmetria Cartesiane $(x, y, z)$ geometrie rettangolari Polari $(r, theta)$ rotazioni nel piano Cilindriche $(rho, phi, z)$ assiale Sferiche $(r, theta, phi)$ centrale\" (rows=(('Sistema', 'Coordinate', 'Simmetria'), ('Cartesiane', '$(x, y…, header=True)","theta":"a VariableNumber (initial_value=0.9)"},"beats":[{"start":248.07416666666666,"say":"Infine le coordinate sferiche, pensate per problemi con un centro privilegiato. Il punto si individua con la distanza r dall'origine e con due angoli.","live":[],"does":[[248.07416666666666,"heading is shown on the screen, written out."],[248.07416666666666,"space is shown on the screen, written out."],[250.47416666666666,"space turns in its own slot."],[252.95416666666665,"point is shown on the screen, written out."],[254.27416666666664,"radius is shown on the screen, written out."]]},{"start":257.89916666666664,"say":"Il primo è l'angolo polare theta, detto anche colatitudine, misurato dal semiasse z positivo.","live":["space","heading","point","radius"],"does":[[257.89916666666664,"ray_z is shown on the screen, written out."],[260.19416666666666,"polar_angle is shown on the screen, written out."]]},{"start":264.72416666666663,"say":"Il secondo è l'azimut phi, lo stesso angolo delle cilindriche, misurato nel piano x y a partire dall'asse x.","live":["space","heading","point","radius","ray_z","polar_angle"],"does":[[264.72416666666663,"ray_x is shown on the screen, written out."],[264.72416666666663,"drop is shown on the screen, written out."],[265.09227246330903,"shadow is shown on the screen, written out."],[267.03416666666664,"azimuth is shown on the screen, written out."]]},{"start":272.9216666666666,"say":"Ora il passaggio chiave. La proiezione di r sul piano x y è lunga r seno di theta: è esattamente il rho delle cilindriche. E la quota è r coseno di theta.","live":["space","heading","point","radius","ray_z","polar_angle","ray_x","drop","shadow","azimuth"],"does":[[275.2341666666666,"The segment (0.0, 0.0, 0.0) to (0.9585943470692533, 0.8074128801140243, 0.0) in space is lit up."],[280.03416666666664,"space moves to a new place on the board."],[280.03416666666664,"ladder is shown on the screen, written out."],[282.59416666666664,"ladder is shown on the screen, written out."],[282.59416666666664,"space: retire a lit segment (unemphasize_line)."]]},{"start":285.38416666666666,"say":"Basta allora sostituire nelle formule cilindriche. x diventa r seno theta coseno phi, e y diventa r seno theta seno phi.","live":null,"does":[[288.5541666666667,"ladder is shown on the screen, written out."],[291.75416666666666,"ladder is shown on the screen, written out."]]},{"start":295.41666666666663,"say":"Gli intervalli completano la definizione: r non è mai negativo, theta va da zero a pi greco, phi copre un giro intero.","live":null,"does":[[295.87416666666667,"bounds is shown on the screen, written out."]]},{"start":304.7416666666667,"say":"Teniamo fisso r e facciamo variare theta: il punto scende lungo un meridiano. Variamo phi: si muove lungo un parallelo. Tutti i punti raggiungibili formano una sfera.","live":["bounds","space","heading","point","radius","ray_z","polar_angle","ray_x","drop","shadow","azimuth"],"does":[[306.6741666666667,"point is redrawn as the numbers it depends on change."],[306.6741666666667,"radius is redrawn as the numbers it depends on change."],[306.6741666666667,"polar_angle is redrawn as the numbers it depends on change."],[306.6741666666667,"drop is redrawn as the numbers it depends on change."],[306.6741666666667,"shadow is redrawn as the numbers it depends on change."],[306.6741666666667,"azimuth is redrawn as the numbers it depends on change."],[306.6741666666667,"theta ticks to 1.4."],[310.31416666666667,"point is redrawn as the numbers it depends on change."],[310.31416666666667,"radius is redrawn as the numbers it depends on change."],[310.31416666666667,"polar_angle is redrawn as the numbers it depends on change."],[310.31416666666667,"drop is redrawn as the numbers it depends on change."],[310.31416666666667,"shadow is redrawn as the numbers it depends on change."],[310.31416666666667,"azimuth is redrawn as the numbers it depends on change."],[310.31416666666667,"phi ticks to 1.9."],[315.31416666666667,"ball is shown on the screen, written out."]]},{"start":316.64416666666665,"say":"Questo è il sistema naturale per la simmetria centrale: il campo di una carica puntiforme, la gravità di un pianeta. Il campo dipende solo da r e punta lungo il versore radiale, in ogni direzione.","live":["bounds","space","heading","point","radius","ray_z","polar_angle","ray_x","drop","shadow","azimuth","ball"],"does":[[320.9141666666667,"field is shown on the screen, written out."],[324.9141666666667,"field (the \"r^2\" part) is emphasized."],[326.9941666666667,"field (the \"hat(e)_r\" part) is emphasized."],[326.9941666666667,"field (the \"r^2\" part) is no longer emphasized."],[327.7941666666667,"field (the \"hat(e)_r\" part) is no longer emphasized."],[328.89166666666665,"bounds is hidden from the screen — left the board."],[328.89166666666665,"field is hidden from the screen — left the board."],[328.89166666666665,"heading is hidden from the screen — left the board."],[328.89166666666665,"ladder is hidden from the screen — left the board."],[328.89166666666665,"space is hidden from the screen — left the board."],[328.89166666666665,"point is hidden from the screen — space left the board."],[328.89166666666665,"radius is hidden from the screen — space left the board."],[328.89166666666665,"ray_z is hidden from the screen — space left the board."],[328.89166666666665,"polar_angle is hidden from the screen — space left the board."],[328.89166666666665,"ray_x is hidden from the screen — space left the board."],[328.89166666666665,"drop is hidden from the screen — space left the board."],[328.89166666666665,"shadow is hidden from the screen — space left the board."],[328.89166666666665,"azimuth is hidden from the screen — space left the board."],[328.89166666666665,"ball is hidden from the screen — space left the board."]]