{"version":1,"lectureId":"01M64SNV1GG159WKTCK2FEM6WG","attempt":0,"publication":{"slug":"calcolo-differenziale-e-topologia-in-r-n","title":"Calcolo Differenziale e Topologia in R^n","subject":"mathematics","summary":"Una lezione universitaria completa sul calcolo in più variabili. Si parte dalla struttura euclidea di R^n: prodotto scalare, norma, Cauchy-Schwarz e disuguaglianza triangolare. Seguono la topologia (palle, punti interni, esterni e di frontiera, aperti, chiusi, chiusura, accumulazione) e le successioni, con completezza, Bolzano-Weierstrass e Heine-Borel. Poi limiti e continuità, retroimmagini di aperti, valori intermedi, Weierstrass e Heine-Cantor. Infine derivate parziali e direzionali, gradiente, differenziale e piano tangente, Jacobiana, Hessiana e Schwarz, regola della catena, Taylor al secondo ordine e classificazione dei punti critici con autovalori e criterio di Sylvester.","metaDescription":"Lezione universitaria su R^n: norma, topologia, compattezza, continuità, gradiente, differenziale, Jacobiana, Hessiana e classificazione dei punti critici.","transcript":"Benvenuti. In questa lezione costruiamo il calcolo differenziale per funzioni di più variabili, e prima ancora la topologia dello spazio in cui vivono. Ecco dove vogliamo arrivare. Questa è la matrice Hessiana, costruita con le derivate seconde. Alla fine sapremo leggere nei suoi autovalori se un punto critico è un minimo, un massimo o un punto di sella. Per arrivarci servono distanze, intorni, limiti e derivate. Un punto di erre enne è una enne-upla ordinata di numeri reali: le sue coordinate. Nel piano, con enne uguale a due, lo disegniamo come una freccia che parte dall'origine. Il prodotto scalare moltiplica le coordinate corrispondenti e somma i risultati. Da esso nasce la norma euclidea, la radice del prodotto scalare di x con sé stesso: per Pitagora, è proprio la lunghezza della freccia. La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz afferma che il prodotto scalare, in valore assoluto, non supera mai il prodotto delle norme. L'uguaglianza vale solo per vettori paralleli. Da qui segue la disuguaglianza triangolare. Sviluppiamo il quadrato della norma della somma: compare il doppio prodotto scalare, che Cauchy-Schwarz maggiora con il doppio prodotto delle norme. Dunque la norma della somma non supera la somma delle norme. Geometricamente: mettiamo y in coda a x, e il terzo lato del triangolo non è mai più lungo degli altri due insieme. Per parlare di vicinanza servono gli intorni. La palla aperta di centro x zero e raggio erre contiene i punti che distano da x zero meno di erre. Nella palla chiusa ammettiamo anche la distanza uguale a erre. Ora fissiamo un insieme S, il disco azzurro. Un punto è interno a S se attorno a lui esiste una palla tutta contenuta in S, come quella verde. È esterno se esiste una palla tutta fuori da S, cioè contenuta nel complementare, come quella rossa. Infine è di frontiera se ogni palla centrata in lui, per quanto piccola, contiene sia punti di S sia punti del complementare. Il bordo del disco è fatto proprio di questi punti. Un insieme è aperto se tutti i suoi punti sono interni, come il disco senza bordo. È chiuso se il suo complementare è aperto, o equivalentemente se contiene tutta la sua frontiera. Aperto e chiuso non sono contrari. Aggiungiamo al disco questo punto rosso, lontano da tutto: l'insieme ottenuto non è né aperto né chiuso. La chiusura di S è S unito alla sua frontiera: il più piccolo chiuso che lo contiene. Qui significa aggiungere la circonferenza. Un punto è di accumulazione se ogni sua palla contiene punti di S diversi da lui: questo punto del bordo lo è, pur non appartenendo al disco aperto. Il punto rosso invece è isolato: una piccola palla lo separa dal resto. Una successione in erre enne è una sequenza di punti, indicizzata dai numeri naturali. Diciamo che converge al punto x se la distanza fra x k e x tende a zero. In altre parole: fissato un raggio epsilon, da un certo indice in poi tutti i punti cadono nella palla di raggio epsilon attorno al limite. Se stringiamo epsilon l'indice cresce, ma esiste sempre. Poiché la norma controlla ogni coordinata, la convergenza in erre enne equivale alla convergenza di ciascuna delle enne successioni delle coordinate. Una successione è di Cauchy se i suoi termini diventano arbitrariamente vicini fra loro, senza nominare alcun limite. Ogni successione convergente è di Cauchy; il viceversa si chiama completezza. Erre enne è completo: ogni successione di Cauchy converge. Si dimostra coordinata per coordinata, perché ogni componente è di Cauchy in erre, e la retta reale è completa. Un insieme è limitato se sta dentro una palla abbastanza grande. Prendiamo ora una successione limitata qualsiasi: i suoi punti possono saltare avanti e indietro senza convergere. Il teorema di Bolzano-Weierstrass garantisce però che possiamo estrarre una sottosuccessione convergente. Qui basta tenere i termini di indice pari, quelli gialli, che si accumulano attorno a un punto. L'idea della prova: si dimezza ripetutamente il quadrato che contiene la successione, scegliendo ogni volta una parte con infiniti termini. I quadrati annidati si stringono su un unico punto, che esiste perché erre enne è completo. Questo suggerisce una definizione. Un insieme K è compatto se da ogni successione in K si estrae una sottosuccessione che converge, e converge a un punto di K stesso. In erre enne la compattezza ha una caratterizzazione concreta, il teorema di Heine-Borel: compatto significa chiuso e limitato. Limitato serve per Bolzano-Weierstrass; chiuso serve perché il limite non sfugga dall'insieme. Vediamo tre casi. Il disco chiuso è chiuso e limitato, quindi compatto: ogni successione al suo interno ha una sottosuccessione che converge dentro il disco. Nel disco aperto, questa successione si avvicina al bordo: converge, ma a un punto che non appartiene all'insieme. Manca la chiusura. Nella striscia illimitata, invece, i punti scappano verso destra e nessuna sottosuccessione può convergere. Manca la limitatezza. Passiamo alle funzioni da erre enne a erre emme. La definizione di limite è quella del caso reale, con la norma al posto del valore assoluto. Per ogni palla di raggio epsilon attorno al limite elle esiste una palla di raggio delta attorno a x zero la cui immagine, escluso al più x zero, cade dentro la prima. Se stringiamo epsilon dobbiamo stringere anche delta, ma una scelta adatta esiste sempre. La funzione è continua in x zero se il limite coincide con il valore in x zero. Attenzione: in più variabili ci si avvicina a x zero lungo infinite rette e curve, e il limite deve essere lo stesso per tutte. Esiste un modo di dire la continuità senza epsilon e delta. Una funzione è continua se e solo se la retroimmagine di ogni aperto è aperta, o equivalentemente se la retroimmagine di ogni chiuso è chiusa. Questo è uno strumento pratico. Prendiamo f uguale a x quadro più y quadro, che è continua. La corona dove f sta strettamente fra uno e quattro è la retroimmagine di un intervallo aperto: dunque è aperta, senza alcun conto. Allo stesso modo il disco dove f è minore o uguale a uno è la retroimmagine dell'intervallo chiuso da zero a uno, ed è quindi chiuso. Tre teoremi reggono tutta la teoria. Il primo è il teorema dei valori intermedi: su un insieme connesso per archi, due punti qualsiasi a e b sono uniti da un cammino continuo gamma, tutto dentro l'insieme. Lungo il cammino, f composta con gamma è una funzione continua di una sola variabile, e il teorema classico in erre fornisce un istante in cui assume il valore c. Il secondo è il teorema di Weierstrass: una funzione continua su un compatto ha massimo e minimo assoluti. Da una successione di valori che tende all'estremo superiore, la compattezza estrae una sottosuccessione convergente, e la continuità fa il resto. Il terzo è il teorema di Heine-Cantor. La continuità uniforme chiede che lo stesso delta funzioni in tutti i punti insieme; su un compatto questo è automatico. Veniamo alle derivate. Prendiamo il paraboloide zeta uguale a x quadro più y quadro, e un punto P sul suo grafico. La derivata parziale rispetto a x i congela tutte le altre variabili: è la derivata ordinaria lungo un asse. Geometricamente è la pendenza della curva ottenuta tagliando il grafico con un piano verticale. Più in generale, scelto un vettore unitario v, la derivata direzionale misura come varia f muovendosi lungo v. Le derivate parziali sono il caso dei vettori della base canonica. Il vettore delle derivate parziali si chiama gradiente, nabla f. I punti in cui il gradiente si annulla si dicono stazionari, o critici: sono i candidati a massimi e minimi. Diciamo che f è differenziabile in x zero se il suo incremento è uguale a una parte lineare in h, più un errore che va a zero più velocemente della norma di h. La parte lineare definisce il piano tangente: il piano che meglio approssima il grafico vicino a P, e contiene le due tangenti di prima. Quando enne supera due si parla di iperpiano tangente. Se f è differenziabile, prendiamo h uguale a t per v e dividiamo per t. Il limite dà la formula fondamentale: la derivata direzionale è il prodotto scalare fra gradiente e v. Per Cauchy-Schwarz questo prodotto è massimo quando v è parallelo al gradiente. Il gradiente indica quindi la direzione di massima crescita, e la sua norma è la pendenza massima. Infine, la differenziabilità implica la continuità: l'incremento di f tende a zero insieme a h. Attenzione: in più variabili, l'esistenza di tutte le derivate parziali non garantisce nemmeno la continuità. Guardiamo questa funzione: sugli assi vale zero, quindi le due derivate parziali nell'origine esistono e sono nulle. Ma lungo la retta y uguale a emme x vale costantemente emme fratto uno più emme quadro: un mezzo sulla bisettrice, meno un mezzo sull'altra. Il limite nell'origine non esiste, e f non è continua. Il teorema del differenziale totale fornisce una condizione sufficiente: se le derivate parziali esistono vicino a x zero e sono continue in x zero, allora f è differenziabile. Ogni funzione di classe C uno è dunque differenziabile e continua. Per un campo vettoriale da erre enne a erre emme, ogni componente ha il suo gradiente. Disposti come righe, formano la matrice Jacobiana, con emme righe ed enne colonne. Per esempio, per questa f del piano in sé, la Jacobiana nel punto uno, uno è la matrice due, meno uno, uno, uno. Il suo significato è questo: vicino al punto, f si comporta come l'applicazione lineare data dalla Jacobiana. Guardate come questa matrice deforma il quadrato verde: è ciò che f fa, in prima approssimazione, a un piccolo intorno. Derivando di nuovo le derivate parziali otteniamo le derivate seconde. Raccolte in una matrice enne per enne, formano la Hessiana. Proviamo con x al cubo per y, più y quadro. Le derivate prime sono tre x quadro y, e x al cubo più due y. Ora deriviamo f x rispetto a y, e f y rispetto a x: in