Una lezione animata sui quattro sistemi di coordinate che ogni studente di fisica e ingegneria usa ogni giorno. Si parte dalle coordinate cartesiane, con i versori di base e il vettore posizione nel piano e nello spazio; si passa alle polari, ricavando x = r cos theta e y = r sin theta e mostrando come i versori radiale e trasverso ruotino con il punto. Le cilindriche estendono le polari lungo z e si applicano ai problemi a simmetria assiale, come il filo carico; le sferiche si ottengono riconoscendo che r sin theta è il rho cilindrico, e descrivono i problemi a simmetria centrale. Ogni formula nasce dalla geometria tridimensionale che la giustifica.
Per descrivere qualunque fenomeno fisico dobbiamo prima rispondere a una domanda semplice: dove si trova il punto che stiamo studiando? Esistono diversi modi di rispondere. In questa lezione ne vedremo quattro: le coordinate cartesiane, le polari nel piano, le cilindriche e le sferiche nello spazio. Ciascuno si adatta a una diversa simmetria del problema, e impareremo a passare dall'uno all'altro con formule esatte. Cominciamo dal piano. Scegliamo un'origine e due assi perpendicolari, e su ciascun asse un versore, cioè un vettore di lunghezza uno: i cappello lungo x, j cappello lungo y. Un punto P si raggiunge spostandosi di x lungo il primo asse e di y lungo il secondo. Qui x vale tre e y vale due. Il vettore posizione è quindi la combinazione dei versori: r è uguale a x per i cappello, più y per j cappello. Nello spazio teniamo i due versori del piano e aggiungiamo un terzo asse, z, perpendicolare ai primi due, con il suo versore k cappello. I tre versori sono ortogonali tra loro e formano una terna destrorsa: i vettore j è uguale a k. Per raggiungere P ci spostiamo di x, poi di y, poi di z, e la posizione diventa x per i più y per j più z per k. Questi versori hanno una proprietà preziosa: sono gli stessi in ogni punto dello spazio. Vedremo che negli altri sistemi non sarà così.
Nel piano un punto si può descrivere anche in un altro modo: con la sua distanza dall'origine e con una direzione. La distanza è r, che non è mai negativa. La direzione è data dall'angolo theta, misurato a partire dall'asse x in verso antiorario. Proiettiamo P sugli assi. Il cateto orizzontale vale r coseno di theta, quello verticale r seno di theta. Al contrario, il teorema di Pitagora restituisce r come radice di x quadro più y quadro, mentre il rapporto y su x è la tangente di theta. Attenzione però: per scegliere l'angolo giusto bisogna guardare il quadrante. Ora i versori. Il versore radiale punta lontano dall'origine, lungo r. Il versore trasverso è perpendicolare a lui, nel verso in cui theta cresce. Ecco la differenza decisiva rispetto alle cartesiane. Se il punto si sposta lungo la circonferenza, i due versori ruotano con lui: dipendono da theta. Derivando questi versori rispetto al tempo nascono i termini centripeti dei moti circolari. È il prezzo, e insieme il vantaggio, di una base che si muove con il punto.
Passiamo allo spazio. Le coordinate cilindriche sono le polari del piano x y, a cui aggiungiamo semplicemente la quota z. Proiettiamo il punto P sul piano x y. La distanza della proiezione dall'asse z è rho, l'angolo con l'asse x è l'azimut phi, e la quota del punto è z. Dalla proiezione leggiamo subito le formule: x è rho per coseno di phi, y è rho per seno di phi, e z resta z. Le formule inverse sono quelle delle polari. Che cosa descrive rho costante? Teniamo rho fisso e facciamo ruotare phi: il punto gira attorno all'asse. Poi facciamo variare z: il punto scorre in verticale. Insieme, i due movimenti disegnano un cilindro. In ogni punto i versori sono il radiale e rho, che punta lontano dall'asse, il trasverso e phi, tangente alla circonferenza, e il versore k dell'asse z. Questo sistema è naturale quando c'è simmetria assiale: un filo carico, un solenoide, un fluido in un tubo. Per un filo infinito, il campo elettrico dipende soltanto da rho e punta sempre lungo e rho, lontano dal filo.
Infine le coordinate sferiche, pensate per problemi con un centro privilegiato. Il punto si individua con la distanza r dall'origine e con due angoli. Il primo è l'angolo polare theta, detto anche colatitudine, misurato dal semiasse z positivo. Il secondo è l'azimut phi, lo stesso angolo delle cilindriche, misurato nel piano x y a partire dall'asse x. Ora il passaggio chiave. La proiezione di r sul piano x y è lunga r seno di theta: è esattamente il rho delle cilindriche. E la quota è r coseno di theta. Basta allora sostituire nelle formule cilindriche. x diventa r seno theta coseno phi, e y diventa r seno theta seno phi. Gli intervalli completano la definizione: r non è mai negativo, theta va da zero a pi greco, phi copre un giro intero. Teniamo fisso r e facciamo variare theta: il punto scende lungo un meridiano. Variamo phi: si muove lungo un parallelo. Tutti i punti raggiungibili formano una sfera. Questo è il sistema naturale per la simmetria centrale: il campo di una carica puntiforme, la gravità di un pianeta. Il campo dipende solo da r e punta lungo il versore radiale, in ogni direzione. Riassumiamo. Le cartesiane hanno versori fissi e sono ideali per geometrie rettangolari. Le polari descrivono rotazioni nel piano, le cilindriche la simmetria assiale, le sferiche quella centrale. La regola pratica è semplice: si sceglie il sistema che rispecchia la simmetria del problema, e le formule di trasformazione permettono sempre di tornare alle cartesiane.
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