Meccanica dei Fluidi: Statica, Cinematica e Dinamica

Benvenuti. In questa lezione costruiamo la meccanica dei fluidi dalle fondamenta: prima i fluidi in quiete, poi il loro moto ideale, infine i fluidi reali, con la viscosità e la turbolenza. Ecco le due equazioni verso cui camminiamo. La prima governa ogni fluido in equilibrio: il gradiente della pressione è uguale alla densità per la forza di volume per unità di massa. La seconda è il teorema di Bernoulli, che lega pressione, velocità e quota in un fluido ideale in moto. Le ricaveremo entrambe, un passo alla volta. Partiamo dalla definizione. Un fluido è una sostanza priva di forma propria: prende la forma del recipiente che lo contiene, e si deforma con una facilità grandissima rispetto a un solido. Quanto si lascia comprimere lo misura il modulo di comprimibilità K: il rapporto tra un aumento di pressione e la diminuzione relativa di volume che esso produce. Per i liquidi questo modulo vale da dieci alla dieci a dieci alla undici pascal, come per i solidi. I liquidi sono praticamente incomprimibili. Gas e vapori hanno invece un modulo dell'ordine di dieci alla cinque pascal, pari alla pressione esterna. Si comprimono facilmente, e questa differenza ci accompagnerà per tutta la lezione. Un fluido non ha punti fissi a cui applicare le forze, quindi lo descriviamo in un altro modo. Scegliamo un punto r, e attorno a esso un piccolo volumetto. Così ogni grandezza diventa una funzione continua del punto e del tempo. La densità, ad esempio, è il limite della massa delta m divisa per il volume delta V, quando delta V tende a zero. Allo stesso modo si definiscono la pressione e la velocità. Sono questi i tre campi con cui lavoreremo. Ma la materia è discreta: gli atomi misurano circa dieci alla meno dieci metri, i nuclei dieci alla meno quindici. Se restringo troppo il volumetto, dentro non trovo più nulla. Fisicamente il volumetto va pensato grande rispetto agli atomi e minuscolo rispetto al recipiente. Il limite per delta V che tende a zero è un'idealizzazione matematica, indispensabile per usare l'analisi differenziale senza discontinuità. C'è un'ultima proprietà decisiva. Prendiamo uno strato di fluido, appoggiato su un fondo fermo, e applichiamo in alto una forza tangente, piccola quanto vogliamo. Lo strato non resiste: scorre rispetto a quello sottostante, e continua a scorrere finché la forza agisce. Nei fluidi non esiste nulla di simile all'attrito radente statico dei solidi. Ne segue che in un fluido in equilibrio non ci sono forze parallele alle superfici. Restano soltanto forze perpendicolari, ed è da qui che nasce la pressione.

Definiamo la pressione come il rapporto tra la forza perpendicolare a una superficie e l'area della superficie stessa. Si misura in pascal, un newton al metro quadro. Ma dipende da come orientiamo la superficie? Isoliamo con il pensiero un prisma infinitesimo di fluido, a base triangolare A B C e spessore h. Su ciascuna faccia agisce soltanto una forza normale. Lungo x, la forza sulla faccia A B bilancia la componente orizzontale della forza sull'ipotenusa A C. Lungo l'asse verticale, la faccia C B bilancia la componente verticale, più il peso del prisma. Ora la geometria: l'ipotenusa per il seno di theta è il cateto A B, per il coseno è il cateto C B. E il peso è proporzionale all'area del triangolo: è un infinitesimo di ordine superiore, e nel limite scompare. Restano due uguaglianze, e insieme dicono che le tre pressioni coincidono. La pressione in un punto non dipende dall'orientazione della superficie: è una grandezza scalare. Prendiamo ora un elemento di volume d V, uguale a d S per d z, in un fluido soggetto a una forza di volume f per unità di massa. Guardiamo le forze lungo z. Sotto agisce la pressione in z, sopra quella in z più d z, e su tutto l'elemento la forza di volume rho f d V. All'equilibrio la loro somma è zero. Dividendo per d V otteniamo la derivata parziale di P rispetto a z, uguale a rho f z. Ripetendo il conto lungo x e lungo y troviamo l'equazione fondamentale della statica: nabla P uguale a rho