entrambi i casi otteniamo tre x quadro. Non è una coincidenza. È il teorema di Schwarz: se le derivate miste sono continue, l'ordine di derivazione non conta. La Hessiana di una funzione di classe C due è quindi simmetrica, e avrà autovalori reali. Come si deriva una composizione? Seguiamo una curva gi di t nel piano, mentre f ha queste curve di livello. La derivata di f lungo la curva è il gradiente di f nel punto, scalare la velocità della curva. Il caso generale è altrettanto pulito: la Jacobiana della composizione è il prodotto delle Jacobiane, calcolate nei punti giusti. Scritto per componenti, è una somma su tutte le variabili intermedie. Con la Hessiana possiamo scrivere lo sviluppo di Taylor al secondo ordine. Il valore, più il termine lineare del gradiente, più metà della forma quadratica della Hessiana, più un resto di Peano, piccolo rispetto al quadrato della norma di h. Se f è di classe C due vale anche la forma di Lagrange: niente resto, ma la Hessiana è calcolata in un punto xi intermedio sul segmento fra x zero e x zero più h. Ora il punto chiave. In un punto stazionario il gradiente è nullo, e la differenza fra f di x zero più h e f di x zero è governata dalla forma quadratica q. Poiché la Hessiana è simmetrica, il teorema spettrale la diagonalizza in una base ortonormale di autovettori. In quelle coordinate la forma quadratica diventa una somma di autovalori per quadrati. Se tutti gli autovalori sono positivi, la forma è definita positiva e il punto è di minimo locale: il grafico è una coppa. Se sono tutti negativi, la forma è definita negativa: massimo locale, il grafico è una cupola. Se ci sono autovalori di segno opposto, la forma è indefinita e il punto è una sella: si sale lungo una direzione e si scende lungo l'altra. Se invece qualche autovalore è nullo, il secondo ordine non basta a decidere. Calcolare gli autovalori può essere faticoso. Il criterio di Sylvester usa invece i minori principali di testa: i determinanti dei blocchi quadrati in alto a sinistra della Hessiana. Se sono tutti positivi, la Hessiana è definita positiva: minimo locale. Se hanno segni alternati, a partire da un primo minore negativo, è definita negativa: massimo locale. In due variabili, un determinante negativo indica una sella. Chiudiamo con un esempio completo: f uguale a x al cubo meno tre x, più y quadro. Il grafico ha una valle e un passo di montagna. Il gradiente si annulla quando x quadro vale uno e y vale zero: due punti stazionari, uno zero e meno uno zero. La Hessiana è diagonale, con sei x e due. In uno zero i minori valgono sei e dodici, entrambi positivi: è un minimo locale, il fondo della valle. In meno uno zero il determinante vale meno dodici: è una sella. Lungo x la funzione ha un massimo, lungo y un minimo. 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compattezza","start":180.974125,"end":336.0633333333334,"objects":{"bound":"a Circle [gray] drawn in bw_fig (radius=2.0)","bounded":"a Math [text] that says \"$S thin upright(\"limitato\") <=> exists R : S subset B_R (0)$\"","bw_fig":"a Figure (x_range=(-2.5, 2.5), y_range=(-2.5, 2.5), aspect=(1.0, 1.0))","bw_thm":"a Panel that says \"Ogni successione limitata in $RR^n$ ammette una sottosuccessione convergente.\"","c1f":"a Figure (x_range=(-1.5, 1.5), y_range=(-1.5, 1.5), aspect=(1.0, 1.0))","c2f":"a Figure (x_range=(-1.5, 1.5), y_range=(-1.5, 1.5), aspect=(1.0, 1.0))","c2lim":"a Point [red] labelled \"x\" drawn in c2f (location=(1.0, 0.0))","c2pts":"a Point [yellow] drawn in c2f (location=(0.4, 0.0), marker_radius=0.05)","c2pts_2":"a Point [yellow] drawn in c2f (location=(0.7, 0.0), marker_radius=0.05)","c2pts_3":"a Point [yellow] drawn in c2f (location=(0.8, 0.0), marker_radius=0.05)","c2pts_4":"a Point [yellow] drawn in c2f (location=(0.85, 0.0), marker_radius=0.05)","c2pts_5":"a Point [yellow] drawn in c2f (location=(0.88, 0.0), marker_radius=0.05)","c2pts_6":"a Point [yellow] drawn in c2f (location=(0.9, 0.0), marker_radius=0.05)","c2pts_7":"a Point [yellow] drawn in c2f (location=(0.9142857142857143, 0.0), marker_radius=0.05)","c3f":"a Figure (x_range=(-0.3, 4.7), y_range=(-1.5, 1.5), aspect=(5.0, 3.0))","c3pts":"a Point [yellow] drawn in c3f (location=(0.3, 0.0), marker_radius=0.05)","c3pts_2":"a Point [yellow] drawn in c3f (location=(0.8999999999999999, 0.0), marker_radius=0.05)","c3pts_3":"a Point [yellow] drawn in c3f (location=(1.5, 0.0), marker_radius=0.05)","c3pts_4":"a Point [yellow] drawn in c3f (location=(2.0999999999999996, 0.0), marker_radius=0.05)","c3pts_5":"a Point [yellow] drawn in c3f (location=(2.6999999999999997, 0.0), marker_radius=0.05)","c3pts_6":"a Point [yellow] drawn in c3f (location=(3.3, 0.0), marker_radius=0.05)","c3pts_7":"a Point [yellow] drawn in c3f (location=(3.8999999999999995, 0.0), marker_radius=0.05)","cap1":"a Math [text] that says \"$overline(B_1 (0)) : upright(\"compatto\")$\"","cap2":"a Math [text] that says \"$B_1 (0) : upright(\"non chiuso\")$\"","cap3":"a Math [text] that says \"$S : upright(\"non limitato\")$\"","comp_def":"a Panel that says \"$K subset RR^n$ è compatto se ogni successione in $K$ ammette una sottosuccessione convergente a un punto di $K$.\"","d1":"a Circle [green] drawn in c1f (filled=True)","d2":"a Circle [blue] drawn in c2f (filled=True)","ell":"a Point [red] labelled \"x^*\" drawn in bw_fig (location=(0.9, 0.7))","eps":"a VariableNumber (initial_value=1.2)","eps_ball":"a Circle [red] drawn in seq_fig (center=(2.0, 2.0), radius=<VariableNumber eps = 0.4>)","hb":"a Panel that says \"$K subset RR^n$ è compatto se e solo se è chiuso e limitato.\"","head_bw":"a Heading that says \"Limitatezza e sottosuccessioni\"","head_cases":"a Heading that says \"Heine-Borel in tre casi\"","head_comp":"a Heading that says \"Insiemi compatti\"","head_seq":"a Heading that says \"Successioni in $RR^n$\"","lim_pt":"a Point [yellow] labelled \"x\" drawn in seq_fig (location=(2.0, 2.0))","point":"a Point [blue] drawn in seq_fig (location=(3.6, 2.0), marker_radius=0.05)","point_10":"a Point [blue] drawn in seq_fig (location=(1.9260211487288768, 1.9619339669126623), marker_radius=0.05)","point_11":"a Point [yellow] drawn in bw_fig (location=(1.5, 0.7), marker_radius=0.05)","point_12":"a Point [gray] drawn in bw_fig (location=(-1.1248440509641426, -0.5272107719522956), marker_radius=0.05)","point_13":"a Point [yellow] drawn in bw_fig (location=(0.7692712758272776, 0.5486395009384143), marker_radius=0.05)","point_14":"a Point [gray] drawn in bw_fig (location=(-0.8559744570024451, -0.8419123247298389), marker_radius=0.05)","point_15":"a Point [yellow] drawn in bw_fig (location=(0.8825399959429664, 0.8187229895948058), marker_radius=0.05)","point_16":"a Point [gray] drawn in bw_fig (location=(-1.0839071529076452, -0.854402111088937), marker_radius=0.05)","point_17":"a Point [yellow] drawn in bw_fig (location=(0.972330339319928, 0.6540080355999627), marker_radius=0.05)","point_18":"a Point [gray] drawn in bw_fig (location=(-0.9897447086344124, -0.7257044483228847), marker_radius=0.05)","point_19":"a Point [yellow] drawn in bw_fig (location=(0.8361560346451077, 0.6808064455556623), marker_radius=0.05)","point_2":"a Point [blue] drawn in seq_fig (location=(2.522542731882265, 3.0266708787907737), marker_radius=0.05)","point_20":"a Point [gray] drawn in bw_fig (location=(-0.9603809975053552, -0.8450592348063006), marker_radius=0.05)","point_21":"a Point [yellow] drawn in bw_fig (location=(0.9222590215534577, 0.7497970136760523), marker_radius=0.05)","point_22":"a Point [gray] drawn in bw_fig (location=(-1.0499980413197318, -0.8004425654645202), marker_radius=0.05)","point_3":"a Point [blue] drawn in seq_fig (location=(1.511873633303726, 2.670599257184121), marker_radius=0.05)","point_4":"a Point [blue] drawn in seq_fig (location=(1.4102802413456896, 1.9057947762438732), marker_radius=0.05)","point_5":"a Point [blue] drawn in seq_fig (location=(1.8678524913301318, 1.5908285263518687), marker_radius=0.05)","point_6":"a Point [blue] drawn in seq_fig (location=(2.219394822646659, 1.7815740134346925), marker_radius=0.05)","point_7":"a Point [blue] drawn in seq_fig (location=(2.2118092309777224, 2.069443352271798), marker_radius=0.05)","point_8":"a Point [blue] drawn in seq_fig (location=(2.024614941681198, 2.158590930194415), marker_radius=0.05)","point_9":"a Point [blue] drawn in seq_fig (location=(1.9062760432501684, 2.067588738576724), marker_radius=0.05)","q1":"a Polygon [green] drawn in bw_fig (vertices=((-2, -2), (2, -2), (2, 2), (-2, 2)), filled=False, dashed=True)","q2":"a Polygon [green] drawn in bw_fig (vertices=((0, 0), (2, 0), (2, 2), (0, 2)), filled=False, dashed=True)","q3":"a Polygon [green] drawn in bw_fig (vertices=((0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)), filled=False, dashed=True)","q4":"a Polygon [green] drawn in bw_fig (vertices=((0.5, 0.5), (1, 0.5), (1, 1), (0.5, 1)), filled=False, dashed=True)","s1":"a Math [text] that says \"$x_k -> x <=> norm(x_k - x) -> 0$\"","s2":"a Math [text] that says \"$x_k -> x <=> x_k^((i)) -> x^((i)) quad forall i$\"","s3":"a Math [text] that says \"$norm(x_k - x_h) < epsilon quad forall k, h >= N_epsilon$\"","s4":"a Math [text] that says \"$upright(\"Cauchy\") <=> upright(\"convergente\")$\"","seq_fig":"a Figure (x_range=(0.0, 4.0), y_range=(0.0, 4.0), aspect=(1.0, 1.0))","strip":"a Polygon [blue] drawn in c3f (vertices=((0, -0.6), (4.6, -0.6), (4.6, 0.6), (0, 0.6)))"},"beats":[{"start":180.974125,"say":"Una successione in erre enne è una sequenza di punti, indicizzata dai numeri naturali. Diciamo che converge al punto x se la distanza fra x k e x tende a zero.","live":[],"does":[[180.974125,"head_seq is shown on the screen, written out."],[183.17412499999998,"seq_fig is shown on the screen, written out."],[183.80112499999998,"point is shown on the screen, written out."],[184.0573803925798,"point_2 is shown on the screen, written out."],[184.31363578515962,"point_3 is shown on the screen, written out."],[184.52983969657748,"point_4 is shown on the screen, written out."],[184.65063348432557,"point_5 is shown on the screen, written out."],[184.77142727207362,"point_6 is shown on the screen, written out."],[184.89222105982168,"point_7 is shown on the screen, written out."],[185.01301484756974,"point_8 is shown on the screen, written out."],[185.15657538826574,"point_9 is shown on the screen, written out."],[185.30427167817084,"point_10 is shown on the screen, written out."],[187.214125,"lim_pt is shown on the screen, written out."],[189.054125,"seq_fig moves to a new place on the board."],[189.054125,"s1 is shown on the screen, written out."]]},{"start":192.76162499999998,"say":"In altre parole: fissato un raggio epsilon, da un certo indice in poi tutti i punti cadono nella palla di raggio epsilon attorno al limite. Se stringiamo epsilon l'indice cresce, ma esiste sempre.","live":["s1","seq_fig","head_seq","point","point_2","point_3","point_4","point_5","point_6","point_7","point_8","point_9","point_10","lim_pt"],"does":[[194.13412499999998,"eps_ball is shown on the screen, written out."],[201.41412499999998,"eps_ball is redrawn as the numbers it depends on change."],[201.41412499999998,"eps ticks to 0.4."]]