Dagli Oscillatori alle Onde Meccaniche: Teoria e Derivazioni Matematiche

Questa lezione segue un filo solo. Partiamo da una massa attaccata a una molla, la facciamo oscillare, poi la smorziamo e la forziamo. Infine lasciamo che l'oscillazione si propaghi in un mezzo continuo, e diventi un'onda. Ecco i due estremi del percorso. A sinistra, l'equazione di un singolo oscillatore. A destra, l'equazione di d'Alembert, che descrive un'onda in una sbarra elastica. Il nostro compito è costruire il ponte fra le due. Teniamo a mente questa forma. Quando la ritroveremo, ogni suo simbolo avrà un significato fisico preciso. Una massa m scorre su un piano orizzontale liscio, attaccata a una molla di costante elastica k. Detto x lo spostamento dalla posizione di riposo, la molla esercita la forza di richiamo meno k x, e il secondo principio dà m per l'accelerazione uguale a meno k x. Dividiamo per la massa. Compare una sola costante, omega zero, la radice di k su m, che ha le dimensioni di una frequenza angolare: è la pulsazione propria del sistema. L'equazione è lineare, del secondo ordine, a coefficienti costanti, e la sua soluzione generale contiene due costanti arbitrarie. Possiamo scriverla come A per il coseno di omega zero t più fi. A è l'ampiezza, l'escursione massima dall'equilibrio, e fi è la fase iniziale. Il moto si ripete dopo un periodo T uguale a due pi greco su omega zero, indipendente dall'ampiezza: è l'isocronismo dell'oscillatore armonico. Derivando una volta si ottiene la velocità, meno A omega zero per il seno. Posizione e velocità sono sfasate di un quarto di periodo: dove lo spostamento è massimo, la massa è istantaneamente ferma. Ora la domanda pratica. Supponiamo di conoscere la posizione x zero e la pendenza della curva, cioè la velocità v zero, nell'istante in cui facciamo partire il cronometro. Quali A e fi ne seguono? Valutiamo le due espressioni in t uguale a zero. La posizione dà x zero uguale ad A per il coseno di fi; la velocità dà v zero uguale a meno A omega zero per il seno di fi. Dividiamo la seconda per omega zero, eleviamo al quadrato e sommiamo: seno quadro più coseno quadro fa uno, e resta l'ampiezza, la radice di x zero quadro più v zero quadro su omega zero quadro. Il rapporto fra le stesse equazioni dà invece la tangente della fase, meno v zero su omega zero x zero. Attenzione al quadrante: l'arcotangente determina fi a meno di pi greco, e il segno di x zero sceglie il ramo giusto. Due condizioni iniziali, due costanti: il moto è determinato in modo univoco. Teniamo a mente questa coppia, ampiezza e fase, perché tornerà in tutto ciò che segue.

Nessuna molla reale oscilla per sempre. Aggiungiamo una forza di attrito viscoso, proporzionale alla velocità e opposta ad essa: meno c per x punto. Dividendo per m, conviene chiamare due gamma il rapporto c su m. Gamma è il parametro di smorzamento, e ha anch'esso le dimensioni di una frequenza. Cerchiamo soluzioni esponenziali, x uguale a e alla lambda t. Ogni derivata porta giù un fattore lambda, l'esponenziale si semplifica, e resta un'equazione di secondo grado: l'equazione caratteristica. Le sue radici sono meno gamma più o meno la radice di gamma quadro meno omega zero quadro. Tutto dipende dal segno del discriminante, e questo segno separa tre regimi. Fissiamo omega zero uguale a uno e lasciamo la massa ferma, con spostamento unitario. Se gamma supera omega zero, le radici sono reali e negative: è il regime sovrasmorzato, la curva rossa. La massa torna