f. Se la forza è conservativa, f è meno il gradiente di un potenziale phi, e l'equazione diventa nabla P uguale a meno rho nabla phi. Allora i due gradienti sono paralleli. Le superfici isobare coincidono con le superfici equipotenziali, e poiché la densità è il rapporto tra le due variazioni, è costante anch'essa su quelle stesse superfici. Mettiamoci nel campo della gravità, con l'asse z rivolto verso l'alto. La forza per unità di massa è meno g lungo z, e l'equazione della statica si riduce a d P su d z uguale a meno rho g. Per un liquido incomprimibile la densità è costante. Integriamo fino alla superficie libera, a quota h, dove agisce la pressione atmosferica: è la legge di Stevino. Scendiamo con una sonda: un metro, poi due, poi giù fino al fondo. La pressione cresce di rho g per ogni metro di profondità. Quanto bisogna scendere in acqua per raddoppiare la pressione atmosferica? Basta che rho g h valga un'atmosfera: mille per nove virgola otto per h, uguale a circa centomila pascal. Dunque circa dieci metri. Ogni dieci metri di profondità, la pressione cresce di un'atmosfera. Ecco una conseguenza sorprendente. Tre recipienti di forma diversa, con la stessa area di base, riempiti dello stesso liquido fino alla stessa altezza h. Contengono masse molto diverse, eppure la pressione sul fondo è identica in tutti e tre, perché conta soltanto la profondità. È il paradosso idrostatico. Se colleghiamo i recipienti dal fondo otteniamo dei vasi comunicanti: il liquido incomprimibile si porta ovunque allo stesso livello, qualunque sia la forma dei rami.

Come si misura la pressione atmosferica? Torricelli riempì di mercurio un tubo chiuso a un'estremità e lo capovolse in una vaschetta piena dello stesso liquido. La colonna scende un poco e si ferma. Sopra resta il vuoto, a pressione praticamente nulla, mentre sulla vaschetta preme l'atmosfera. Sulla isobara del pelo libero, la pressione atmosferica equilibra il peso della colonna. Con i numeri, l'altezza risulta di settantasei centimetri: settecentosessanta millimetri di mercurio. Perché il mercurio? Perché è tredici virgola sei volte più denso dell'acqua. Con l'acqua servirebbe un tubo alto più di dieci metri. Per misurare una differenza di pressione si usa il manometro a U. Il dislivello h del liquido nei due rami dà subito delta P uguale a rho g h. E se nel tubo ci sono due liquidi immiscibili? Il più leggero, di densità rho uno, sta nel ramo di sinistra, sopra il più pesante. Il trucco è scegliere l'isobara giusta: quella che passa esattamente per la superficie di separazione. Allo stesso livello, nell'altro ramo, c'è lo stesso liquido pesante, quindi la stessa pressione. Sopra quella linea, le due colonne pesano lo stesso: rho uno g z uno uguale a rho due g z due. Dal rapporto delle altezze si legge il rapporto delle densità. Immergiamo ora un corpo in un liquido. Su ogni faccia il liquido preme in direzione normale, e preme di più sotto che sopra, perché sotto è più profondo. Per calcolare la risultante usiamo un'idea elegante: sostituiamo il corpo con una porzione dello stesso liquido, di forma identica. Quella porzione era in equilibrio, quindi le forze di superficie bilanciano esattamente il suo peso. Ma le forze di superficie dipendono solo dal liquido esterno. Rimettiamo il corpo al suo posto: la spinta resta la stessa, diretta verso l'alto e pari al peso del liquido spostato. Se il corpo è meno denso del liquido, galleggia, con una frazione immersa pari al rapporto tra le densità. A densità uguali resta in equilibrio in ogni punto, e se è più denso affonda. Così una nave d'acciaio galleggia grazie all'aria racchiusa nello scafo, e una mongolfiera sale scaldando l'aria interna, o con l'elio, perché l'aria al suolo ha densità di circa uno virgola tre chilogrammi al metro cubo. Un esempio dinamico. Un'asta di sezione S e lunghezza L galleggia verticale: all'equilibrio il suo peso uguaglia la spinta sulla parte immersa, lunga L meno h. Spingiamola in giù di un tratto z. La parte immersa cresce, e la spinta in eccesso la riporta indietro con una forza