},{"start":205.54662499999998,"say":"Poiché la norma controlla ogni coordinata, la convergenza in erre enne equivale alla convergenza di ciascuna delle enne successioni delle coordinate.","live":["s1","seq_fig","head_seq","point","point_2","point_3","point_4","point_5","point_6","point_7","point_8","point_9","point_10","lim_pt","eps_ball"],"does":[[209.85412499999998,"s2 is shown on the screen, written out."]]},{"start":214.926625,"say":"Una successione è di Cauchy se i suoi termini diventano arbitrariamente vicini fra loro, senza nominare alcun limite. Ogni successione convergente è di Cauchy; il viceversa si chiama completezza.","live":["s1","s2","seq_fig","head_seq","point","point_2","point_3","point_4","point_5","point_6","point_7","point_8","point_9","point_10","lim_pt","eps_ball"],"does":[[219.09412499999996,"s3 is shown on the screen, written out."]]},{"start":227.799125,"say":"Erre enne è completo: ogni successione di Cauchy converge. Si dimostra coordinata per coordinata, perché ogni componente è di Cauchy in erre, e la retta reale è completa.","live":["s1","s2","s3","seq_fig","head_seq","point","point_2","point_3","point_4","point_5","point_6","point_7","point_8","point_9","point_10","lim_pt","eps_ball"],"does":[[229.094125,"s4 is shown on the screen, written out."],[239.14412499999997,"head_seq is hidden from the screen — left the board."],[239.14412499999997,"s1 is hidden from the screen — left the board."],[239.14412499999997,"s2 is hidden from the screen — left the board."],[239.14412499999997,"s3 is hidden from the screen — left the board."],[239.14412499999997,"s4 is hidden from the screen — left the board."],[239.14412499999997,"seq_fig is hidden from the screen — left the board."],[239.14412499999997,"point is hidden from the screen — seq_fig left the board."],[239.14412499999997,"point_2 is hidden from the screen — seq_fig left the board."],[239.14412499999997,"point_3 is hidden from the screen — seq_fig left the board."],[239.14412499999997,"point_4 is hidden from the screen — seq_fig left the board."],[239.14412499999997,"point_5 is hidden from the screen — seq_fig left the board."],[239.14412499999997,"point_6 is hidden from the screen — seq_fig left the board."],[239.14412499999997,"point_7 is hidden from the screen — seq_fig left the board."],[239.14412499999997,"point_8 is hidden from the screen — seq_fig left the board."],[239.14412499999997,"point_9 is hidden from the screen — seq_fig left the board."],[239.14412499999997,"point_10 is hidden from the screen — seq_fig left the board."],[239.14412499999997,"lim_pt is hidden from the screen — seq_fig left the board."],[239.14412499999997,"eps_ball is hidden from the screen — seq_fig left the board."]]},{"start":240.344125,"say":"Un insieme è limitato se sta dentro una palla abbastanza grande. Prendiamo ora una successione limitata qualsiasi: i suoi punti possono saltare avanti e indietro senza convergere.","live":[],"does":[[240.344125,"head_bw is shown on the screen, written out."],[241.534125,"bounded is shown on the screen, written out."],[242.894125,"bw_fig is shown on the screen, written out."],[243.774125,"bound is shown on the screen, written out."],[248.41412499999998,"point_11 is shown on the screen, written out."],[248.51765260736195,"point_12 is shown on the screen, written out."],[248.6211802147239,"point_13 is shown on the screen, written out."],[248.72470782208586,"point_14 is shown on the screen, written out."],[248.82863858457492,"point_15 is shown on the screen, written out."],[248.9351241235758,"point_16 is shown on the screen, written out."],[249.04160966257666,"point_17 is shown on the screen, written out."],[249.14809520157752,"point_18 is shown on the screen, written out."],[249.2679900306748,"point_19 is shown on the screen, written out."],[249.38132336400815,"point_20 is shown on the screen, written out."],[249.49175281186092,"point_21 is shown on the screen, written out."],[249.6021822597137,"point_22 is shown on the screen, written out."]]},{"start":251.674125,"say":"Il teorema di Bolzano-Weierstrass garantisce però che possiamo estrarre una sottosuccessione convergente. Qui basta tenere i termini di indice pari, quelli gialli, che si accumulano attorno a un punto.","live":["bounded","bw_fig","head_bw","bound","point_11","point_12","point_13","point_14","point_15","point_16","point_17","point_18","point_19","point_20","point_21","point_22"],"does":[[252.13412499999998,"bw_thm is shown on the screen, written out."],[261.814125,"ell is shown on the screen, written out."]]},{"start":264.244125,"say":"L'idea della prova: si dimezza ripetutamente il quadrato che contiene la successione, scegliendo ogni volta una parte con infiniti termini. I quadrati annidati si stringono su un unico punto, che esiste perché erre enne è completo.","live":["bounded","bw_thm","bw_fig","head_bw","bound","point_11","point_12","point_13","point_14","point_15","point_16","point_17","point_18","point_19","point_20","point_21","point_22","ell"],"does":[[267.454125,"q1 is shown on the screen, written out."],[269.494125,"q2 is shown on the screen, written out."],[273.45412500000003,"q3 is shown on the screen, written out."],[274.174125,"q4 is shown on the screen, written out."],[278.619125,"bounded is hidden from the screen — left the board."],[278.619125,"bw_fig is hidden from the screen — left the board."],[278.619125,"bound is hidden from the screen — bw_fig left the board."],[278.619125,"point_11 is hidden from the screen — bw_fig left the board."],[278.619125,"point_12 is hidden from the screen — bw_fig left the board."],[278.619125,"point_13 is hidden from the screen — bw_fig left the board."],[278.619125,"point_14 is hidden from the screen — bw_fig left the board."],[278.619125,"point_15 is hidden from the screen — bw_fig left the board."],[278.619125,"point_16 is hidden from the screen — bw_fig left the board."],[278.619125,"point_17 is hidden from the screen — bw_fig left the board."],[278.619125,"point_18 is hidden from the screen — bw_fig left the board."],[278.619125,"point_19 is hidden from the screen — bw_fig left the board."],[278.619125,"point_20 is hidden from the screen — bw_fig left the board."],[278.619125,"point_21 is hidden from the screen — bw_fig left the board."],[278.619125,"point_22 is hidden from the screen — bw_fig left the board."],[278.619125,"ell is hidden from the screen — bw_fig left the board."],[278.619125,"q1 is hidden from the screen — bw_fig left the board."],[278.619125,"q2 is hidden from the screen — bw_fig left the board."],[278.619125,"q3 is hidden from the screen — bw_fig left the board."],[278.619125,"q4 is hidden from the screen — bw_fig left the board."],[278.619125,"bw_thm is hidden from the screen — left the board."],[278.619125,"head_bw is hidden from the screen — left the board."]]},{"start":279.819125,"say":"Questo suggerisce una definizione. Un insieme K è compatto se da ogni successione in K si estrae una sottosuccessione che converge, e converge a un punto di K stesso.","live":[],"does":[[279.819125,"head_comp is shown on the screen, written out."],[281.294125,"comp_def is shown on the screen, written out."]]},{"start":292.129125,"say":"In erre enne la compattezza ha una caratterizzazione concreta, il teorema di Heine-Borel: compatto significa chiuso e limitato. Limitato serve per Bolzano-Weierstrass; chiuso serve perché il limite non sfugga dall'insieme.","live":["comp_def","head_comp"],"does":[[294.334125,"hb is shown on the screen, written out."],[306.744125,"comp_def is hidden from the screen — left the board."],[306.744125,"hb is hidden from the screen — left the board."],[306.744125,"head_comp is hidden from the screen — left the board."]]},{"start":307.344125,"say":"Vediamo tre casi. Il disco chiuso è chiuso e limitato, quindi compatto: ogni successione al suo interno ha una sottosuccessione che converge dentro il disco.","live":[],"does":[[307.344125,"head_cases is shown on the screen, written out."],[309.21412499999997,"c1f is shown on the screen, written out."],[309.21412499999997,"d1 is shown on the screen, written out."],[311.854125,"c1f moves to a new place on the board."],[311.854125,"cap1 is shown on the screen, written out."]]},{"start":318.069125,"say":"Nel disco aperto, questa successione si avvicina al bordo: converge, ma a un punto che non appartiene all'insieme. Manca la chiusura.","live":["c1f","cap1","head_cases","d1"],"does":[[318.854125,"c2f is shown on the screen, written out."],[318.854125,"d2 is shown on the screen, written out."],[319.734125,"c2pts is shown on the screen, written out."],[319.83767986862443,"c2pts_2 is shown on the screen, written out."],[319.94123473724886,"c2pts_3 is shown on the screen, written out."],[320.04478960587323,"c2pts_4 is shown on the screen, written out."],[320.14834447449766,"c2pts_5 is shown on the screen, written out."],[320.2518993431221,"c2pts_6 is shown on the screen, written out."],[320.3511883693972,"c2pts_7 is shown on the screen, written out."],[321.01412500000004,"c2lim is shown on the screen, written out."],[325.01412500000004,"cap2 is shown on the screen, written out."]]},{"start":326.76412500000004,"say":"Nella striscia illimitata, invece, i punti scappano verso destra e nessuna sottosuccessione può convergere. Manca la limitatezza.","live":["c1f","cap1","c2f","cap2","head_cases","d1","d2","c2pts","c2pts_2","c2pts_3","c2pts_4","c2pts_5","c2pts_6","c2pts_7","c2lim"],"does":[[327.294125,"c3f is shown on the screen, written out."],[327.294125,"strip is shown on the screen, written out."],[329.454125,"c3pts is shown on the screen, written out."],[329.58299736679055,"c3pts_2 is shown on the screen, written out."],[329.7118697335812,"c3pts_3 is shown on the screen, written out."],[329.84074210037176,"c3pts_4 is shown on the screen, written out."],[329.9696144671623,"c3pts_5 is shown on the screen, written out."],[330.06835760754115,"c3pts_6 is shown on the screen, written out."],[330.15120412904935,"c3pts_7 is shown on the screen, written out."],[333.454125,"cap3 is shown on the screen, written out."],[335.02166666666665,"c1f is hidden from the screen — left the board."],[335.02166666666665,"d1 is hidden from the screen — c1f left the board."],[335.02166666666665,"c2f is hidden from the screen — left the board."],[335.02166666666665,"d2 is hidden from the screen — c2f left the board."],[335.02166666666665,"c2pts is hidden from the screen — c2f left the board."],[335.02166666666665,"c2pts_2 is hidden from the screen — c2f left the board."],[335.02166666666665,"c2pts_3 is hidden from the screen — c2f left the board."],[335.02166666666665,"c2pts_4 is hidden from the screen — c2f left the board."],[335.02166666666665,"c2pts_5 is hidden from the screen — c2f left the board."],[335.02166666666665,"c2pts_6 is hidden from the screen — c2f left the board."],[335.02166666666665,"c2pts_7 is hidden from the screen — c2f left the board."],[335.02166666666665,"c2lim is hidden from the screen — c2f left the board."],[335.02166666666665,"c3f is hidden from the screen — left the board."],[335.02166666666665,"strip is hidden from the screen — c3f left the board."],[335.02166666666665,"c3pts is hidden from the screen — c3f left the board."],[335.02166666666665,"c3pts_2 is hidden from the screen — c3f left the board."],[335.02166666666665,"c3pts_3 is hidden from the screen — c3f left the board."],[335.02166666666665,"c3pts_4 is hidden from the screen — c3f left the board."],[335.02166666666665,"c3pts_5 is hidden from the screen — c3f left the board."],[335.02166666666665,"c3pts_6 is hidden from the screen — c3f left the board."],[335.02166666666665,"c3pts_7 is hidden from the screen — c3f left the board."],[335.02166666666665,"cap1 is hidden from the screen — left the board."],[335.02166666666665,"cap2 is hidden from the screen — left the board."],[335.02166666666665,"cap3 is hidden from the screen — left the board."],[335.02166666666665,"head_cases is hidden from the screen — left the board."]]