Fondamenti di Statica dei Fluidi e Tensore degli Sforzi

Un fluido, liquido o gas, è una sostanza che si deforma con continuità sotto uno sforzo di taglio, per quanto piccolo. Non possiede una forma propria: un liquido conserva il suo volume, mentre un gas occupa tutto il recipiente. Al microscopio, però, la materia è discreta: molecole separate da spazio vuoto. Nessuno vuole risolvere le equazioni del moto per dieci alla ventitré particelle. Prendiamo allora un piccolo volume, delta V, e misuriamo la massa che contiene. Se lo restringiamo troppo contiene pochissime molecole, e il rapporto tra massa e volume oscilla in modo casuale. Ci fermiamo quindi a una scala delta V star: piccolissima rispetto al sistema, ma abbastanza grande da contenere moltissime molecole. La densità è il limite del rapporto tra massa e volume verso questa scala. Con lo stesso limite, ogni punto riceve i suoi campi: la densità in chilogrammi al metro cubo, la pressione in pascal, e la velocità in metri al secondo. Da qui in avanti il fluido è un mezzo continuo: campi regolari, che possiamo derivare come qualsiasi funzione.

Spingiamo parallelamente alla faccia superiore di un blocco solido. Il blocco si inclina di un certo angolo e poi si ferma: una forza tangenziale interna equilibra la spinta. Con un fluido la stessa spinta non trova alcuna nuova posizione di equilibrio: finché agisce, il fluido continua a scorrere. Quindi, in un fluido in quiete, gli sforzi tangenziali sono nulli: tau uguale a zero. Le forze tra parti adiacenti, o contro le pareti, sono soltanto perpendicolari alle superfici. Le forze interne di un mezzo continuo si descrivono con il tensore degli sforzi. Su un elemento di superficie d A, con normale n, agisce la forza sigma per n, d A. In tre dimensioni sigma è una matrice tre per tre. Sulla diagonale stanno gli sforzi normali, perpendicolari alle facce; fuori diagonale gli sforzi di taglio, paralleli alle facce. A riposo il taglio è nullo, quindi tutti i termini fuori diagonale si annullano. Restano soltanto i tre sforzi normali. Sono uguali fra loro? Per ora sappiamo soltanto che sono compressioni. Per deciderlo ci serve un piccolo prisma di fluido.

La pressione in un punto è il rapporto tra la forza normale e la superficie su cui agisce. La forza è un vettore; la pressione, invece, non dipende da come orientiamo la superficie. Dimostriamolo. Prendiamo un prisma triangolare di fluido, con cateti d x e d y e ipotenusa d s. La profondità d z è comune a tutte le facce, e la semplifichiamo fin da subito. Su ogni faccia la pressione spinge verso il fluido. Chiamiamo theta l'angolo alla base: allora d s seno theta vale d y, e d s coseno theta vale d x. Lungo x: P x per d y, meno P n per d s seno theta, fa zero. Con la geometria i due prodotti hanno lo stesso fattore d y, e resta P x uguale a P n. Lungo y compare anche il peso del prisma, proporzionale alla sua area. Dividendo per d x resta P y meno P n meno un mezzo rho g d y, uguale a zero. Ora restringiamo il prisma verso un punto. Il peso è di ordine superiore e svanisce con d y, quindi anche P y è uguale a P n. Dunque P x, P y e P n coincidono, qualunque sia l'angolo theta: la pressione è la stessa in tutte le direzioni. È uno scalare. Torniamo al tensore, che a riposo era diagonale. Ogni sforzo normale è una compressione di modulo P, quindi tutti e tre valgono meno P. Raccogliendo meno P resta la matrice identità, che in notazione indiciale è la delta di Kronecker, delta i j. In una sola riga, sigma i j uguale a meno P delta i j dice due cose: se i è diverso da j lo sforzo è nullo, niente taglio; se i è uguale a j vale meno P, la stessa in ogni direzione.

Ora mettiamo in equilibrio un cubetto di fluido di volume d V. Su di esso agiscono forze di superficie, dovute alla pressione, e forze di volume, proporzionali alla massa. Lungo x la faccia sinistra riceve P di x per d y d z, quella destra P di x più d x per la stessa area. La differenza è meno la derivata parziale di P rispetto a x, per d V. Lo stesso accade lungo y e lungo z: la forza netta di pressione è meno il gradiente di P per d V. La forza di volume è rho f d V, dove f è la forza per unità di massa. In equilibrio la somma è nulla. Dividendo per d V si ottiene l'equazione fondamentale della statica dei fluidi: il gradiente di pressione è uguale a rho f. Supponiamo ora che la forza sia conservativa: f è meno il gradiente di un potenziale U. Qui U cresce con la distanza dal centro, le sue superfici di livello sono questi cerchi, e le frecce di forza puntano verso il centro. Sostituendo, il gradiente di P vale meno rho per il gradiente di U. Ora applichiamo il rotore: il rotore di un gradiente è nullo, quindi anche il rotore di rho per il gradiente di U deve annullarsi. Sviluppando il prodotto, il termine con il rotore del gradiente di U sparisce, e resta: gradiente di rho, vettore gradiente di U, uguale a zero. Un prodotto vettoriale è nullo solo se i due gradienti sono paralleli. In questo punto il gradiente di U punta in fuori, quello di P verso il centro, sulla stessa retta. Un gradiente di densità inclinato, come questo, darebbe un prodotto diverso da zero: non è ammesso. La densità può variare solo lungo la stessa direzione, ovunque. Quindi pressione, potenziale e densità sono costanti sulle stesse superfici: isobare, equipotenziali e isopicne coincidono, e sono ortogonali alle linee di forza. In un campo di gravità uniforme queste superfici diventano piani orizzontali, come il pelo libero di un lago in quiete.