proporzionale allo spostamento e di verso opposto. È una forza elastica. Lasciata andare, l'asta sale, scende, risale ancora: oscilla di moto armonico semplice, con pulsazione al quadrato uguale a rho l g diviso rho s L. Mettiamo in rotazione un secchio d'acqua con velocità angolare omega, e osserviamolo dal riferimento che ruota con esso. A riposo, la superficie è piana. Nel riferimento rotante, oltre al peso, ogni elemento sente la forza centrifuga d m omega quadro r. Le equazioni della statica valgono ancora, con questa forza in più. Integrando, le superfici isobare, e quindi la superficie libera, diventano paraboloidi di rotazione: z uguale h zero più omega quadro su due g per r quadro. Le ultracentrifughe sfruttano lo stesso effetto a circa cinquantamila radianti al secondo: l'enorme gradiente radiale di pressione separa sostanze che differiscono in densità anche solo dell'uno per cento. Infine il principio di Pascal: una variazione di pressione applicata a un fluido incomprimibile si trasmette inalterata in ogni suo punto. Nel torchio idraulico premo con una piccola forza f sul pistone stretto. La stessa pressione agisce sul pistone largo, che riceve una forza più grande nel rapporto delle sezioni. Non si crea energia dal nulla, però. Il volume spostato è lo stesso, quindi il pistone stretto scende molto mentre quello largo sale poco, e il lavoro si conserva.

Passiamo ai fluidi in moto. Nei fluidi reali, strati adiacenti che scorrono a velocità diverse si frenano a vicenda: è la viscosità. La forza tra due strati è proporzionale all'area S e al gradiente di velocità nella direzione normale. Il coefficiente eta si misura in pascal per secondo, oppure in poise. Un fluido ideale è un'astrazione molto utile: incomprimibile, quindi a densità costante, e privo di viscosità. È il modello in cui varrà il teorema di Bernoulli. Per descrivere il moto abbiamo due punti di vista. Nella descrizione lagrangiana seguiamo la singola particella di fluido lungo il suo cammino. Nella descrizione euleriana, invece, restiamo fermi in un punto dello spazio e guardiamo come cambiano lì densità, pressione e velocità nel tempo. Se in ogni punto le grandezze non dipendono dal tempo, il regime è stazionario. Allora le linee di corrente coincidono con le traiettorie, non si intersecano mai, e prendono il nome di linee di flusso. Un fascio di linee di flusso forma un tubo di flusso: il fluido non ne attraversa mai le pareti, come se fosse una condotta. Ora la conservazione della massa. In regime stazionario, la massa che entra da una sezione del tubo nell'unità di tempo è uguale a quella che esce dall'altra. Per un fluido incomprimibile la densità si semplifica, e resta la portata volumetrica Q, uguale a sezione per velocità, costante lungo tutta la condotta. È il teorema di continuità, già intuito da Leonardo. L'effetto è puramente cinematico: dove il tubo si stringe la velocità aumenta, e le linee di flusso si addensano. Ecco il cuore della dinamica dei fluidi ideali. Seguiamo, in regime stazionario e irrotazionale, il fluido contenuto in un tratto di tubo di flusso tra le sezioni uno e due. In un tempo d t la sezione uno avanza di d s uno, la sezione due di d s due. Le forze di pressione compiono un lavoro, e per continuità i due volumi spostati sono lo stesso d V. La gravità compie invece un lavoro negativo, perché la massa rho d V sale dalla quota z uno alla quota z due. Per il teorema dell'energia cinetica la somma dei lavori uguaglia la variazione di energia cinetica di quella massa. Dividiamo per d V e raccogliamo i termini con lo stesso indice. Il risultato è il teorema di Bernoulli: la somma di pressione, di un mezzo rho v quadro e di rho g z è costante lungo il tubo di flusso. Ogni termine è una densità di energia: la pressione statica, l'energia cinetica per unità di volume, e l'energia potenziale per unità di volume. Bernoulli è la conservazione dell'energia, scritta per metro cubo di fluido. E se il fluido è fermo, con v uguale a zero, resta P più rho g z costante: ritroviamo esattamente la legge di Stevino.