}]},{"title":"Continuità e teoremi fondamentali","start":336.0633333333334,"end":470.43908333333343,"objects":{"a_pt":"a Point [green] labelled \"a\" drawn in path_fig (location=(1.2, 1.6))","b_pt":"a Point [green] labelled \"b\" drawn in path_fig (location=(4.8, 2.6))","cod":"a Circle [gray] labelled \"RR^m\" drawn in lim_fig (center=(6.0, 2.0), radius=1.6)","cont_def":"a Math [text] that says \"$f thin upright(\"continua in\") thin x_0 <=> lim_(x -> x_0) f(x) = f(x_0)$\"","dball":"a Circle [green] drawn in lim_fig (center=(2.0, 2.0), radius=(0.6 * eps))","disk_closed":"a Circle [blue] drawn in rax (filled=True)","dom":"a Circle [gray] labelled \"RR^n\" drawn in lim_fig (center=(2.0, 2.0), radius=1.6)","eball":"a Circle [red] drawn in lim_fig (center=(6.0, 2.0), radius=<VariableNumber eps = 0.5>)","eps":"a VariableNumber (initial_value=1.0)","ex0":"a Math [text] that says \"$f(x, y) = x^2 + y^2$\"","ex1":"a Math [text] that says \"${1 < x^2 + y^2 < 4} = f^(-1)((1, 4))$\"","ex2":"a Math [text] that says \"${x^2 + y^2 <= 1} = f^(-1)([0, 1])$\"","fmap":"a CurvedArrow [text] labelled \"f\" drawn in lim_fig (start=(2.9, 3.4), end=(5.1, 3.4), bend=0.4)","gamma":"a ParametricCurve [yellow] drawn in path_fig (function=<function>)","head_lim":"a Heading that says \"Limiti e continuità\"","head_thm":"a Heading that says \"Tre teoremi fondamentali\"","head_top":"a Heading that says \"Continuità e insiemi aperti\"","img":"a Circle [yellow] drawn in lim_fig (center=(6.1, 2.05), radius=(0.45 * eps), filled=True)","lim_def":"a Panel that says \"Sia $f: A subset RR^n -> RR^m$ e $x_0$ di accumulazione per $A$. Allora $lim_(x -> x_0) f(x) = L$ se per ogni $epsilon > 0$ esiste $delta > 0$ tale che $0 < norm(x - x_0) < delta$, con $x in A$, implica $norm(f(x) - L) < epsilon$.\"","lim_fig":"a Figure (x_range=(0.0, 8.0), y_range=(0.0, 4.0), aspect=(2.0, 1.0))","lp":"a Point [red] labelled \"L\" drawn in lim_fig (location=(6.0, 2.0))","path_fig":"a Figure (x_range=(0.0, 6.0), y_range=(0.0, 4.0), aspect=(6.0, 4.0))","pc":"a ParametricCurve [yellow] drawn in lim_fig (function=<function>, t_range=(-1.0, 1.0))","pl1":"a Line [gray] drawn in lim_fig (start=(0.7, 2.0), end=(3.3, 2.0), dashed=True)","pl2":"a Line [gray] drawn in lim_fig (start=(1.0, 1.0), end=(3.0, 3.0), dashed=True)","rax":"an Axes (x_range=(-2.5, 2.5), y_range=(-2.5, 2.5), aspect=(1.0, 1.0))","region":"a Polygon [blue] labelled \"S\" drawn in path_fig (vertices=((0.5, 1.0), (2.0, 0.4), (4.0, 0.8), (5.5, 2.0), (4.5, 3.5), (2…)","rider":"a Point [red] labelled \"gamma(t)\" drawn in path_fig (location=((1.2 + (3.6 * tt)), ((1.6 + tt) + (0.5 * sin((3.14159265358979…)","ring":"a Region [green] drawn in rax (predicates=(<function _polar_predicate.<locals>.inside at 0x2af6cb7d0510>,), x_range=(-2.000019038558531, 2.000019038558531), y_range=(-2.000019038558531, 2.000019038558531))","t1":"a Text [text] that says \"Valori intermedi: se $S$ è connesso per archi, $f: S -> RR$ è continua e $f(a) < c < f(b)$, esiste $x in S$ con $f(x) = c$.\"","t2":"a Text [text] that says \"Weierstrass: se $K$ è compatto e $f: K -> RR$ è continua, $f$ ha massimo e minimo assoluti su $K$.\"","t3":"a Text [text] that says \"Heine-Cantor: se $K$ è compatto, ogni $f$ continua su $K$ è uniformemente continua: un solo $delta$ vale per tutti i punti.\"","top_thm":"a Panel that says \"$f: RR^n -> RR^m$ è continua se e solo se $f^(-1)(A)$ è aperto per ogni aperto $A subset RR^m$, ovvero se e solo se la retroimmagine di ogni chiuso è chiusa.\"","tt":"a VariableNumber","x0":"a Point [green] labelled \"x_0\" drawn in lim_fig (location=(2.0, 2.0))"},"beats":[{"start":336.0633333333334,"say":"Passiamo alle funzioni da erre enne a erre emme. La definizione di limite è quella del caso reale, con la norma al posto del valore assoluto.","live":[],"does":[[336.0633333333334,"head_lim is shown on the screen, written out."],[336.7033333333334,"lim_fig is shown on the screen, written out."],[336.7033333333334,"dom is shown on the screen, written out."],[336.7033333333334,"cod is shown on the screen, written out."],[340.0633333333334,"lim_fig moves to a new place on the board."],[340.0633333333334,"lim_def is shown on the screen, written out."]]},{"start":345.9233333333334,"say":"Per ogni palla di raggio epsilon attorno al limite elle esiste una palla di raggio delta attorno a x zero la cui immagine, escluso al più x zero, cade dentro la prima.","live":["lim_def","lim_fig","head_lim","dom","cod"],"does":[[347.5433333333334,"eball is shown on the screen, written out."],[348.7433333333334,"lp is shown on the screen, written out."],[350.6633333333334,"dball is shown on the screen, written out."],[350.6633333333334,"x0 is shown on the screen, written out."],[352.7833333333334,"fmap is shown on the screen, written out."],[355.2233333333334,"img is shown on the screen, written out."]]},{"start":357.2058333333334,"say":"Se stringiamo epsilon dobbiamo stringere anche delta, ma una scelta adatta esiste sempre.","live":["lim_def","lim_fig","head_lim","dom","cod","eball","lp","dball","x0","fmap","img"],"does":[[357.6633333333334,"eball is redrawn as the numbers it depends on change."],[357.6633333333334,"dball is redrawn as the numbers it depends on change."],[357.6633333333334,"img is redrawn as the numbers it depends on change."],[357.6633333333334,"eps ticks to 0.5."]]},{"start":363.46583333333336,"say":"La funzione è continua in x zero se il limite coincide con il valore in x zero. Attenzione: in più variabili ci si avvicina a x zero lungo infinite rette e curve, e il limite deve essere lo stesso per tutte.","live":null,"does":[[364.58333333333337,"cont_def is shown on the screen, written out."],[373.5433333333334,"pl1 is shown on the screen, written out."],[373.8538840964389,"pl2 is shown on the screen, written out."],[374.02333333333337,"pc is shown on the screen, written out."],[377.4133333333334,"cont_def is hidden from the screen — left the board."],[377.4133333333334,"head_lim is hidden from the screen — left the board."],[377.4133333333334,"lim_def is hidden from the screen — left the board."],[377.4133333333334,"lim_fig is hidden from the screen — left the board."],[377.4133333333334,"dom is hidden from the screen — lim_fig left the board."],[377.4133333333334,"cod is hidden from the screen — lim_fig left the board."],[377.4133333333334,"eball is hidden from the screen — lim_fig left the board."],[377.4133333333334,"lp is hidden from the screen — lim_fig left the board."],[377.4133333333334,"dball is hidden from the screen — lim_fig left the board."],[377.4133333333334,"x0 is hidden from the screen — lim_fig left the board."],[377.4133333333334,"fmap is hidden from the screen — lim_fig left the board."],[377.4133333333334,"img is hidden from the screen — lim_fig left the board."],[377.4133333333334,"pl1 is hidden from the screen — lim_fig left the board."],[377.4133333333334,"pl2 is hidden from the screen — lim_fig left the board."],[377.4133333333334,"pc is hidden from the screen — lim_fig left the board."]]},{"start":378.6133333333334,"say":"Esiste un modo di dire la continuità senza epsilon e delta. Una funzione è continua se e solo se la retroimmagine di ogni aperto è aperta, o equivalentemente se la retroimmagine di ogni chiuso è chiusa.","live":[],"does":[[378.6133333333334,"head_top is shown on the screen, written out."],[383.8233333333334,"top_thm is shown on the screen, written out."]]},{"start":392.9258333333334,"say":"Questo è uno strumento pratico. Prendiamo f uguale a x quadro più y quadro, che è continua. La corona dove f sta strettamente fra uno e quattro è la retroimmagine di un intervallo aperto: dunque è aperta, senza alcun conto.","live":["top_thm","head_top"],"does":[[395.1833333333334,"ex0 is shown on the screen, written out."],[398.8233333333334,"rax is shown on the screen, written out."],[399.90333333333336,"ring is shown on the screen, written out."],[402.9433333333334,"ex1 is shown on the screen, written out."]]},{"start":408.1783333333334,"say":"Allo stesso modo il disco dove f è minore o uguale a uno è la retroimmagine dell'intervallo chiuso da zero a uno, ed è quindi chiuso.","live":["top_thm","ex0","ex1","rax","head_top","ring"],"does":[[409.6233333333334,"disk_closed is shown on the screen, written out."],[412.2633333333334,"ex2 is shown on the screen, written out."],[416.3933333333334,"ex0 is hidden from the screen — left the board."],[416.3933333333334,"ex1 is hidden from the screen — left the board."],[416.3933333333334,"ex2 is hidden from the screen — left the board."],[416.3933333333334,"head_top is hidden from the screen — left the board."],[416.3933333333334,"rax is hidden from the screen — left the board."],[416.3933333333334,"ring is hidden from the screen — rax left the board."],[416.3933333333334,"disk_closed is hidden from the screen — rax left the board."],[416.3933333333334,"top_thm is hidden from the screen — left the board."]]},{"start":417.59333333333336,"say":"Tre teoremi reggono tutta la teoria. Il primo è il teorema dei valori intermedi: su un insieme connesso per archi, due punti qualsiasi a e b sono uniti da un cammino continuo gamma, tutto dentro l'insieme.","live":[],"does":[[417.59333333333336,"head_thm is shown on the screen, written out."],[420.8233333333334,"t1 is shown on the screen, written out."],[423.6233333333334,"path_fig is shown on the screen, written out."],[423.6233333333334,"region is shown on the screen, written out."],[425.7833333333334,"a_pt is shown on the screen, written out."],[425.7833333333334,"b_pt is shown on the screen, written out."],[428.26333333333343,"gamma is shown on the screen, written out."],[429.3433333333334,"rider is shown on the screen, written out."]]