all'equilibrio senza oscillare, ma lentamente, perché a lungo andare domina la radice più piccola in modulo. È il comportamento richiesto a un ammortizzatore: dopo una buca, la ruota non deve rimbalzare. Per gamma uguale a omega zero le due radici coincidono, e la seconda soluzione indipendente è t per l'esponenziale. È lo smorzamento critico, la curva verde: il ritorno più rapido possibile senza oscillazioni. Per gamma minore di omega zero, infine, le radici sono complesse coniugate, e la soluzione oscilla dentro un inviluppo esponenziale: è il regime sottosmorzato, la curva blu. La pseudo pulsazione è omega uno, radice di omega zero quadro meno gamma quadro, sempre minore di omega zero: lo smorzamento non solo spegne l'oscillazione, ma la rallenta. Intanto l'ampiezza decade come A zero per e alla meno gamma t. E l'energia? Essendo quadratica nell'ampiezza, decade con esponente doppio, come e alla meno due gamma t, con costante di tempo tau uguale a uno su due gamma. Lo stesso schema compare in un circuito erre elle ci in serie, senza generatore e con il condensatore inizialmente carico. Sommando le cadute di tensione lungo la maglia, per la carica q si trova questa equazione. Il confronto termine a termine è immediato. L'induttanza gioca il ruolo della massa, la resistenza quello dell'attrito viscoso, e l'inverso della capacità quello della costante elastica. La carica fa le veci dello spostamento. Ne seguono omega zero uguale a uno su radice di L C e gamma uguale a R su due L: stessi tre regimi, stesse formule.

Lo smorzamento spegne ogni oscillazione libera. Per mantenerla serve una forza esterna periodica, per esempio una biella mossa da una ruota che gira a pulsazione omega: F zero per il coseno di omega t. L'equazione diventa non omogenea. Per la linearità, la soluzione generale è la somma di due pezzi: la soluzione generale dell'omogenea, che già conosciamo, più una qualsiasi soluzione particolare. Guardiamo cosa succede partendo da fermi. Nei primi istanti si mescolano due moti, alla pulsazione propria e a quella della forzante: è il regime transiente. Ma il pezzo omogeneo porta il fattore e alla meno gamma t. Dopo qualche multiplo di uno su gamma è svanito, e resta il regime permanente, la curva gialla: una oscillazione alla sola pulsazione omega imposta dall'esterno. Cerchiamo quindi la soluzione particolare nella forma A di omega per il coseno di omega t meno delta. Sostituendo, e uguagliando separatamente i termini in seno e in coseno, si ottengono ampiezza e sfasamento. Ecco il risultato. L'ampiezza è F zero su m, diviso la radice di omega zero quadro meno omega quadro, al quadrato, più quattro gamma quadro omega quadro. Disegniamola in funzione di omega, con omega zero uguale a uno: la curva blu con smorzamento debole, la curva rossa con smorzamento più forte. Ora facciamo scorrere la pulsazione della forzante. A bassa frequenza la massa segue la forza quasi staticamente, con ampiezza vicina a quella statica. Avvicinandoci a omega zero, l'ampiezza cresce bruscamente. Questa è la risonanza. Con poco smorzamento il picco è alto e stretto, circa F zero su due m gamma omega zero, e il suo massimo cade appena sotto omega zero. Superata la risonanza, la massa non riesce più a seguire la forza, e l'ampiezza crolla. Anche la fase racconta la stessa storia. La tangente di delta cambia segno attraversando omega zero: lo spostamento passa dall'essere in fase con la forza all'essere in opposizione, e proprio alla risonanza è in quadratura.