Prima applicazione: un serbatoio aperto con un piccolo foro a profondità h. Applichiamo Bernoulli tra la superficie libera e il foro, entrambi a pressione atmosferica. Se il serbatoio è molto più largo del foro, la superficie scende lentamente e la sua velocità è trascurabile. Resta v uguale alla radice di due g h: la velocità di un sasso caduto da altezza h. È la legge di Torricelli. Se invece la sezione s del foro non è trascurabile rispetto alla sezione S del serbatoio, la continuità corregge il risultato: al denominatore compare uno meno il quadrato del rapporto tra le sezioni. Quanto lontano arriva il getto? La gittata vale due radice di h per H meno h, ed è massima con il foro a metà altezza. Un foro più alto, o più basso della stessa quantità, arriva meno lontano, e i due getti cadono nello stesso punto. Il tubo di Venturi misura la velocità in una condotta. Nella strozzatura la sezione si riduce da S a s, la velocità cresce e, per Bernoulli, la pressione cala. Due piccoli tubi verticali leggono la depressione delta P come una differenza di livello. Combinando Bernoulli e continuità ricaviamo la velocità a monte, e quindi la portata Q, che è la sezione per la velocità. Bernoulli ci dice anche quanta potenza serve a una pompa. Per sollevare una portata Q di un dislivello H, la potenza è delta P per Q, cioè rho g H Q. Sollevare un metro cubo d'acqua al secondo di un metro richiede circa dieci kilowatt. Nel Regno Unito i contratti elettrici prevedono clausole per gestire il picco delle cinque del pomeriggio, legato all'ora del tè. Il tubo di Pitot misura invece la velocità di un fluido, o di un aereo rispetto all'aria: confronta la pressione di ristagno, dove il fluido si ferma, con quella statica. Infine il paradosso idrodinamico. Avviciniamo un cucchiaio a un getto d'acqua: il flusso si stringe, accelera, la pressione cala, e il cucchiaio viene risucchiato verso il getto. Per lo stesso motivo due camion che si sorpassano in autostrada si attraggono. Passiamo ai fluidi reali. In un tubo cilindrico di raggio R e lunghezza L, la viscosità frena il fluido sulle pareti, dove la velocità si annulla. Isoliamo un cilindro coassiale di raggio r. La differenza di pressione lo spinge avanti, la viscosità sulla superficie laterale lo frena, e in regime stazionario le due forze si bilanciano. Integrando con velocità nulla sulla parete otteniamo un profilo parabolico: massimo sull'asse, zero sul bordo. Sommando le portate di tutti gli anelli sottili troviamo la legge di Hagen e Poiseuille. La portata cresce come la quarta potenza del raggio: dimezzare il raggio riduce il flusso di sedici volte. Il sistema circolatorio ne è un esempio. La pressione arteriosa oscilla tra ottanta e centoventi millimetri di mercurio, ricordando che settecentosessanta fanno un'atmosfera. Un piccolo restringimento di un vaso richiede un grande aumento di pressione per mantenere la stessa portata. Quando un fluido reale scorre abbastanza veloce, il moto ordinato a strati si rompe. Il parametro che decide è il numero di Reynolds: rho per v per D, diviso eta. Sotto un valore critico, tra duemila e diecimila, il moto resta laminare e la perdita di carico cresce linearmente con la velocità. Oltre la velocità critica il moto diventa turbolento, e delta P cresce come v quadro. Un ultimo fenomeno: l'effetto Magnus. Una palla che ruota trascina con sé gli strati di fluido adiacenti: da un lato la velocità relativa aumenta, dall'altro diminuisce. Dove il fluido è più veloce la pressione è più bassa, e nasce una forza perpendicolare alla traiettoria. È la palla tagliata nel tennis, o il tiro a rientrare nel calcio. Riassumiamo. La statica discende da una sola equazione, nabla P uguale a rho f: da essa vengono Stevino, Archimede e il paradosso idrostatico. Per i fluidi ideali in moto valgono la continuità e Bernoulli, cioè massa ed energia conservate. Per i fluidi reali entra la viscosità, con la legge di Poiseuille, finché il numero di Reynolds resta sotto la soglia critica. Le due equazioni promesse all'inizio sono ora davanti a noi, ricavate e comprese. Grazie per l'attenzione.