},{"start":431.8358333333334,"say":"Lungo il cammino, f composta con gamma è una funzione continua di una sola variabile, e il teorema classico in erre fornisce un istante in cui assume il valore c.","live":["t1","path_fig","head_thm","region","a_pt","b_pt","gamma","rider"],"does":[[432.14333333333343,"rider is redrawn as the numbers it depends on change."],[432.14333333333343,"tt ticks to 1.0."],[439.8633333333334,"rider is redrawn as the numbers it depends on change."],[439.8633333333334,"tt ticks to 0.55."]]},{"start":442.70833333333337,"say":"Il secondo è il teorema di Weierstrass: una funzione continua su un compatto ha massimo e minimo assoluti. Da una successione di valori che tende all'estremo superiore, la compattezza estrae una sottosuccessione convergente, e la continuità fa il resto.","live":null,"does":[[443.2233333333334,"t2 is shown on the screen, written out."]]},{"start":458.8858333333334,"say":"Il terzo è il teorema di Heine-Cantor. La continuità uniforme chiede che lo stesso delta funzioni in tutti i punti insieme; su un compatto questo è automatico.","live":["t1","t2","path_fig","head_thm","region","a_pt","b_pt","gamma","rider"],"does":[[459.4633333333334,"t3 is shown on the screen, written out."],[469.39741666666674,"head_thm is hidden from the screen — left the board."],[469.39741666666674,"path_fig is hidden from the screen — left the board."],[469.39741666666674,"region is hidden from the screen — path_fig left the board."],[469.39741666666674,"a_pt is hidden from the screen — path_fig left the board."],[469.39741666666674,"b_pt is hidden from the screen — path_fig left the board."],[469.39741666666674,"gamma is hidden from the screen — path_fig left the board."],[469.39741666666674,"rider is hidden from the screen — path_fig left the board."],[469.39741666666674,"t1 is hidden from the screen — left the board."],[469.39741666666674,"t2 is hidden from the screen — left the board."],[469.39741666666674,"t3 is hidden from the screen — left the board."]]}]},{"title":"Derivate, differenziale e Jacobiana","start":470.43908333333343,"end":654.2866666666667,"objects":{"axes3":"an Axes3D (x_range=(-1.5, 1.5), y_range=(-1.5, 1.5), z_range=(0.0, 4.5))","cax":"an Axes (x_range=(-2.0, 2.0), y_range=(-2.0, 2.0), aspect=(1.0, 1.0))","cex":"a Math [text] that says \"$f(x, y) = frac(x y, x^2 + y^2), quad f(0, 0) = 0$\"","cex_m":"a Math [text] that says \"$f(x, m x) = frac(m, 1 + m^2)$\"","dd":"a Math [text] that says \"$D_v f(x_0) = lim_(h -> 0) frac(f(x_0 + h v) - f(x_0), h), quad norm(v) = 1$\"","dif":"a Math [text] that says \"$f(x_0 + h) = f(x_0) + nabla f(x_0) dot h + o(norm(h))$\"","dvf":"a Math [text] that says \"$D_v f(x_0) = nabla f(x_0) dot v$\"","grad":"a Math [text] that says \"$nabla f(x_0) = (frac(partial f, partial x_1), dots, frac(partial f, partial x_n))$\"","grid":"a Gridlines [gray] drawn in jax (x_range=(-1.0, 1.0), y_range=(-1.0, 1.0), step=0.5)","gvec":"a Vector [red] labelled \"nabla f\" drawn in axes3 (start=(1.0, 0.5, 0.0), end=(1.8, 0.9, 0.0))","head_cex":"a Heading that says \"Derivate parziali senza differenziabilità\"","head_d":"a Heading that says \"Derivate parziali e direzionali\"","head_diff":"a Heading that says \"Differenziabilità e piano tangente\"","head_jac":"a Heading that says \"La matrice Jacobiana\"","imp":"a Math [text] that says \"$upright(\"differenziabile\") => upright(\"continua\")$\"","j0":"a Math [text] that says \"$J_f (x_0) = (frac(partial f_i, partial x_j)(x_0))_(i, j), quad m times n$\"","j1":"a Math [text] that says \"$f(x, y) = (x^2 - y, thin x y)$\"","j2":"a Math [text] that says \"$J_f (x, y) = mat(2 x, -1; y, x), quad J_f (1, 1) = mat(2, -1; 1, 1)$\"","j3":"a Math [text] that says \"$f(x_0 + h) approx f(x_0) + J_f (x_0) h$\"","jax":"an Axes (x_range=(-3.0, 3.0), y_range=(-3.0, 3.0), aspect=(1.0, 1.0))","l0":"a Line [blue] labelled \"f = 0\" drawn in cax (start=(-1.8, 0.0), end=(1.8, 0.0))","l1":"a Line [green] labelled \"f = 1/2\" drawn in cax (start=(-1.4, -1.4), end=(1.4, 1.4))","l2":"a Line [red] labelled \"f = -1/2\" drawn in cax (start=(-1.4, 1.4), end=(1.4, -1.4))","pd":"a Math [text] that says \"$frac(partial f, partial x_i)(x_0) = lim_(h -> 0) frac(f(x_0 + h e_i) - f(x_0), h)$\"","pt":"a Point [yellow] labelled \"P\" drawn in axes3 (location=(1.0, 0.5, 1.25))","square":"a Polygon [green] drawn in jax (vertices=((0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)))","stat":"a Math [text] that says \"$nabla f(x_0) = 0 : x_0 thin upright(\"stazionario\")$\"","surf":"a Surface [blue] drawn in axes3 (function=<function>, u_range=(-1.5, 1.5), v_range=(-1.5, 1.5))","tan":"a Math [text] that says \"$z = f(x_0) + nabla f(x_0) dot (x - x_0)$\"","tdt":"a Panel that says \"Se le derivate parziali esistono in un intorno di $x_0$ e sono continue in $x_0$, allora $f$ è differenziabile in $x_0$. Dunque $f in C^1$ implica $f$ differenziabile, quindi continua.\"","tp":"a Plane [red] drawn in axes3 (point=(1.0, 0.5, 1.25), normal=(-0.8164965809390571, -0.4082482904581974, 0.4082482904468662), edge_direction=(0.9999999999732445, 0.0, 2.0000000000575113))","tu":"a Vector [yellow] labelled \"partial_x\" drawn in axes3 (start=(1.0, 0.5, 1.25), end=(1.4472135954800978, 0.5, 2.144427191009846))","tv":"a Vector [green] labelled \"partial_y\" drawn in axes3 (start=(1.0, 0.5, 1.25), end=(1.0, 1.2071067811767344, 1.9571067811963605))"},"beats":[{"start":470.43908333333343,"say":"Veniamo alle derivate. Prendiamo il paraboloide zeta uguale a x quadro più y quadro, e un punto P sul suo grafico.","live":[],"does":[[470.43908333333343,"head_d is shown on the screen, written out."],[472.67908333333344,"axes3 is shown on the screen, written out."],[472.67908333333344,"surf is shown on the screen, written out."],[476.59908333333345,"axes3 turns to a new orientation in its own slot."],[476.59908333333345,"pt is shown on the screen, written out."]]},{"start":479.04158333333345,"say":"La derivata parziale rispetto a x i congela tutte le altre variabili: è la derivata ordinaria lungo un asse. Geometricamente è la pendenza della curva ottenuta tagliando il grafico con un piano verticale.","live":["axes3","head_d","surf","pt"],"does":[[479.8390833333334,"axes3 moves to a new place on the board."],[479.8390833333334,"pd is shown on the screen, written out."],[487.55908333333343,"tu is shown on the screen, written out."],[489.11908333333344,"tv is shown on the screen, written out."]]},{"start":492.16658333333345,"say":"Più in generale, scelto un vettore unitario v, la derivata direzionale misura come varia f muovendosi lungo v. Le derivate parziali sono il caso dei vettori della base canonica.","live":["pd","axes3","head_d","surf","pt","tu","tv"],"does":[[495.9590833333334,"dd is shown on the screen, written out."]]},{"start":504.1915833333334,"say":"Il vettore delle derivate parziali si chiama gradiente, nabla f. I punti in cui il gradiente si annulla si dicono stazionari, o critici: sono i candidati a massimi e minimi.","live":["pd","dd","axes3","head_d","surf","pt","tu","tv"],"does":[[506.7190833333334,"grad is shown on the screen, written out."],[511.43908333333343,"stat is shown on the screen, written out."],[515.7015833333335,"dd is hidden from the screen — left the board."],[515.7015833333335,"grad is hidden from the screen — left the board."],[515.7015833333335,"head_d is hidden from the screen — left the board."],[515.7015833333335,"pd is hidden from the screen — left the board."],[515.7015833333335,"stat is hidden from the screen — left the board."]]},{"start":516.9015833333334,"say":"Diciamo che f è differenziabile in x zero se il suo incremento è uguale a una parte lineare in h, più un errore che va a zero più velocemente della norma di h.","live":["axes3","surf","pt","tu","tv"],"does":[[516.9015833333334,"head_diff is shown on the screen, written out."],[518.2790833333335,"dif is shown on the screen, written out."],[523.5990833333334,"dif (the \"o(norm(h))\" part) is emphasized."],[526.8365833333335,"dif (the \"o(norm(h))\" part) is no longer emphasized."]]},{"start":527.4365833333334,"say":"La parte lineare definisce il piano tangente: il piano che meglio approssima il grafico vicino a P, e contiene le due tangenti di prima. Quando enne supera due si parla di iperpiano tangente.","live":["axes3","surf","pt","tu","tv","dif","head_diff"],"does":[[528.6790833333334,"tan is shown on the screen, written out."],[529.3190833333334,"tp is shown on the screen, written out."]]},{"start":540.2390833333334,"say":"Se f è differenziabile, prendiamo h uguale a t per v e dividiamo per t. Il limite dà la formula fondamentale: la derivata direzionale è il prodotto scalare fra gradiente e v.","live":["axes3","surf","pt","tu","tv","dif","tan","head_diff","tp"],"does":[[546.7990833333334,"dvf is shown on the screen, written out."]]},{"start":552.8690833333334,"say":"Per Cauchy-Schwarz questo prodotto è massimo quando v è parallelo al gradiente. Il gradiente indica quindi la direzione di massima crescita, e la sua norma è la pendenza massima.","live":["axes3","surf","pt","tu","tv","dif","tan","dvf","head_diff","tp"],"does":[[555.1590833333335,"dvf (the \"nabla f(x_0) dot v\" part) is emphasized."],[559.6390833333335,"gvec is shown on the screen, written out."],[561.8790833333335,"dvf (the \"nabla f(x_0) dot v\" part) is no longer emphasized."]]},{"start":564.3540833333334,"say":"Infine, la differenziabilità implica la continuità: l'incremento di f tende a zero insieme a h.","live":["axes3","surf","pt","tu","tv","dif","tan","dvf","head_diff","tp","gvec"],"does":[[566.5990833333335,"imp is shown on the screen, written out."],[571.3415833333335,"axes3 is hidden from the screen — left the board."],[571.3415833333335,"surf is hidden from the screen — axes3 left the board."],[571.3415833333335,"pt is hidden from the screen — axes3 left the board."],[571.3415833333335,"tu is hidden from the screen — axes3 left the board."],[571.3415833333335,"tv is hidden from the screen — axes3 left the board."],[571.3415833333335,"tp is hidden from the screen — axes3 left the board."],[571.3415833333335,"gvec is hidden from the screen — axes3 left the board."],[571.3415833333335,"dif is hidden from the screen — left the board."],[571.3415833333335,"dvf is hidden from the screen — left the board."],[571.3415833333335,"head_diff is hidden from the screen — left the board."],[571.3415833333335,"imp is hidden from the screen — left the board."],[571.3415833333335,"tan is hidden from the screen — left the board."]]},{"start":572.5415833333334,"say":"Attenzione: in più variabili, l'esistenza di tutte le derivate parziali non garantisce nemmeno la continuità. Guardiamo questa funzione: sugli assi vale zero, quindi le due derivate parziali nell'origine esistono e sono nulle.","live":[],"does":[[572.5415833333334,"head_cex is shown on the screen, written out."],[579.4390833333334,"cex is shown on the screen, written out."],[581.3590833333335,"cax is shown on the screen, written out."],[582.0790833333335,"l0 is shown on the screen, written out."]]