},{"start":330.09166666666664,"say":"Riassumiamo. Le cartesiane hanno versori fissi e sono ideali per geometrie rettangolari. 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Esistono diversi modi di rispondere. In questa lezione ne vedremo quattro: le coordinate cartesiane, le polari nel piano, le cilindriche e le sferiche nello spazio. Ciascuno si adatta a una diversa simmetria del problema, e impareremo a passare dall'uno all'altro con formule esatte. Cominciamo dal piano. Scegliamo un'origine e due assi perpendicolari, e su ciascun asse un versore, cioè un vettore di lunghezza uno: i cappello lungo x, j cappello lungo y. Un punto P si raggiunge spostandosi di x lungo il primo asse e di y lungo il secondo. Qui x vale tre e y vale due. Il vettore posizione è quindi la combinazione dei versori: r è uguale a x per i cappello, più y per j cappello. Nello spazio teniamo i due versori del piano e aggiungiamo un terzo asse, z, perpendicolare ai primi due, con il suo versore k cappello. I tre versori sono ortogonali tra loro e formano una terna destrorsa: i vettore j è uguale a k. Per raggiungere P ci spostiamo di x, poi di y, poi di z, e la posizione diventa x per i più y per j più z per k. Questi versori hanno una proprietà preziosa: sono gli stessi in ogni punto dello spazio. Vedremo che negli altri sistemi non sarà così."},{"title":"Coordinate polari","startSeconds":101.40920833333332,"narration":"Nel piano un punto si può descrivere anche in un altro modo: con la sua distanza dall'origine e con una direzione. La distanza è r, che non è mai negativa. La direzione è data dall'angolo theta, misurato a partire dall'asse x in verso antiorario. Proiettiamo P sugli assi. Il cateto orizzontale vale r coseno di theta, quello verticale r seno di theta. Al contrario, il teorema di Pitagora restituisce r come radice di x quadro più y quadro, mentre il rapporto y su x è la tangente di theta. Attenzione però: per scegliere l'angolo giusto bisogna guardare il quadrante. Ora i versori. Il versore radiale punta lontano dall'origine, lungo r. Il versore trasverso è perpendicolare a lui, nel verso in cui theta cresce. Ecco la differenza decisiva rispetto alle cartesiane. Se il punto si sposta lungo la circonferenza, i due versori ruotano con lui: dipendono da theta. Derivando questi versori rispetto al tempo nascono i termini centripeti dei moti circolari. È il prezzo, e insieme il vantaggio, di una base che si muove con il punto."},{"title":"Coordinate cilindriche","startSeconds":174.58495833333333,"narration":"Passiamo allo spazio. Le coordinate cilindriche sono le polari del piano x y, a cui aggiungiamo semplicemente la quota z. Proiettiamo il punto P sul piano x y. La distanza della proiezione dall'asse z è rho, l'angolo con l'asse x è l'azimut phi, e la quota del punto è z. Dalla proiezione leggiamo subito le formule: x è rho per coseno di phi, y è rho per seno di phi, e z resta z. Le formule inverse sono quelle delle polari. Che cosa descrive rho costante? Teniamo rho fisso e facciamo ruotare phi: il punto gira attorno all'asse. Poi facciamo variare z: il punto scorre in verticale. Insieme, i due movimenti disegnano un cilindro. In ogni punto i versori sono il radiale e rho, che punta lontano dall'asse, il trasverso e phi, tangente alla circonferenza, e il versore k dell'asse z. Questo sistema è naturale quando c'è simmetria assiale: un filo carico, un solenoide, un fluido in un tubo. Per un filo infinito, il campo elettrico dipende soltanto da rho e punta sempre lungo e rho, lontano dal filo."},{"title":"Coordinate sferiche","startSeconds":248.07416666666666,"narration":"Infine le coordinate sferiche, pensate per problemi con un centro privilegiato. Il punto si individua con la distanza r dall'origine e con due angoli. Il primo è l'angolo polare theta, detto anche colatitudine, misurato dal semiasse z positivo. Il secondo è l'azimut phi, lo stesso angolo delle cilindriche, misurato nel piano x y a partire dall'asse x. Ora il passaggio chiave. La proiezione di r sul piano x y è lunga r seno di theta: è esattamente il rho delle cilindriche. E la quota è r coseno di theta. Basta allora sostituire nelle formule cilindriche. x diventa r seno theta coseno phi, e y diventa r seno theta seno phi. Gli intervalli completano la definizione: r non è mai negativo, theta va da zero a pi greco, phi copre un giro intero. Teniamo fisso r e facciamo variare theta: il punto scende lungo un meridiano. Variamo phi: si muove lungo un parallelo. Tutti i punti raggiungibili formano una sfera. Questo è il sistema naturale per la simmetria centrale: il campo di una carica puntiforme, la gravità di un pianeta. Il campo dipende solo da r e punta lungo il versore radiale, in ogni direzione. Riassumiamo. Le cartesiane hanno versori fissi e sono ideali per geometrie rettangolari. Le polari descrivono rotazioni nel piano, le cilindriche la simmetria assiale, le sferiche quella centrale. La regola pratica è semplice: si sceglie il sistema che rispecchia la simmetria del problema, e le formule di trasformazione permettono sempre di tornare alle cartesiane."}]}}