Lasciamo il punto materiale e passiamo a un mezzo continuo. Prima, però, ci serve una legge costitutiva: come risponde un solido quando lo tiriamo. Prendiamo una barra di lunghezza L e sezione S, tirata da una forza F. Il carico specifico, o sforzo, è sigma uguale a F su S. L'allungamento relativo, o deformazione, è epsilon uguale a delta L su L. Per piccole deformazioni le due grandezze sono proporzionali: è la legge di Hooke, e la costante di proporzionalità è il modulo di Young E, che si misura come una pressione. Qualche valore dà le proporzioni. Acciaio e ferro stanno attorno a duecento gigapascal, alluminio a settanta, rame a centoventi, piombo a sedici. La gomma, invece, è circa ventimila volte più cedevole. Ora una sbarra lunga, di densità rho, sezione S e modulo E, colpita a un estremo da un martelletto. Il colpo comprime lo strato vicino, che spinge il successivo: una perturbazione comincia a viaggiare lungo la sbarra. Chiamiamo s di x e t lo spostamento della sezione che a riposo si trova in x. Uno spostamento uniforme non deforma nulla: conta quanto lo spostamento varia da una sezione alla successiva. La deformazione locale è quindi la derivata parziale di s rispetto a x, e per la legge di Hooke la forza interna attraverso la sezione in x vale E S per questa derivata. Isoliamo un volumetto compreso fra x e x più d x. La sua massa è d m uguale a rho S d x. Sulla faccia sinistra agisce meno F di x, sulla destra F di x più d x. La risultante è la loro differenza, cioè la derivata di F per d x: E S per la derivata seconda di s rispetto a x, per d x. Il secondo principio chiede d m per l'accelerazione uguale a questa forza, e l'accelerazione della sezione è la derivata seconda di s rispetto al tempo. Semplifichiamo S e d x, che compaiono da entrambe le parti, e portiamo tutto a sinistra. Ecco l'equazione di d'Alembert, con il coefficiente rho su E davanti alla derivata temporale. Confrontando con la forma promessa all'inizio, rho su E deve valere uno su v quadro: la velocità delle onde longitudinali nella sbarra è la radice di E su rho. Rigidità e inerzia competono: un mezzo rigido e leggero trasmette in fretta. Per alluminio e ferro si superano i cinquemila metri al secondo, per il rame circa tremilasettecento, per il piombo appena milleduecento. Infine la soluzione generale: qualunque profilo che trasli rigidamente verso destra o verso sinistra con velocità v soddisfa l'equazione. E derivando la legge di Hooke si vede che anche la forza interna, cioè l'onda di pressione, obbedisce alla stessa equazione con la stessa velocità.

Ora che sappiamo che un profilo qualsiasi trasla con velocità v, scegliamone uno particolare, il più importante: il coseno. È l'onda armonica progressiva, y uguale ad A per il coseno di k x meno omega t. A tempo fissato è una sinusoide nello spazio: si ripete dopo una lunghezza d'onda lambda, e k, il numero d'onda, vale due pi greco su lambda. In un punto fissato, invece, oscilla nel tempo con periodo T uguale a due pi greco su omega. Dopo un piccolo intervallo delta t, la curva blu, ogni cresta si è spostata di v delta t. Una cresta è un punto di fase costante: imponendo k x meno omega t costante si trova v uguale a omega su k, cioè lambda su T. Perché proprio il coseno? Perché l'equazione è lineare, e Fourier ci dice che ogni segnale periodico di periodo T è una somma di armoniche: la fondamentale omega e i suoi multipli interi. I coefficienti si ottengono proiettando il segnale su ciascuna armonica, cioè integrando su un periodo il prodotto con il seno o il coseno corrispondente. Per un'onda quadra sopravvivono solo i seni dispari, con ampiezza quattro su n pi greco. Vediamolo. La sola fondamentale è una sinusoide grossolana, che dell'onda quadra ricorda appena il segno. Aggiungendo la terza e la quinta armonica, gli spigoli cominciano a formarsi. Con molti termini la somma riproduce l'onda quadra, salvo un piccolo eccesso vicino ai salti: il fenomeno di Gibbs. E un sistema elastico, essendo lineare, risponde a ciascuna armonica separatamente: la risposta totale è la sovrapposizione delle singole risposte. Un segnale localizzato, come un singolo colpo, non è periodico. Pensiamolo periodico con un periodo che tende all'infinito: le armoniche discrete si infittiscono sempre di più, e la somma diventa un integrale. Il segnale diventa l'integrale su tutte le pulsazioni di f tilde di omega per e alla i omega t. La funzione f tilde è la trasformata di Fourier, e si ottiene invertendo: uno su due pi greco per l'integrale di f di t per e alla meno i omega t. Tempo e pulsazione sono due descrizioni equivalenti dello stesso fenomeno: la trasformata ci porta nello spazio duale delle frequenze, dove leggiamo lo spettro della sollecitazione e capiamo a quali frequenze un sistema risponderà, per esempio vicino alla sua risonanza.