},{"start":587.2365833333334,"say":"Ma lungo la retta y uguale a emme x vale costantemente emme fratto uno più emme quadro: un mezzo sulla bisettrice, meno un mezzo sull'altra. Il limite nell'origine non esiste, e f non è continua.","live":["cex","cax","head_cex","l0"],"does":[[587.9590833333334,"cex_m is shown on the screen, written out."],[594.3990833333335,"l1 is shown on the screen, written out."],[595.2390833333335,"l2 is shown on the screen, written out."]]},{"start":601.3215833333334,"say":"Il teorema del differenziale totale fornisce una condizione sufficiente: se le derivate parziali esistono vicino a x zero e sono continue in x zero, allora f è differenziabile. Ogni funzione di classe C uno è dunque differenziabile e continua.","live":["cex","cex_m","cax","head_cex","l0","l1","l2"],"does":[[602.1990833333334,"tdt is shown on the screen, written out."],[617.0940833333334,"cax is hidden from the screen — left the board."],[617.0940833333334,"l0 is hidden from the screen — cax left the board."],[617.0940833333334,"l1 is hidden from the screen — cax left the board."],[617.0940833333334,"l2 is hidden from the screen — cax left the board."],[617.0940833333334,"cex is hidden from the screen — left the board."],[617.0940833333334,"cex_m is hidden from the screen — left the board."],[617.0940833333334,"head_cex is hidden from the screen — left the board."],[617.0940833333334,"tdt is hidden from the screen — left the board."]]},{"start":618.2940833333334,"say":"Per un campo vettoriale da erre enne a erre emme, ogni componente ha il suo gradiente. Disposti come righe, formano la matrice Jacobiana, con emme righe ed enne colonne.","live":[],"does":[[618.2940833333334,"head_jac is shown on the screen, written out."],[626.2390833333335,"j0 is shown on the screen, written out."]]},{"start":629.9240833333334,"say":"Per esempio, per questa f del piano in sé, la Jacobiana nel punto uno, uno è la matrice due, meno uno, uno, uno.","live":["j0","head_jac"],"does":[[630.2790833333335,"j1 is shown on the screen, written out."],[633.1590833333335,"j2 is shown on the screen, written out."]]},{"start":638.4840833333334,"say":"Il suo significato è questo: vicino al punto, f si comporta come l'applicazione lineare data dalla Jacobiana. Guardate come questa matrice deforma il quadrato verde: è ciò che f fa, in prima approssimazione, a un piccolo intorno.","live":["j0","j1","j2","head_jac"],"does":[[638.9990833333335,"jax is shown on the screen, written out."],[638.9990833333335,"grid is shown on the screen, written out."],[638.9990833333335,"square is shown on the screen, written out."],[640.6390833333335,"j3 is shown on the screen, written out."],[647.5590833333334,"jax: put this frame's data space back where it started (reset_matrix)."],[653.2450000000001,"head_jac is hidden from the screen — left the board."],[653.2450000000001,"j0 is hidden from the screen — left the board."],[653.2450000000001,"j1 is hidden from the screen — left the board."],[653.2450000000001,"j2 is hidden from the screen — left the board."],[653.2450000000001,"j3 is hidden from the screen — left the board."],[653.2450000000001,"jax is hidden from the screen — left the board."],[653.2450000000001,"grid is hidden from the screen — jax left the board."],[653.2450000000001,"square is hidden from the screen — jax left the board."]]}]},{"title":"Hessiana e punti critici","start":654.2866666666667,"end":880.9693541666668,"objects":{"c0":"a Math [text] that says \"$frac(dif, dif t) f(g(t)) = nabla f(g(t)) dot g'(t)$\"","c1":"a Math [text] that says \"$h = f(g(x)) => J_h (x) = J_f (g(x)) thin J_g (x)$\"","c2":"a Math [text] that says \"$frac(partial h_i, partial x_j) = sum_k frac(partial f_i, partial y_k) frac(partial g_k, partial x_j)$\"","cap_max":"a Math [text] that says \"$lambda_i < 0 : upright(\"massimo\")$\"","cap_min":"a Math [text] that says \"$lambda_i > 0 : upright(\"minimo\")$\"","cap_sad":"a Math [text] that says \"$lambda_1 lambda_2 < 0 : upright(\"sella\")$\"","cax2":"an Axes (x_range=(-2.0, 2.0), y_range=(0.0, 2.5))","frame":"an Axes3D (x_range=(-1.2, 1.2), y_range=(-1.2, 1.2), z_range=(-2.2, 2.2))","frame_2":"an Axes3D (x_range=(-1.2, 1.2), y_range=(-1.2, 1.2), z_range=(-2.2, 2.2))","frame_3":"an Axes3D (x_range=(-1.2, 1.2), y_range=(-1.2, 1.2), z_range=(-2.2, 2.2))","gradv":"a Vector [red] labelled \"nabla f\" drawn in cax2 (start=(0.8, 1.008), end=(1.44, 1.814))","h0":"a Math [text] that says \"$H_f (x) = (frac(partial^2 f, partial x_i partial x_j)(x))_(i, j = 1, dots, n)$\"","h1":"a Math [text] that says \"$f(x, y) = x^3 y + y^2$\"","h2":"a Math [text] that says \"$f_x = 3 x^2 y, quad f_y = x^3 + 2 y$\"","h3":"a Math [text] that says \"$f_(x y) = 3 x^2 = f_(y x)$\"","head_chain":"a Heading that says \"Derivata della funzione composta\"","head_cls":"a Heading that says \"Il segno di $q(h) = lambda_1 y_1^2 + dots + lambda_n y_n^2$\"","head_ex":"a Heading that says \"Un esempio completo\"","head_h":"a Heading that says \"Derivate seconde e teorema di Schwarz\"","head_syl":"a Heading that says \"Criterio di Sylvester\"","head_tay":"a Heading that says \"Formula di Taylor al secondo ordine\"","lev":"a LevelCurves [gray] drawn in cax2 (function=<function>, values=(0.5, 1.0, 2.0, 3.0))","mark":"a Point [yellow] labelled \"g(t_0)\" drawn in cax2 (location=(0.8, 1.008))","path":"a ParametricCurve [blue] labelled \"g(t)\" drawn in cax2 (function=<function>, t_range=(-1.8, 1.8))","pmin":"a Point [green] labelled \"(1, 0)\" drawn in wax (location=(1.0, 0.0, -2.0))","psad":"a Point [red] labelled \"(-1, 0)\" drawn in wax (location=(-1.0, 0.0, 2.0))","schwarz":"a Panel that says \"Se le derivate seconde miste sono continue, allora $f_(x_i x_j) = f_(x_j x_i)$: la matrice Hessiana di una funzione $C^2$ è simmetrica.\"","shape":"a Surface [green] drawn in frame (function=<function>, u_range=(-1.0, 1.0), v_range=(-1.0, 1.0))","shape_2":"a Surface [red] drawn in frame_2 (function=<function>, u_range=(-1.0, 1.0), v_range=(-1.0, 1.0))","shape_3":"a Surface [yellow] drawn in frame_3 (function=<function>, u_range=(-1.0, 1.0), v_range=(-1.0, 1.0))","sy0":"a Math [text] that says \"$D_k = det (f_(x_i x_j))_(i, j <= k), quad k = 1, dots, n$\"","sy1":"a Math [text] that says \"$n = 2 : quad D_1 = f_(x x), quad D_2 = f_(x x) f_(y y) - f_(x y)^2$\"","sytab":"a Table [text] that says \"condizione punto stazionario $D_k > 0$ per ogni $k$ minimo locale $(-1)^k D_k > 0$ per ogni $k$ massimo locale $n = 2$, $D_2 < 0$ sella\" (rows=(('condizione', 'punto stazionario'), ('$D_k > 0$ per ogni $k$'…, header=True)","t0":"a Math [text] that says \"$f(x_0 + h) = f(x_0) + nabla f(x_0) dot h + frac(1, 2) h^T H_f (x_0) h + o(norm(h)^2)$\"","t1":"a Math [text] that says \"$f(x_0 + h) = f(x_0) + nabla f(x_0) dot h + frac(1, 2) h^T H_f (xi) h, quad xi in [x_0, x_0 + h]$\"","t2":"a Math [text] that says \"$nabla f(x_0) = 0 => f(x_0 + h) - f(x_0) = frac(1, 2) q(h) + o(norm(h)^2)$\"","t3":"a Math [text] that says \"$q(h) = h^T H_f (x_0) h = sum_(i, j) f_(x_i x_j)(x_0) h_i h_j$\"","vel":"a Vector [green] labelled \"g'(t_0)\" drawn in cax2 (start=(0.8, 1.008), end=(1.6, 0.624))","w0":"a Math [text] that says \"$f(x, y) = x^3 - 3 x + y^2$\"","w1":"a Math [text] that says \"$nabla f = (3 x^2 - 3, thin 2 y) = 0 => (plus.minus 1, 0)$\"","w2":"a Math [text] that says \"$H_f = mat(6 x, 0; 0, 2)$\"","w3":"a Math [text] that says \"$(1, 0) : D_1 = 6, thin D_2 = 12 => upright(\"minimo\")$\"","w4":"a Math [text] that says \"$(-1, 0) : D_2 = -12 < 0 => upright(\"sella\")$\"","wax":"an Axes3D (x_range=(-2.0, 2.0), y_range=(-1.5, 1.5), z_range=(-2.5, 4.5))","wsurf":"a Surface [blue] drawn in wax (function=<function>, u_range=(-2.0, 2.0), v_range=(-1.5, 1.5))"},"beats":[{"start":654.2866666666667,"say":"Derivando di nuovo le derivate parziali otteniamo le derivate seconde. Raccolte in una matrice enne per enne, formano la Hessiana.","live":[],"does":[[654.2866666666667,"head_h is shown on the screen, written out."],[658.7666666666668,"h0 is shown on the screen, written out."]]},{"start":663.0616666666667,"say":"Proviamo con x al cubo per y, più y quadro. Le derivate prime sono tre x quadro y, e x al cubo più due y.","live":["h0","head_h"],"does":[[663.2066666666667,"h1 is shown on the screen, written out."],[667.4466666666667,"h2 is shown on the screen, written out."]]},{"start":672.6741666666668,"say":"Ora deriviamo f x rispetto a y, e f y rispetto a x: in entrambi i casi otteniamo tre x quadro. Non è una coincidenza.","live":["h0","h1","h2","head_h"],"does":[[673.1666666666667,"h3 is shown on the screen, written out."]]},{"start":683.0891666666668,"say":"È il teorema di Schwarz: se le derivate miste sono continue, l'ordine di derivazione non conta. La Hessiana di una funzione di classe C due è quindi simmetrica, e avrà autovalori reali.","live":["h0","h1","h2","h3","head_h"],"does":[[683.9666666666667,"schwarz is shown on the screen, written out."],[694.7191666666668,"h0 is hidden from the screen — left the board."],[694.7191666666668,"h1 is hidden from the screen — left the board."],[694.7191666666668,"h2 is hidden from the screen — left the board."],[694.7191666666668,"h3 is hidden from the screen — left the board."],[694.7191666666668,"head_h is hidden from the screen — left the board."],[694.7191666666668,"schwarz is hidden from the screen — left the board."]]},{"start":695.9191666666668,"say":"Come si deriva una composizione? Seguiamo una curva gi di t nel piano, mentre f ha queste curve di livello. La derivata di f lungo la curva è il gradiente di f nel punto, scalare la velocità della curva.","live":[],"does":[[695.9191666666668,"head_chain is shown on the screen, written out."],[698.2466666666668,"cax2 is shown on the screen, written out."],[698.2466666666668,"path is shown on the screen, written out."],[702.2466666666668,"lev is shown on the screen, written out."],[703.2066666666667,"c0 is shown on the screen, written out."],[705.2466666666668,"gradv is shown on the screen, written out."],[706.2866666666667,"mark is shown on the screen, written out."],[706.9266666666667,"vel is shown on the screen, written out."]]},{"start":709.2166666666667,"say":"Il caso generale è altrettanto pulito: la Jacobiana della composizione è il prodotto delle Jacobiane, calcolate nei punti giusti. Scritto per componenti, è una somma su tutte le variabili intermedie.","live":["c0","cax2","head_chain","path","lev","mark","gradv","vel"],"does":[[709.8066666666667,"c1 is shown on the screen, written out."],[717.7666666666668,"c2 is shown on the screen, written out."],[720.8766666666668,"c0 is hidden from the screen — left the board."],[720.8766666666668,"c1 is hidden from the screen — left the board."],[720.8766666666668,"c2 is hidden from the screen — left the board."],[720.8766666666668,"cax2 is hidden from the screen — left the board."],[720.8766666666668,"path is hidden from the screen — cax2 left the board."],[720.8766666666668,"lev is hidden from the screen — cax2 left the board."],[720.8766666666668,"mark is hidden from the screen — cax2 left the board."],[720.8766666666668,"gradv is hidden from the screen — cax2 left the board."],[720.8766666666668,"vel is hidden from the screen — cax2 left the board."],[720.8766666666668,"head_chain is hidden from the screen — left the board."]]},{"start":722.0766666666667,"say":"Con la Hessiana possiamo scrivere lo sviluppo di Taylor al secondo ordine. Il valore, più il termine lineare del gradiente, più metà della forma quadratica della Hessiana, più un resto di Peano, piccolo rispetto al quadrato della norma di h.","live":[],"does":[[722.0766666666667,"head_tay is shown on the screen, written out."],[724.0866666666667,"t0 is shown on the screen, written out."],[728.0466666666667,"t0 (the \"nabla f(x_0) dot h\" part) is emphasized."],[730.5266666666668,"t0 (the \"frac(1, 2) h^T H_f (x_0) h\" part) is emphasized."],[730.5266666666668,"t0 (the \"nabla f(x_0) dot h\" part) is no longer emphasized."],[733.0066666666668,"t0 (the \"frac(1, 2) h^T H_f (x_0) h\" part) is no longer emphasized."],[733.0066666666668,"t0 (the \"o(norm(h)^2)\" part) is emphasized."],[736.2216666666667,"t0 (the \"o(norm(h)^2)\" part) is no longer emphasized."]]},{"start":736.8216666666667,"say":"Se f è di classe C due vale anche la forma di Lagrange: niente resto, ma la Hessiana è calcolata in un punto xi intermedio sul segmento fra x zero e x zero più h.","live":["t0","head_tay"],"does":[[739.7266666666667,"t1 is shown on the screen, written out."]]},{"start":748.4066666666668,"say":"Ora il punto chiave. In un punto stazionario il gradiente è nullo, e la differenza fra f di x zero più h e f di x zero è governata dalla forma quadratica q.","live":["t0","t1","head_tay"],"does":[[750.7266666666667,"t2 is shown on the screen, written out."],[753.2466666666668,"t3 is shown on the screen, written out."],[759.2266666666667,"head_tay is hidden from the screen — left the board."],[759.2266666666667,"t0 is hidden from the screen — left the board."],[759.2266666666667,"t1 is hidden from the screen — left the board."],[759.2266666666667,"t2 is hidden from the screen — left the board."],[759.2266666666667,"t3 is hidden from the screen — left the board."]]},{"start":760.4266666666667,"say":"Poiché la Hessiana è simmetrica, il teorema spettrale la diagonalizza in una base ortonormale di autovettori. In quelle coordinate la forma quadratica diventa una somma di autovalori per quadrati.","live":[],"does":[[760.4266666666667,"head_cls is shown on the screen, written out."]]},{"start":772.1241666666667,"say":"Se tutti gli autovalori sono positivi, la forma è definita positiva e il punto è di minimo locale: il grafico è una coppa.","live":["head_cls"],"does":[[773.6866666666667,"frame is shown on the screen, written out."],[773.6866666666667,"shape is shown on the screen, written out."],[777.1266666666668,"frame moves to a new place on the board."],[777.1266666666668,"cap_min is shown on the screen, written out."]]},{"start":780.2991666666667,"say":"Se sono tutti negativi, la forma è definita negativa: massimo locale, il grafico è una cupola.","live":["frame","cap_min","head_cls","shape"],"does":[[781.2466666666668,"frame_2 is shown on the screen, written out."],[781.2466666666668,"shape_2 is shown on the screen, written out."],[783.8466666666668,"cap_max is shown on the screen, written out."]]},{"start":787.0241666666667,"say":"Se ci sono autovalori di segno opposto, la forma è indefinita e il punto è una sella: si sale lungo una direzione e si scende lungo l'altra. Se invece qualche autovalore è nullo, il secondo ordine non basta a decidere.","live":["frame","cap_min","frame_2","cap_max","head_cls","shape","shape_2"],"does":[[788.7266666666668,"frame_3 is shown on the screen, written out."],[788.7266666666668,"shape_3 is shown on the screen, written out."],[791.7666666666668,"cap_sad is shown on the screen, written out."],[792.7266666666668,"frame_3 turns to a new orientation in its own slot."],[800.1391666666667,"cap_max is hidden from the screen — left the board."],[800.1391666666667,"cap_min is hidden from the screen — left the board."],[800.1391666666667,"cap_sad is hidden from the screen — left the board."],[800.1391666666667,"frame is hidden from the screen — left the board."],[800.1391666666667,"shape is hidden from the screen — frame left the board."],[800.1391666666667,"frame_2 is hidden from the screen — left the board."],[800.1391666666667,"shape_2 is hidden from the screen — frame_2 left the board."],[800.1391666666667,"frame_3 is hidden from the screen — left the board."],[800.1391666666667,"shape_3 is hidden from the screen — frame_3 left the board."],[800.1391666666667,"head_cls is hidden from the screen — left the board."]]},{"start":801.3391666666668,"say":"Calcolare gli autovalori può essere faticoso. Il criterio di Sylvester usa invece i minori principali di testa: i determinanti dei blocchi quadrati in alto a sinistra della Hessiana.","live":[],"does":[[801.3391666666668,"head_syl is shown on the screen, written out."],[806.1666666666667,"sy0 is shown on the screen, written out."]]},{"start":812.1441666666667,"say":"Se sono tutti positivi, la Hessiana è definita positiva: minimo locale. Se hanno segni alternati, a partire da un primo minore negativo, è definita negativa: massimo locale. In due variabili, un determinante negativo indica una sella.","live":["sy0","head_syl"],"does":[[812.1441666666667,"sytab is shown on the screen, written out."],[813.0866666666667,"sytab is shown on the screen, written out."],[817.8066666666667,"sytab is shown on the screen, written out."],[824.2866666666667,"sy1 is shown on the screen, written out."],[827.0866666666667,"sytab is shown on the screen, written out."],[827.7016666666667,"head_syl is hidden from the screen — left the board."],[827.7016666666667,"sy0 is hidden from the screen — left the board."],[827.7016666666667,"sy1 is hidden from the screen — left the board."],[827.7016666666667,"sytab is hidden from the screen — left the board."]]},{"start":828.9016666666668,"say":"Chiudiamo con un esempio completo: f uguale a x al cubo meno tre x, più y quadro. Il grafico ha una valle e un passo di montagna.","live":[],"does":[[828.9016666666668,"head_ex is shown on the screen, written out."],[829.9666666666667,"w0 is shown on the screen, written out."],[832.8066666666667,"wax is shown on the screen, written out."],[832.8066666666667,"wsurf is shown on the screen, written out."],[835.7266666666667,"wax turns to a new orientation in its own slot."]]},{"start":839.0691666666667,"say":"Il gradiente si annulla quando x quadro vale uno e y vale zero: due punti stazionari, uno zero e meno uno zero. La Hessiana è diagonale, con sei x e due.","live":["w0","wax","head_ex","wsurf"],"does":[[839.4466666666667,"w1 is shown on the screen, written out."],[847.7666666666667,"w2 is shown on the screen, written out."]]},{"start":851.5541666666668,"say":"In uno zero i minori valgono sei e dodici, entrambi positivi: è un minimo locale, il fondo della valle.","live":["w0","w1","w2","wax","head_ex","wsurf"],"does":[[852.7666666666667,"w3 is shown on the screen, written out."],[856.4466666666667,"pmin is shown on the screen, written out."]]},{"start":859.3991666666667,"say":"In meno uno zero il determinante vale meno dodici: è una sella. Lungo x la funzione ha un massimo, lungo y un minimo.","live":["w0","w1","w2","w3","wax","head_ex","wsurf","pmin"],"does":[[860.9666666666667,"w4 is shown on the screen, written out."],[863.2066666666667,"psad is shown on the screen, written out."]]},{"start":868.5891666666668,"say":"Abbiamo percorso la strada intera: dalla norma e dagli intorni ai limiti, dalle derivate al piano tangente, fino a leggere nella Hessiana la forma di una funzione vicino ai suoi punti critici.","live":["w0","w1","w2","w3","w4","wax","head_ex","wsurf","pmin","psad"],"does":[[879.9276875,"head_ex is hidden from the screen — left the board."],[879.9276875,"w0 is hidden from the screen — left the board."],[879.9276875,"w1 is hidden from the screen — left the board."],[879.9276875,"w2 is hidden from the screen — left the board."],[879.9276875,"w3 is hidden from the screen — left the board."],[879.9276875,"w4 is hidden from the screen — left the board."],[879.9276875,"wax is hidden from the screen — left the board."],[879.9276875,"wsurf is hidden from the screen — wax left the board."],[879.9276875,"pmin is hidden from the screen — wax left the board."],[879.9276875,"psad is hidden from the screen — wax left the board."]]}]}]},"durationSeconds":881,"chapters":[{"title":"Lo spazio R^n e la sua topologia","startSeconds":0,"narration":"Benvenuti. In questa lezione costruiamo il calcolo differenziale per funzioni di più variabili, e prima ancora la topologia dello spazio in cui vivono. Ecco dove vogliamo arrivare. Questa è la matrice Hessiana, costruita con le derivate seconde. Alla fine sapremo leggere nei suoi autovalori se un punto critico è un minimo, un massimo o un punto di sella. Per arrivarci servono distanze, intorni, limiti e derivate. Un punto di erre enne è una enne-upla ordinata di numeri reali: le sue coordinate. Nel piano, con enne uguale a due, lo disegniamo come una freccia che parte dall'origine. Il prodotto scalare moltiplica le coordinate corrispondenti e somma i risultati. Da esso nasce la norma euclidea, la radice del prodotto scalare di x con sé stesso: per Pitagora, è proprio la lunghezza della freccia. La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz afferma che il prodotto scalare, in valore assoluto, non supera mai il prodotto delle norme. L'uguaglianza vale solo per vettori paralleli. Da qui segue la disuguaglianza triangolare. Sviluppiamo il quadrato della norma della somma: compare il doppio prodotto scalare, che Cauchy-Schwarz maggiora con il doppio prodotto delle norme. Dunque la norma della somma non supera la somma delle norme. Geometricamente: mettiamo y in coda a x, e il terzo lato del triangolo non è mai più lungo degli altri due insieme. Per parlare di vicinanza servono gli intorni. La palla aperta di centro x zero e raggio erre contiene i punti che distano da x zero meno di erre. Nella palla chiusa ammettiamo anche la distanza uguale a erre. Ora fissiamo un insieme S, il disco azzurro. Un punto è interno a S se attorno a lui esiste una palla tutta contenuta in S, come quella verde. È esterno se esiste una palla tutta fuori da S, cioè contenuta nel complementare, come quella rossa. Infine è di frontiera se ogni palla centrata in lui, per quanto piccola, contiene sia punti di S sia punti del complementare. Il bordo del disco è fatto proprio di questi punti. Un insieme è aperto se tutti i suoi punti sono interni, come il disco senza bordo. È chiuso se il suo complementare è aperto, o equivalentemente se contiene tutta la sua frontiera. Aperto e chiuso non sono contrari. Aggiungiamo al disco questo punto rosso, lontano da tutto: l'insieme ottenuto non è né aperto né chiuso. La chiusura di S è S unito alla sua frontiera: il più piccolo chiuso che lo contiene. Qui significa aggiungere la circonferenza. Un punto è di accumulazione se ogni sua palla contiene punti di S diversi da lui: questo punto del bordo lo è, pur non appartenendo al disco aperto. Il punto rosso invece è isolato: una piccola palla lo separa dal resto."