Sommiamo ora due onde armoniche della stessa ampiezza, con pulsazioni vicine: delta omega molto più piccolo della pulsazione media. Le formule di prostaferesi trasformano la somma di due coseni in un prodotto: due volte il coseno della semidifferenza per il coseno della semisomma degli argomenti. Applicate ai nostri argomenti, danno un'onda ad alta frequenza, la portante, alla pulsazione media omega segnato, moltiplicata per un fattore lento alla pulsazione delta omega mezzi. In un punto fissato, ecco il segnale: la portante blu oscilla rapidamente dentro l'inviluppo grigio, che sale e scende lentamente. L'intensità pulsa con la differenza delle frequenze: sono i battimenti che si sentono fra due corde quasi intonate. Portante e inviluppo non viaggiano necessariamente insieme. Le creste si muovono con la velocità di fase, omega medio su k medio. L'inviluppo, che trasporta energia e informazione, si muove con la velocità di gruppo, delta omega su delta k, che nel limite diventa d omega su d k. Se omega è proporzionale a k, il mezzo non è dispersivo e le due velocità coincidono, come nella nostra sbarra. In un mezzo dispersivo, invece, il gruppo può essere più lento o più veloce delle creste. Sommando non due, ma un continuo di onde con numeri d'onda distribuiti in una banda delta k, si ottiene un pacchetto: una perturbazione localizzata, larga circa delta x. Il prezzo della localizzazione sta nella trasformata di Fourier: più il pacchetto è stretto nello spazio, più è largo il suo spettro. Vale delta x per delta k dell'ordine di due pi greco, e analogamente delta t per delta omega. Questo è un fatto puramente classico. Ma ora usiamo le relazioni di Planck e de Broglie: l'energia è h nu, cioè h su due pi greco per omega, e la quantità di moto è h su lambda, cioè h su due pi greco per k. Moltiplicando la relazione classica per h su due pi greco, delta x per delta p diventa dell'ordine di h, e lo stesso vale per energia e tempo. È il principio di indeterminazione di Heisenberg, che nella forma rigorosa, per le deviazioni standard, dà almeno h su quattro pi greco. Ultimo fenomeno: l'effetto Doppler. Una sorgente in moto emette fronti d'onda sferici a frequenza nu S. Se si muove più lentamente del suono, i fronti si addensano davanti a lei e si diradano dietro. Davanti alla sorgente la lunghezza d'onda si accorcia e la frequenza percepita sale. Per ricevitore e sorgente in moto lungo la congiungente, con velocità misurate rispetto al mezzo, vale questa formula, con i segni superiori per l'avvicinamento. Prendiamo una sirena da cinquecento hertz, con il suono a trecentoquaranta metri al secondo. Se il ricevitore le corre incontro a centoventiquattro chilometri orari, sente circa cinquecentocinquantuno hertz. Se invece è la sorgente ad avvicinarsi così, il suono sale a circa cinquecentocinquantasei. Le due situazioni non sono equivalenti, perché il mezzo fissa un riferimento privilegiato. Se si muovono entrambi a sessantadue chilometri orari, la frequenza cade in mezzo, circa cinquecentocinquantatré hertz. Applicato alla luce delle galassie lontane, lo stesso spostamento è alla base della legge di Hubble. Se infine la sorgente supera la velocità del suono, i fronti non riescono più a precederla: si accumulano lungo un cono, il cono di Mach, con semiapertura data da seno di theta uguale a v su v S. Lungo il cono viaggia l'onda d'urto. Siamo partiti da una massa e una molla e siamo arrivati alle onde d'urto. Il filo è sempre lo stesso: forze di richiamo lineari producono oscillazioni, e un mezzo continuo le trasmette, con una velocità fissata da rigidità e inerzia.