},{"title":"Successioni e compattezza","startSeconds":180.974125,"narration":"Una successione in erre enne è una sequenza di punti, indicizzata dai numeri naturali. Diciamo che converge al punto x se la distanza fra x k e x tende a zero. In altre parole: fissato un raggio epsilon, da un certo indice in poi tutti i punti cadono nella palla di raggio epsilon attorno al limite. Se stringiamo epsilon l'indice cresce, ma esiste sempre. Poiché la norma controlla ogni coordinata, la convergenza in erre enne equivale alla convergenza di ciascuna delle enne successioni delle coordinate. Una successione è di Cauchy se i suoi termini diventano arbitrariamente vicini fra loro, senza nominare alcun limite. Ogni successione convergente è di Cauchy; il viceversa si chiama completezza. Erre enne è completo: ogni successione di Cauchy converge. Si dimostra coordinata per coordinata, perché ogni componente è di Cauchy in erre, e la retta reale è completa. Un insieme è limitato se sta dentro una palla abbastanza grande. Prendiamo ora una successione limitata qualsiasi: i suoi punti possono saltare avanti e indietro senza convergere. Il teorema di Bolzano-Weierstrass garantisce però che possiamo estrarre una sottosuccessione convergente. Qui basta tenere i termini di indice pari, quelli gialli, che si accumulano attorno a un punto. L'idea della prova: si dimezza ripetutamente il quadrato che contiene la successione, scegliendo ogni volta una parte con infiniti termini. I quadrati annidati si stringono su un unico punto, che esiste perché erre enne è completo. Questo suggerisce una definizione. Un insieme K è compatto se da ogni successione in K si estrae una sottosuccessione che converge, e converge a un punto di K stesso. In erre enne la compattezza ha una caratterizzazione concreta, il teorema di Heine-Borel: compatto significa chiuso e limitato. Limitato serve per Bolzano-Weierstrass; chiuso serve perché il limite non sfugga dall'insieme. Vediamo tre casi. Il disco chiuso è chiuso e limitato, quindi compatto: ogni successione al suo interno ha una sottosuccessione che converge dentro il disco. Nel disco aperto, questa successione si avvicina al bordo: converge, ma a un punto che non appartiene all'insieme. Manca la chiusura. Nella striscia illimitata, invece, i punti scappano verso destra e nessuna sottosuccessione può convergere. Manca la limitatezza."},{"title":"Continuità e teoremi fondamentali","startSeconds":336.0633333333334,"narration":"Passiamo alle funzioni da erre enne a erre emme. La definizione di limite è quella del caso reale, con la norma al posto del valore assoluto. Per ogni palla di raggio epsilon attorno al limite elle esiste una palla di raggio delta attorno a x zero la cui immagine, escluso al più x zero, cade dentro la prima. Se stringiamo epsilon dobbiamo stringere anche delta, ma una scelta adatta esiste sempre. La funzione è continua in x zero se il limite coincide con il valore in x zero. Attenzione: in più variabili ci si avvicina a x zero lungo infinite rette e curve, e il limite deve essere lo stesso per tutte. Esiste un modo di dire la continuità senza epsilon e delta. Una funzione è continua se e solo se la retroimmagine di ogni aperto è aperta, o equivalentemente se la retroimmagine di ogni chiuso è chiusa. Questo è uno strumento pratico. Prendiamo f uguale a x quadro più y quadro, che è continua. La corona dove f sta strettamente fra uno e quattro è la retroimmagine di un intervallo aperto: dunque è aperta, senza alcun conto. Allo stesso modo il disco dove f è minore o uguale a uno è la retroimmagine dell'intervallo chiuso da zero a uno, ed è quindi chiuso. Tre teoremi reggono tutta la teoria. Il primo è il teorema dei valori intermedi: su un insieme connesso per archi, due punti qualsiasi a e b sono uniti da un cammino continuo gamma, tutto dentro l'insieme. Lungo il cammino, f composta con gamma è una funzione continua di una sola variabile, e il teorema classico in erre fornisce un istante in cui assume il valore c. Il secondo è il teorema di Weierstrass: una funzione continua su un compatto ha massimo e minimo assoluti. Da una successione di valori che tende all'estremo superiore, la compattezza estrae una sottosuccessione convergente, e la continuità fa il resto. Il terzo è il teorema di Heine-Cantor. La continuità uniforme chiede che lo stesso delta funzioni in tutti i punti insieme; su un compatto questo è automatico."},{"title":"Derivate, differenziale e Jacobiana","startSeconds":470.43908333333343,"narration":"Veniamo alle derivate. Prendiamo il paraboloide zeta uguale a x quadro più y quadro, e un punto P sul suo grafico. La derivata parziale rispetto a x i congela tutte le altre variabili: è la derivata ordinaria lungo un asse. Geometricamente è la pendenza della curva ottenuta tagliando il grafico con un piano verticale. Più in generale, scelto un vettore unitario v, la derivata direzionale misura come varia f muovendosi lungo v. Le derivate parziali sono il caso dei vettori della base canonica. Il vettore delle derivate parziali si chiama gradiente, nabla f. I punti in cui il gradiente si annulla si dicono stazionari, o critici: sono i candidati a massimi e minimi. Diciamo che f è differenziabile in x zero se il suo incremento è uguale a una parte lineare in h, più un errore che va a zero più velocemente della norma di h. La parte lineare definisce il piano tangente: il piano che meglio approssima il grafico vicino a P, e contiene le due tangenti di prima. Quando enne supera due si parla di iperpiano tangente. Se f è differenziabile, prendiamo h uguale a t per v e dividiamo per t. Il limite dà la formula fondamentale: la derivata direzionale è il prodotto scalare fra gradiente e v. Per Cauchy-Schwarz questo prodotto è massimo quando v è parallelo al gradiente. Il gradiente indica quindi la direzione di massima crescita, e la sua norma è la pendenza massima. Infine, la differenziabilità implica la continuità: l'incremento di f tende a zero insieme a h. Attenzione: in più variabili, l'esistenza di tutte le derivate parziali non garantisce nemmeno la continuità. Guardiamo questa funzione: sugli assi vale zero, quindi le due derivate parziali nell'origine esistono e sono nulle. Ma lungo la retta y uguale a emme x vale costantemente emme fratto uno più emme quadro: un mezzo sulla bisettrice, meno un mezzo sull'altra. Il limite nell'origine non esiste, e f non è continua. Il teorema del differenziale totale fornisce una condizione sufficiente: se le derivate parziali esistono vicino a x zero e sono continue in x zero, allora f è differenziabile. Ogni funzione di classe C uno è dunque differenziabile e continua. Per un campo vettoriale da erre enne a erre emme, ogni componente ha il suo gradiente. Disposti come righe, formano la matrice Jacobiana, con emme righe ed enne colonne. Per esempio, per questa f del piano in sé, la Jacobiana nel punto uno, uno è la matrice due, meno uno, uno, uno. Il suo significato è questo: vicino al punto, f si comporta come l'applicazione lineare data dalla Jacobiana. Guardate come questa matrice deforma il quadrato verde: è ciò che f fa, in prima approssimazione, a un piccolo intorno."},{"title":"Hessiana e punti critici","startSeconds":654.2866666666667,"narration":"Derivando di nuovo le derivate parziali otteniamo le derivate seconde. Raccolte in una matrice enne per enne, formano la Hessiana. Proviamo con x al cubo per y, più y quadro. Le derivate prime sono tre x quadro y, e x al cubo più due y. Ora deriviamo f x rispetto a y, e f y rispetto a x: in entrambi i casi otteniamo tre x quadro. Non è una coincidenza. È il teorema di Schwarz: se le derivate miste sono continue, l'ordine di derivazione non conta. La Hessiana di una funzione di classe C due è quindi simmetrica, e avrà autovalori reali. Come si deriva una composizione? Seguiamo una curva gi di t nel piano, mentre f ha queste curve di livello. La derivata di f lungo la curva è il gradiente di f nel punto, scalare la velocità della curva. Il caso generale è altrettanto pulito: la Jacobiana della composizione è il prodotto delle Jacobiane, calcolate nei punti giusti. Scritto per componenti, è una somma su tutte le variabili intermedie. Con la Hessiana possiamo scrivere lo sviluppo di Taylor al secondo ordine. Il valore, più il termine lineare del gradiente, più metà della forma quadratica della Hessiana, più un resto di Peano, piccolo rispetto al quadrato della norma di h. Se f è di classe C due vale anche la forma di Lagrange: niente resto, ma la Hessiana è calcolata in un punto xi intermedio sul segmento fra x zero e x zero più h. Ora il punto chiave. In un punto stazionario il gradiente è nullo, e la differenza fra f di x zero più h e f di x zero è governata dalla forma quadratica q. Poiché la Hessiana è simmetrica, il teorema spettrale la diagonalizza in una base ortonormale di autovettori. In quelle coordinate la forma quadratica diventa una somma di autovalori per quadrati. Se tutti gli autovalori sono positivi, la forma è definita positiva e il punto è di minimo locale: il grafico è una coppa. Se sono tutti negativi, la forma è definita negativa: massimo locale, il grafico è una cupola. Se ci sono autovalori di segno opposto, la forma è indefinita e il punto è una sella: si sale lungo una direzione e si scende lungo l'altra. Se invece qualche autovalore è nullo, il secondo ordine non basta a decidere. Calcolare gli autovalori può essere faticoso. Il criterio di Sylvester usa invece i minori principali di testa: i determinanti dei blocchi quadrati in alto a sinistra della Hessiana. Se sono tutti positivi, la Hessiana è definita positiva: minimo locale. Se hanno segni alternati, a partire da un primo minore negativo, è definita negativa: massimo locale. In due variabili, un determinante negativo indica una sella. Chiudiamo con un esempio completo: f uguale a x al cubo meno tre x, più y quadro. Il grafico ha una valle e un passo di montagna. Il gradiente si annulla quando x quadro vale uno e y vale zero: due punti stazionari, uno zero e meno uno zero. La Hessiana è diagonale, con sei x e due. In uno zero i minori valgono sei e dodici, entrambi positivi: è un minimo locale, il fondo della valle. In meno uno zero il determinante vale meno dodici: è una sella. Lungo x la funzione ha un massimo, lungo y un minimo. Abbiamo percorso la strada intera: dalla norma e dagli intorni ai limiti, dalle derivate al piano tangente, fino a leggere nella Hessiana la forma di una funzione vicino ai suoi punti critici."}]}}